Trung điểm: từ độ dài đến đường thẳng
Dùng trung điểm để tạo song song và góc vuông, kiểm tra thứ tự đồng dạng, rồi phân biệt tỉ số độ dài với tỉ số diện tích.
TOÁN 9 · TRUNG ĐIỂM VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ĐỊNH LÍ
Trung điểm: từ độ dài đến đường thẳng
Dùng trung điểm để tạo song song và góc vuông, kiểm tra thứ tự đồng dạng, rồi phân biệt tỉ số độ dài với tỉ số diện tích.
1. Trung điểm cần cả vị trí lẫn độ dài
Điểm I là trung điểm của đoạn XY khi I nằm trên đoạn ấy và IX=IY, với X\ne Y. Hai phần của định nghĩa đều cần thiết. Nếu X=(-2,0),Y=(2,0),I=(0,3), thì IX=IY=\sqrt{13}, nhưng I không phải trung điểm XY vì không thẳng hàng với hai đầu mút.
Trong một đoạn có hai đầu mút phân biệt, trung điểm tồn tại duy nhất. Tính duy nhất cho phép một cách chứng minh hiệu quả: dựng trước điểm có tính chất cần thiết, rồi chứng minh điểm đang xét chính là điểm ấy.
Dự đoán. Nếu muốn chứng minh một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác, có nhất thiết phải tính hai nửa cạnh không? Một quan hệ song song có thể cho cả vị trí lẫn độ dài cùng lúc.
Bài học phát triển ba công cụ: trung điểm kết hợp với song song; trung điểm cạnh huyền kết hợp với góc vuông; và việc kiểm tra các điểm, góc, tam giác thực sự tồn tại trước khi dùng định lí.
2. Đường trung bình là một định lí có hai chiều
Cho tam giác không suy biến XYZ, I là trung điểm XY, J là trung điểm XZ. Khi đó
\boxed{IJ\parallel YZ},\qquad\boxed{IJ=\frac{YZ}{2}}.
Để thấy vì sao, qua I kẻ đường song song YZ, cắt XZ tại J'. Theo Thales:
\frac{XJ'}{XZ}=\frac{XI}{XY}=\frac12.
Do J' nằm trong đoạn XZ, nó là trung điểm đoạn này, nên J'=J. Hai tam giác XIJ và XYZ đồng dạng theo góc-góc, với tỉ số 1/2, do đó IJ=YZ/2.
Chiều ngược lại. Nếu biết I là trung điểm XY, J\in XZ và IJ\parallel YZ, thì chính tỉ số trên cho XJ/XZ=1/2, nên J là trung điểm XZ. Điều kiện “điểm nằm trên cạnh còn lại” không thể bỏ.
Phân biệt điều kiện đủ với một dấu hiệu nhìn có vẻ giống
Trong tam giác X=(0,0),Y=(8,0),Z=(0,6), lấy I=(4,0) và J=(0,2). Điểm I đúng là trung điểm XY, nhưng XJ/XZ=1/3\ne1/2. Vì thế IJ không song song YZ. Chỉ có một trung điểm chưa tạo ra đường trung bình.
3. Đổi mục tiêu “đi qua trung điểm” thành “song song”
Xét một tam giác bất kì NBC, không cần có đường tròn hay trực tâm. Gọi O là trung điểm NB, J là trung điểm NC, và lấy một điểm M\ne O. Khi đó
\boxed{O,M,J\ \text{thẳng hàng}\Longleftrightarrow OM\parallel BC}.
Thật vậy, định lí đường trung bình cho OJ\parallel BC và OJ=BC/2>0, nên O\ne J. Nếu O,M,J thẳng hàng, đường OM chính là OJ, nên song song BC. Ngược lại, nếu OM\parallel BC, qua O chỉ có một đường song song BC, nên OM trùng OJ và đi qua J.
Cách làm này không bắt đầu bằng một giao điểm chưa được chứng minh tồn tại. Trung điểm J chắc chắn có trước; tính duy nhất của đường song song hoàn thành lập luận.
Ví dụ độc lập: lấy N=(0,0),B=(8,0),C=(0,6). Khi đó O=(4,0),J=(0,3), BC=10, OJ=5. Điểm M=(2,3/2) là trung điểm OJ, nên đường OM đi qua trung điểm của NC. Nếu thay M bằng O, kí hiệu “đường OM” không còn được xác định bởi hai điểm phân biệt, dù hai tọa độ vẫn viết được.
Một điều kiện độ dài có thể giúp xác định trung điểm; một quan hệ song song có thể giúp xác định đường đi qua trung điểm. Đó là hai cách dùng khác nhau của cùng định lí, và chiều ngược cần được giải thích.
4. Trung điểm cạnh huyền tạo các khoảng cách bằng nhau
Cho tam giác AEH vuông tại E, và K là trung điểm AH. Ta có
\boxed{KA=KE=KH=\frac{AH}{2}}.
Một chứng minh ngắn dùng hình chữ nhật. Lấy F đối xứng với E qua K. Hai đường chéo AH,EF của tứ giác AEHF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên đó là hình bình hành. Vì góc AEH vuông, hình bình hành là hình chữ nhật. Hai đường chéo bằng nhau, nên KE=EF/2=AH/2.
Chiều ngược cũng đúng nếu A,E,H không thẳng hàng: khi K là trung điểm AH và KE=KA, cả A,E,H nằm trên đường tròn tâm K, có đường kính AH. Do đó góc AEH vuông. Như vậy đây là một tiêu chuẩn để nhận ra góc vuông, chứ không chỉ là công thức độ dài.
Cạnh huyền AH có trung điểm K. Đoạn KE được thêm để nhìn thấy ba khoảng cách bằng nhau; hình vẽ dùng hai cạnh góc vuông dài 6 và 8.
Ví dụ, nếu AE=6,EH=8, thì AH=10, nên KE=5. Còn chỉ biết K là trung điểm AH thì chưa đủ: lấy A=(-1,0),H=(1,0),E=(0,2), ta có KA=KH=1 nhưng KE=2. Điều kiện vuông ở E chính là phần còn thiếu.
Hệ quả hữu ích là KE=KH, nên tam giác KEH cân và \angle KEH=\angle KHE. Nếu thêm B trên tia EH, ở ngoài đoạn EH, thì \angle KEB=\angle KEH. Phải nêu đúng vị trí của B: nếu B ở phía đối diện trên đường EH, tia EB đổi hướng và góc chuyển thành góc bù.
5. Tỉ số không có thứ tự tương ứng thì chưa đủ dùng
Cho tam giác XYZ vuông tại Y, với XY=3,YZ=4,XZ=5; tam giác UVW vuông tại V, với UV=6,VW=8,UW=10. Ta có hai cạnh kề góc vuông tỉ lệ:
\frac{XY}{UV}=\frac{YZ}{VW}=\frac12,\qquad\angle XYZ=\angle UVW=90^\circ.
Theo cạnh-góc-cạnh, \triangle XYZ\sim\triangle UVW, với X\leftrightarrow U,Y\leftrightarrow V,Z\leftrightarrow W. Vì vậy tỉ số cạnh huyền cũng bằng 1/2.
Nếu viết \triangle XYZ\sim\triangle UWV, ta đã ghép góc vuông Y với góc nhọn W, nên thứ tự ấy sai. Một tên tam giác không chỉ là danh sách ba chữ: nó ghi lại sự tương ứng.
Hai cặp cạnh tỉ lệ mà thiếu góc xen giữa cũng chưa đủ. Hai tam giác có bộ cạnh (3,4,5) và (3,4,6) đều tồn tại vì thỏa bất đẳng thức tam giác. Chúng có hai cặp cạnh bằng nhau, nhưng không đồng dạng: nếu tỉ số là 1, cạnh thứ ba cũng phải bằng nhau, trong khi 5\ne6.
Gợi ý khi một lời giải muốn nối hai lần đồng dạng
Trước mỗi lần dùng, hãy ghi cặp góc vuông hoặc cặp góc chung, rồi mới viết tỉ số theo thứ tự. Nếu chỉ thu được một đẳng thức như a/b=c/d, chưa thể tự kết luận một cặp tam giác khác đồng dạng; cần đủ điều kiện của góc-góc, cạnh-góc-cạnh hoặc cạnh-cạnh-cạnh. Đồng dạng trước không tự thay thế các giả thiết còn thiếu của đồng dạng sau.
6. Hai tên điểm có thể chỉ cùng một điểm
Ví dụ chọn lọc sau minh họa vì sao cần kiểm tra tính phân biệt. Dựng A,E,C thẳng hàng theo thứ tự, AE=6,EC=4, BE\perp AC, BE=4\sqrt3. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K là trung điểm AH. Qua K kẻ đường vuông góc với BK, cắt AC tại M.
Đây là một tam giác nhọn và AB<AC. Thật vậy, AB=\sqrt{84}<10, BC=8; góc C bằng 60^\circ vì EC/BC=1/2. Chân đường cao D từ A xuống BC thỏa CD=AC\cos60^\circ=5<BC=8, nên D nằm trong BC và góc B nhọn. Góc A nhọn vì E nằm trong AC và tam giác ABE vuông tại E.
Hai tam giác vuông AHE và BCE đồng dạng: góc tại A của tam giác đầu và góc tại B của tam giác sau đều phụ với góc C. Do đó
\frac{EH}{EC}=\frac{AE}{BE}\quad\Rightarrow\quad EH=2\sqrt3.
Gọi L là hình chiếu của K lên AC, P là hình chiếu của K lên BE. Từ các đường trung bình và hình chữ nhật LEPK:
LE=KP=3,\quad KL=EP=\sqrt3,\quad BP=3\sqrt3.
Pythagore cho
BK^2=3^2+(3\sqrt3)^2=36,\qquad KE^2=3^2+(\sqrt3)^2=12,\qquad BE^2=48.
Vì BK^2+KE^2=BE^2, chiều đảo của định lí Pythagore cho BK\perp KE. Đường qua K vuông góc với BK chính là đường KE, nên giao điểm của nó với AC là E:
\boxed{M=E}.
Hai tên E, M được ghi tại cùng một điểm. Đường tròn có đường kính BE chứa B, K và E; H là tâm của đường tròn này trong ví dụ cụ thể.
Tam giác BKE vẫn là tam giác vuông, nên ba điểm phân biệt B,K,E thuộc đường tròn đường kính BE. Nhưng gọi B,K,E,M là một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh phân biệt là sai, và góc BEM không xác định. Ngoại lệ này không đến từ tam giác ban đầu suy biến; nó xảy ra ngay trong một tam giác nhọn thỏa điều kiện so sánh cạnh.
Chuyển giao về cách đọc. Khi một định lí cần tứ giác, góc hoặc đường thẳng, trước hết kiểm tra đủ số điểm phân biệt. Một phép tính số đúng không tự bảo đảm các đối tượng hình học được dùng đều tồn tại.
7. Nửa độ dài không có nghĩa là nửa diện tích
Trở lại tam giác XYZ, lấy I trong cạnh XY sao cho XI/XY=k, với 0<k<1. Qua I kẻ đường song song YZ, cắt XZ tại J. Thales và đồng dạng cho
\frac{XJ}{XZ}=\frac{IJ}{YZ}=k.
Hai đường cao tương ứng cũng có tỉ số k: chúng nằm trong những tam giác vuông đồng dạng có các góc nhọn tương ứng bằng nhau. Vì diện tích bằng một nửa đáy nhân chiều cao:
\boxed{\frac{S_{XIJ}}{S_{XYZ}}=k^2}.
Khi I,J là hai trung điểm, k=1/2, nên tam giác nhỏ có diện tích bằng 1/4 tam giác lớn. Muốn diện tích bằng một nửa, phải có k^2=1/2, tức k=1/\sqrt2, vì k>0. Các điểm chia cạnh khi ấy không phải trung điểm.
Hai đường cắt cùng song song với YZ. Tam giác màu xanh có một phần tư diện tích tam giác lớn; tam giác giới hạn bởi đường tím có một nửa diện tích.
Ví dụ số và hai đầu mút
Nếu tam giác lớn có đáy 10, chiều cao tương ứng 6, diện tích là 30. Đường trung bình tạo tam giác nhỏ có diện tích 30/4=7{,}5. Đường cắt tạo nửa diện tích cho tam giác nhỏ có diện tích 15, với tỉ số độ dài 1/\sqrt2.
Ở k=0, hai điểm I,J cùng trùng X, diện tích bằng 0; không áp dụng đồng dạng cho “tam giác” đã co lại. Ở k=1, I=Y,J=Z, tam giác nhỏ chính là tam giác lớn; đường cắt trùng cạnh YZ. Công thức diện tích vẫn mở rộng tới hai đầu mút bằng tính trực tiếp, nhưng phát biểu về đường song song phân biệt được dùng trong khoảng 0<k<1.
Ba câu hỏi giúp kiểm soát cả bài học: điểm đã nằm đúng trên đoạn chưa; tam giác và góc đã được xác định bởi các điểm phân biệt chưa; tỉ số đang nói về độ dài hay diện tích? Trả lời được chúng mới cho phép dùng các công cụ trung điểm và đồng dạng một cách chắc chắn.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu