Từ đồng dạng đến bảo toàn thể tích: mực nước trong hai ly nón
Chuyên đề Toán 9: chứng minh thể tích phần nước trong ly nón đồng dạng tỉ lệ với lập phương chiều cao, lập phương trình bảo toàn khi rót giữa hai ly giống…
LUKATO · TOÁN 9 · CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG VÀ THỂ TÍCH
Từ đồng dạng đến bảo toàn thể tích: mực nước trong hai ly nón
Trong ly nón có đỉnh ở dưới, mực nước lên một phần chiều cao không có nghĩa nước chiếm đúng phần ấy của thể tích. Ta chứng minh quy luật lập phương rồi dùng bảo toàn để mô tả hai ly.
Thiết diện đồng dạng Thể tích theo chiều cao Bảo toàn nước Kiểm giới hạn
01 · Xác định hình trước khi tính
Xét một hình nón tròn xoay lí tưởng, đỉnh ở dưới , chiều cao toàn bộ H>0 và bán kính miệng R>0. Với 0<z\le H, phần nước tính từ đỉnh đến độ cao z là một hình nón đồng dạng với toàn ly. Khi z=0, ly rỗng và V(0)=0; không dùng lập luận đồng dạng cho hình suy biến này. Nếu ly có đáy phẳng hoặc được đặt ngược, phải đổi mô hình.
Mặt cắt qua trục: bán kính mặt nước thay đổi theo độ cao. Hình minh họa không biểu diễn một ly có đáy phẳng.
Điều kiện: phần nước có cùng đỉnh, mặt nước song song với miệng ly, và tiết diện thực sự tạo một nón nhỏ.
02 · Vì sao thể tích tăng theo lập phương?
Với 0<z\le H, từ hai tam giác đồng dạng trong mặt cắt, r(z)/R=z/H . Thể tích nón là V=\pi r^2h/3. Thay r(z)=Rz/H vào công thức:
V(z)=\frac{\pi[R(z/H)]^2z}{3}=\frac{\pi R^2H}{3}\left(\frac zH\right)^3.
Gọi V_{\text{đầy}}=\pi R^2H/3. Khi đó V(z)/V_{\text{đầy}}=(z/H)^3 . Công thức cũng đúng tại z=0 vì cả hai vế đều bằng 0. Hai thừa số z/H đến từ diện tích đáy tỉ lệ với bình phương bán kính, một thừa số đến từ chiều cao.
Phản ví dụ cho suy nghĩ tuyến tính: mực nước bằng nửa chiều cao thì phần nước chiếm (1/2)^3=1/8 thể tích, không phải 1/2. Bán kính ở mặt nước cũng bằng nửa bán kính miệng.
03 · Hai ly giống nhau: bảo toàn nước
Hai ly nón giống nhau; ly A ban đầu đầy, ly B rỗng. Rót giữa hai ly và giả sử không hao hụt. Sau đó chiều cao nước ở A là uH, ở B là vH, với u,v\in[0,1]. Vì hai ly có cùng thể tích khi đầy:
V_A=u^3V_{\text{đầy}},\qquad V_B=v^3V_{\text{đầy}},\qquad u^3+v^3=1.
Biết u thì v=\sqrt[3]{1-u^3} và mực nước ở B là Hv. Bán kính R triệt tiêu vì ta đang so tỉ lệ thể tích của hai ly giống hệt nhau.
u^3
Tỉ lệ thể tích còn ở A so với một ly đầy.
1-u^3
Tỉ lệ thể tích chuyển sang B. Muốn đổi trở lại tỉ lệ chiều cao của B, lấy căn bậc ba.
04 · Kiểm hai đầu và xu hướng
Mực nước ở A · Thể tích tương đối ở A · Thể tích tương đối ở B · Mực nước ở B
u=1, A đầy · 1 · 0 · v=0, B rỗng
u=1/2 · 1/8 · 7/8 · v=\sqrt[3]{7/8}, lớn hơn 1/2
u=0, A rỗng · 0 · 1 · v=1, B đầy
u giảm thì nước ở A giảm và v tăng. Công thức cho 0\le v\le1. Hv mang đơn vị độ dài, trong khi V mang đơn vị thể tích. Nếu tìm được v lớn hơn 1 hoặc “chiều cao” mang đơn vị \mathrm{cm}^3, hãy kiểm lại tỉ số và đơn vị.
05 · Khi điều kiện ban đầu thay đổi
Nếu ly A và B vẫn giống nhau nhưng ban đầu đã có nước với tỉ lệ chiều cao u_0,v_0, sau khi rót không hao hụt ta có u_{\text{sau}}^3+v_{\text{sau}}^3=u_0^3+v_0^3 . Không tự động dùng v^3=1-u^3 với điều kiện ban đầu bất kì; chỉ dùng khi tổng thể tích ban đầu bằng một ly đầy, tức là u_0^3+v_0^3=1.
Nếu hai ly khác kích thước, giữ thể tích đầy của từng ly: V_{A,\text{đầy}}u^3+V_{B,\text{đầy}}v^3 bằng tổng thể tích ban đầu. Chỉ triệt tiêu hai hệ số thể tích đầy khi chúng thật sự bằng nhau.
Khái quát: viết thể tích trước và sau bằng cùng một đơn vị, rồi áp dụng đồng dạng riêng cho mỗi ly.
06 · Ranh giới của mô hình
Ly thật có thể là hình nón cụt, có đáy dày hoặc phần phình. Khi đó V(z)/V_{\text{đầy}} không bằng (z/H)^3 trên toàn bộ khoảng; phải mô tả hình dạng thật hoặc chia hình thành các phần.
Nếu hình nón đỉnh ở trên , phần rỗng phía trên có thể là nón nhỏ nhưng phần nước phía dưới là một nón cụt. Có thể dùng “thể tích toàn ly trừ phần rỗng” nếu các điều kiện phù hợp; không lấy chiều cao đo từ phía khác rồi áp dụng công thức của đỉnh dưới.
Kiểm giả thiết: hình dạng, chiều đặt, điểm gốc đo mực nước, hai ly có giống nhau, nước có thất thoát không.
07 · Quy trình chuyển giao
- Vẽ mặt cắt, đánh dấu đỉnh, miệng, H, R và chiều đo mực nước.
- Chứng minh phần nước đồng dạng bằng tỉ lệ bán kính–chiều cao, nếu đúng hình.
- Đổi tỉ lệ chiều cao thành tỉ lệ thể tích bằng lập phương; giữ miền [0,1].
- Viết bảo toàn theo lượng nước ban đầu và sau khi rót ở từng ly.
- Giải tỉ lệ thể tích, lấy căn bậc ba để trở lại chiều cao và kiểm rỗng–đầy, đơn vị.
Thẻ phương pháp: hình đúng → đồng dạng → lập phương → bảo toàn → căn bậc ba → kiểm miền.
LUKATO · Chuyên đề hình học Toán 9 · Sơ đồ và mô hình được biên soạn độc lập, không trình bày đáp án đề thi.