Sơn cột hình trụ: diện tích, đơn vị và quyết định làm tròn
Trải mặt bên để hiểu công thức, kiểm tra đơn vị của đơn giá và phân biệt làm tròn tiền với mua đủ vật liệu hoặc giữ trong ngân sách.
TOÁN THCS · DIỆN TÍCH MẶT BÊN VÀ MÔ HÌNH CHI PHÍ
Sơn cột hình trụ: diện tích, đơn vị và quyết định làm tròn
Trải mặt bên để hiểu công thức, kiểm tra đơn vị của đơn giá và phân biệt làm tròn tiền với mua đủ vật liệu hoặc giữ trong ngân sách.
1. Bắt đầu bằng phạm vi công việc
Một cột hình trụ thẳng cao 300 cm, đường kính đáy 30 cm. Chỉ sơn mặt xung quanh; đơn giá 200\,000 đồng trên mỗi mét vuông diện tích được sơn. Tính tiền sơn, làm tròn đến hàng nghìn đồng.
Mô hình ở đây coi cột có bề mặt nhẵn, không có phần bị che; không tính hai mặt đáy. Đơn giá đã mô tả toàn bộ công việc được yêu cầu, không tự cộng thêm phí cố định hay thêm lớp sơn. Ta dùng giá trị của \pi, chỉ làm tròn số tiền cuối cùng.
Dự đoán: Chu vi cột có gần 1 m không? Nếu cao 3 m, diện tích sơn sẽ gần 3\text{ m}^2, nên tiền có gần 600\,000 đồng không? Dự đoán này giúp phát hiện một kết quả sai gấp đôi hoặc sai hàng nghìn lần.
2. Trải mặt bên để hiểu công thức
Cắt mặt bên hình trụ dọc theo một đường sinh và trải phẳng, ta được hình chữ nhật. Một cạnh là chiều cao h, cạnh kia là chu vi đường tròn đáy 2\pi r=\pi d, với d=2r. Bởi vậy
S_{\mathrm{xq}}=(\pi d)h=2\pi rh.
Đây là công thức diện tích mặt bên, không phải thể tích. Hai đáy hình tròn không xuất hiện trong hình chữ nhật vừa trải.
Hình trụ bên trái là phác họa phối cảnh; hình chữ nhật bên phải có tỉ lệ đúng: chiều rộng 0{,}3\pi m và chiều cao 3 m. Công thức đến từ diện tích của hình chữ nhật này.
Nếu sơn cả mặt bên và một đáy, diện tích tăng thêm \pi r^2. Nếu sơn cả mặt bên và hai đáy, diện tích tăng thêm 2\pi r^2. Chọn công thức sau khi xác định bề mặt cần sơn, không dựa chỉ vào tên “hình trụ”.
3. Đơn vị diện tích phải khớp với đơn giá
Đổi độ dài trước khi tính:
h=300\text{ cm}=3\text{ m},\qquad d=30\text{ cm}=0{,}3\text{ m}.
Do đó
S_{\mathrm{xq}}=\pi\cdot0{,}3\cdot3=0{,}9\pi\text{ m}^2.
Kiểm tra bằng một con đường khác: giữ đơn vị centimet, ta được
S_{\mathrm{xq}}=\pi\cdot30\cdot300=9000\pi\text{ cm}^2.
Vì 1\text{ m}^2=100\text{ cm}\cdot100\text{ cm}=10\,000\text{ cm}^2, đổi diện tích phải chia cho 10\,000:
9000\pi:10\,000=0{,}9\pi\text{ m}^2.
Hai sai lầm có thể kiểm tra ngay: Dùng r=30 cm nhầm đường kính thành bán kính sẽ làm diện tích gấp đôi. Chia diện tích từ \text{cm}^2 sang \text{m}^2 cho 100 sẽ làm diện tích lớn gấp 100 lần. Cả hai đều mâu thuẫn với ước lượng gần 3\text{ m}^2.
Cũng có thể đổi đơn giá: 200\,000 đồng/\text{m}^2 tương đương 20 đồng/\text{cm}^2. Khi đó 9000\pi\cdot20=180\,000\pi đồng, đúng cùng một kết quả.
4. Nhân đơn giá rồi mới làm tròn
Gọi C là chi phí chính xác trong mô hình. Ta có
C=0{,}9\pi\cdot200\,000=180\,000\pi\text{ đồng}\approx565\,486{,}68\text{ đồng}.
Làm tròn đến hàng nghìn nghĩa là chọn bội của 1000 gần nhất. Hai bội lân cận là 565\,000 và 566\,000, có điểm giữa 565\,500. Vì chi phí nhỏ hơn điểm giữa, kết quả là
\boxed{565\,000\text{ đồng}}.
Có thể chứng minh việc làm tròn không phụ thuộc những chữ số chưa hiển thị: dùng 3{,}14159<\pi<3{,}14160, suy ra
565\,486{,}2<C<565\,488,
toàn bộ khoảng đều thấp hơn 565\,500 và cao hơn 564\,500, nên cùng làm tròn về 565\,000.
Đây là một đoạn phóng to của trục số, không bắt đầu từ 0. Chi phí nằm khá sát điểm giữa, nên cần giữ đủ chữ số trước bước làm tròn cuối.
Vì sao không thay pi bằng một phân số bất kì quen thuộc?
Nếu tự thay \pi bằng 22/7, ta được 180\,000\cdot22/7\approx565\,714{,}29 đồng, làm tròn thành 566\,000, khác kết quả trên. Phân số ấy là một xấp xỉ, không bằng \pi. Trong khi đó, dùng 3{,}14 ở riêng bài này cho 565\,200, vẫn làm tròn thành 565\,000, nhưng sự trùng kết quả cuối không bảo đảm một cách làm tròn sớm luôn an toàn.
Nếu một bài khác quy định dùng \pi=3{,}14 hoặc 22/7, phải thực hiện theo quy ước số của bài đó và nói rõ quy ước. Không gọi giá trị gần đúng là một đẳng thức của hằng số thật.
5. Diện tích bằng nhau có thể che giấu hai cột khác nhau
Từ S=\pi dh, nếu giữ tích dh không đổi thì diện tích mặt bên không đổi. Ví dụ hai cột:
- Cột thứ nhất: d=0{,}3 m, h=3 m.
- Cột thứ hai: d=0{,}6 m, h=1{,}5 m.
Cả hai đều có diện tích mặt bên 0{,}9\pi\text{ m}^2, nên có cùng chi phí theo đơn giá diện tích đã nêu. Nhưng thể tích khác nhau:
V_1=\pi(0{,}15)^2\cdot3=0{,}0675\pi\text{ m}^3,V_2=\pi(0{,}3)^2\cdot1{,}5=0{,}135\pi\text{ m}^3=2V_1.
Đây là phản ví dụ cho suy luận “tốn cùng tiền sơn thì hai cột chứa cùng thể tích”. Diện tích và thể tích phụ thuộc kích thước theo những cách khác nhau.
Gợi ý cho bài toán ngược
Nếu biết diện tích mặt bên chính xác S>0 và đường kính d>0, ta tìm được duy nhất chiều cao h=S/(\pi d). Nếu chỉ biết S, chưa thể tách riêng d và h; hai cột ở trên là hai nghiệm khác nhau cho cùng một diện tích.
6. Chuyển giao: thay kích thước và phần phải sơn
Giữ đơn giá, đổi cột
Một cột khác đường kính 40 cm, cao 2{,}5 m, chỉ sơn mặt bên. Tìm chi phí với cùng đơn giá và làm tròn đến hàng nghìn đồng.
Gợi ý rồi kiểm tra
Đổi 40 cm thành 0{,}4 m trước. Ta có dh=1, nên
S=\pi\text{ m}^2,\qquad C=200\,000\pi\approx628\,318{,}53\text{ đồng}.
Kết quả làm tròn là 628\,000 đồng. Chi phí lớn hơn cột đầu vì 1>0{,}9, dù cột này thấp hơn; chỉ so chiều cao là chưa đủ.
Một dải quanh cột được để nguyên
Tình huống mới: cột đầu cao 3 m nhưng một dải ngang ôm trọn chu vi, cao 0{,}2 m, không sơn. Phần còn lại có tổng chiều cao 2{,}8 m khi trải mặt bên, nên
S=\pi\cdot0{,}3\cdot2{,}8=0{,}84\pi\text{ m}^2,C=168\,000\pi\approx527\,787{,}57\text{ đồng}.
Làm tròn được 528\,000 đồng. Vị trí dải ở trên, giữa hay dưới không ảnh hưởng diện tích miễn dải đủ chu vi và có cùng chiều cao. Nếu chỉ che một miếng ở một phía, không thể tự trừ toàn bộ một dải ngang.
7. Ba nghĩa khác nhau của một số nguyên cuối cùng
Làm tròn tiền gần nhất
Đây là cách báo một giá trị gần đúng. Với bốn cột giống cột đầu, nếu hóa đơn cộng chi phí chính xác rồi mới làm tròn một lần:
C_4=720\,000\pi\approx2\,261\,946{,}71\text{ đồng},
kết quả là 2\,262\,000 đồng. Trong khi làm tròn từng cột rồi cộng cho 4\cdot565\,000=2\,260\,000. Hai quy trình khác nhau; cần biết hóa đơn áp dụng quy trình nào.
Mua đủ vật liệu là tìm số nguyên nhỏ nhất đạt ngưỡng
Ví dụ độc lập: sơn 10 cột đầu, mỗi cột hai lớp; mỗi hộp sơn phủ đủ 4\text{ m}^2 cho một lớp, bỏ qua hao hụt. Tổng diện tích theo số lớp là 10\cdot2\cdot0{,}9\pi=18\pi\text{ m}^2. Với n hộp cần
4n\ge18\pi.
Vì 14\cdot4=56<18\pi\approx56{,}55<60=15\cdot4, cần ít nhất 15 hộp. Đây không phải đơn giá sơn trọn gói ở ví dụ đầu: tình huống mới chỉ dùng định mức vật liệu đã nêu.
Không vượt ngân sách là tìm số nguyên lớn nhất dưới ngưỡng
Nếu ngân sách 3\,000\,000 đồng, chỉ có chi phí diện tích chính xác của cột đầu, số cột nguyên n phải thỏa 180\,000\pi n\le3\,000\,000. Năm cột cần khoảng 2\,827\,433{,}39 đồng; sáu cột cần khoảng 3\,392\,920{,}07 đồng. Do chi phí mỗi cột dương, nhiều nhất là 5 cột.
Không có quy tắc chung “thấy số thập phân thì làm tròn lên”. Trước tiên phải biết đang báo số gần đúng, mua đủ một lượng hay giữ trong một ngân sách; sau đó viết bất đẳng thức tương ứng.
8. Tự kiểm tra trước khi chốt một phép tính chi phí
- Đã xác định đúng mặt bên, một đáy hay hai đáy chưa?
- Số cho là đường kính hay bán kính? Hai đại lượng liên hệ thế nào?
- Diện tích đang ở đơn vị nào và đơn giá đang tính trên đơn vị nào?
- Đã giữ đủ chữ số đến kết quả tiền cuối cùng chưa?
- Số nguyên cuối cùng là giá trị làm tròn, số hộp tối thiểu hay số cột tối đa?
Một lời giải tốt gồm cả công thức, đơn vị, phạm vi công việc và quy tắc kết thúc phép tính. Đó là cách một mô hình hình học trở thành một dự toán có thể kiểm tra.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu