Từ đường kính và trung điểm đến hình thoi và thẳng hàng
Ba phương pháp hình học từ cùng một cấu hình: nhận ra đường tròn phụ, dùng hai đường chéo để chứng minh hình thoi, và kiểm tra điều kiện quyết định tính…
HÌNH HỌC 9 · GIẢ THIẾT NÀO QUYẾT ĐỊNH KẾT QUẢ?
Từ đường kính và trung điểm đến hình thoi và thẳng hàng
Ba phương pháp hình học từ cùng một cấu hình: nhận ra đường tròn phụ, dùng hai đường chéo để chứng minh hình thoi, và kiểm tra điều kiện quyết định tính thẳng hàng.
1. Ba mục tiêu hình học, ba câu hỏi khác nhau
Khi một hình vẽ có đường tròn, trung điểm và đường vuông góc, ta thường cố dùng tất cả dữ kiện cùng lúc. Cách hiệu quả hơn là hỏi từng việc một: góc vuông nào tạo đường tròn phụ; đoạn nào bị chia đôi; và hai đường thẳng nào có thể trùng nhau nhờ cùng một tính chất?
Sau chuyên đề, em có thể nhận biết tứ giác nội tiếp bằng đường kính, chứng minh hình thoi bằng hai đường chéo, và chứng minh thẳng hàng bằng tính duy nhất của đường vuông góc. Mỗi phương pháp có một dấu hiệu nhận biết riêng.
Kiến thức nền: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn; đường vuông góc từ tâm đến dây; dấu hiệu hình bình hành và hình thoi; tam giác vuông bằng nhau hoặc đồng dạng.
Dự đoán: Để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, em có cần biết tâm của đường tròn ban đầu không? Để chứng minh hình thoi, có nhất thiết tính cả bốn cạnh không?
2. Dựng một cấu hình với các điểm thật sự phân biệt
Cho đường tròn tâm O, bán kính R>0, đường kính AB. Lấy M nằm trong đoạn OB, khác O,B. Gọi H là trung điểm AM. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc AB, cắt đường tròn ở C,D. Từ M hạ ME\perp BC tại E.
Trên đường kính, thứ tự là A,H,O,M,B. Vì H nằm bên trong đường tròn, dây CD có hai đầu mút phân biệt, ở hai phía của AB. Ta quy ước C ở phía trên trong hình minh họa; đổi hai phía không đổi lập luận.
Minh họa đúng tỉ lệ với R=5, OM=1. Màu xanh làm nổi bật tứ giác ACMD; đường màu hồng chứa D,M,E. Hình là gợi ý cho điều cần chứng minh, không thay thế chứng minh.
Ba kết luận sẽ xuất hiện từ cùng một cấu hình: M,H,C,E đồng viên; ACMD là hình thoi; D,M,E thẳng hàng. Ta cần tìm đúng nguyên nhân của từng kết luận.
3. Nội tiếp: hai góc vuông phải nhìn cùng một đoạn
Trong hai góc \angle MHC và \angle MEC, cặp đầu mút chung là gì? Hãy gọi tên đường kính trước khi đọc tiếp.
Gợi ý
Một góc vuông tại X nhìn đoạn UV nghĩa là \angle UXV=90^\circ. Đỉnh góc là X, còn đường kính cần tìm là UV, không phải một cạnh bất kì của góc.
Vì MH nằm trên AB, còn HC\perp AB, ta có \angle MHC=90^\circ. Vì E,C cùng thuộc BC và ME\perp BC, ta có \angle MEC=90^\circ. Do đó H,E đều nằm trên đường tròn đường kính MC:
\boxed{M,H,C,E\text{ đồng viên}.}
Đường tròn mới này khác đường tròn tâm O. Không có lí do để M, một điểm ở trong đường kính, thuộc đường tròn ban đầu.
Mẫu áp dụng tổng quát. Với hai điểm phân biệt U,V, nếu UX\perp VX và UY\perp VY, đồng thời bốn điểm phân biệt, thì U,X,V,Y đồng viên trên đường tròn đường kính UV. Điều kiện “cùng một đoạn UV” quan trọng hơn việc chỉ đếm được hai góc vuông.
Hai góc vuông ở hai vị trí bất kì chưa đủ. Ví dụ hai tam giác vuông không có chung cạnh huyền không tự động cho bốn đỉnh cần xét cùng một đường tròn.
4. Hình thoi: tận dụng hai đường chéo trước
Trong tứ giác theo thứ tự A,C,M,D, hai đường chéo là AM và CD. Đó là hai đoạn đã có rất nhiều dữ kiện; ta chưa cần xét độ dài bốn cạnh.
Vì O,H\in AB và CD\perp AB, ta có OH\perp CD. Đường vuông góc từ tâm tới dây chia đôi dây, nên HC=HD. Nếu muốn chứng minh lại định lí: hai tam giác vuông OHC,OHD có cạnh huyền OC=OD=R và cạnh góc vuông OH chung, nên bằng nhau.
Theo cách dựng, HA=HM. Như vậy hai đường chéo AM,CD chia đôi nhau tại H, suy ra ACMD là hình bình hành. Lại có AM\perp CD, nên hình bình hành ấy là hình thoi.
Vì sao hai đường chéo vuông góc biến hình bình hành thành hình thoi?
Trong hình bình hành, giao điểm đường chéo H là trung điểm của mỗi đường. Hai tam giác vuông AHC,MHC có AH=HM và HC chung, nên AC=CM. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau thì bốn cạnh bằng nhau. Hoặc so sánh trực tiếp cả bốn tam giác vuông quanh H.
\boxed{AC=CM=MD=DA.}
Quy tắc chuyển giao: Muốn dùng dấu hiệu “hai đường chéo vuông góc”, phải biết trước tứ giác là hình bình hành. Chỉ vuông góc thôi chưa đủ; một hình diều cũng có thể có hai đường chéo vuông góc.
5. Thẳng hàng: tìm một đường thẳng được xác định duy nhất
Để chứng minh D,M,E thẳng hàng, hãy thử chứng minh MD có cùng tính chất định nghĩa với ME. Đường nào của hình thoi song song MD?
Gợi ý
Hai cạnh đối của hình thoi song song. Mặt khác, đường kính AB khiến góc ACB trở thành góc vuông.
Từ hình thoi, MD\parallel AC. Vì AB là đường kính và C nằm trên đường tròn, \angle ACB=90^\circ, hay AC\perp BC. Do đó MD\perp BC.
Đường ME cũng đi qua M và vuông góc BC. Qua một điểm chỉ có một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Vì vậy MD và ME là cùng một đường thẳng:
\boxed{D,M,E\text{ thẳng hàng}.}
Câu hỏi về sự phụ thuộc. Kết quả đồng viên ở mục 3 có được dùng để chứng minh hình thoi hoặc thẳng hàng không? Không. Nó là một nhánh độc lập từ các góc vuông. Nhánh còn lại dùng trung điểm dây, hình thoi và góc chắn đường kính. Một lời chứng minh tốt cần đúng dữ kiện, không cần ép mọi kết luận trước đó vào bước sau.
6. Biến cấu trúc hình học thành công thức độ dài
Đặt t=AM. Với giả thiết ban đầu M\in OB, ta có R<t<2R, AH=HM=t/2, OH=R-t/2. Trong tam giác vuông OHC,
HC^2=R^2-\left(R-\frac t2\right)^2=Rt-\frac{t^2}{4}.
Trong tam giác vuông AHC, tiếp tục dùng Pythagore:
AC^2=AH^2+HC^2=\frac{t^2}{4}+Rt-\frac{t^2}{4}=Rt.
Vậy độ dài cạnh hình thoi là \sqrt{Rt}; hai đường chéo là t và 2\sqrt{Rt-t^2/4}. Diện tích hình thoi bằng tổng diện tích bốn tam giác vuông quanh H:
S_{ACMD}=\frac{AM\cdot CD}{2}=t\sqrt{Rt-\frac{t^2}{4}}.
Với R=5,\ OM=1, ta có t=AM=6, OH=2, HC=\sqrt{21}. Do đó
AC=\sqrt{30},\qquad CD=2\sqrt{21},\qquad S_{ACMD}=6\sqrt{21}.
Kiểm tra bằng một cách khác: mỗi tam giác nhỏ có diện tích \tfrac12\cdot3\cdot\sqrt{21}, nên cả bốn có tổng 6\sqrt{21}. Công thức không chỉ cho một con số; nó giải thích vai trò của từng đường chéo.
7. Bỏ điều kiện trung điểm: điều gì còn đúng?
Giữ M và đường kính AB, nhưng lấy H bất kì trong đoạn AM, rồi vẫn dựng dây CD\perp AB tại H và chân E của đường vuông góc từ M xuống BC.
Dự đoán riêng ba kết luận: đồng viên, hình thoi, thẳng hàng. Đừng trả lời “tất cả sai” chỉ vì một giả thiết thay đổi.
Phân tích điều kiện
Hai góc vuông tại H,E vẫn tồn tại, nên M,H,C,E vẫn đồng viên. Đường kính vuông góc dây vẫn chia đôi CD, nên HC=HD. Nhưng không còn HA=HM, vì thế chưa có hình bình hành và hình thoi. Kết luận D,M,E thẳng hàng cũng không còn được bảo đảm.
Phản ví dụ có thể tự kiểm tra. Trên mặt phẳng tọa độ, lấy O=H=(0,0), A=(-5,0), B=(5,0), M=(1,0), C=(0,5), D=(0,-5). Đây vẫn là đường tròn bán kính 5; H nằm trong AM, nhưng HA=5\ne1=HM.
AC=AD=\sqrt{50},\qquad CM=MD=\sqrt{26}.
Tứ giác không phải hình thoi. Đường BC có phương trình y=5-x. Đường qua M vuông góc BC là y=x-1, nên E=(3,2). Trong khi đó MD có phương trình y=5x-5, và E không thỏa. Vậy ba điểm không thẳng hàng.
Đường ME màu hồng không trùng MD. Hai góc vuông vẫn bảo đảm đồng viên, nhưng thiếu trung điểm làm mất hình thoi và thẳng hàng.
8. Tìm chiều đảo để hiểu giả thiết sâu hơn
Trong cấu hình mở rộng của mục 7, nếu biết thêm D,M,E thẳng hàng, liệu có thể khôi phục H là trung điểm AM không?
Gợi ý
Từ thẳng hàng và ME\perp BC, suy ra MD\perp BC. So sánh với AC. Sau đó xét hai tam giác vuông ở hai phía H.
Vì AC\perp BC và MD\perp BC, nên AC\parallel MD. Hai tam giác vuông AHC,MHD có một cặp góc nhọn bằng nhau do các cặp cạnh tương ứng song song hoặc thẳng hàng, nên đồng dạng với sự tương ứng A\leftrightarrow M, H\leftrightarrow H, C\leftrightarrow D. Vì HC=HD, tỉ số đồng dạng bằng 1; suy ra HA=HM.
Với H nằm trong AM và các điểm dựng như trên, thẳng hàng D,M,E tương đương với điều kiện H là trung điểm AM. Ta đã biết cả chiều thuận và chiều đảo, nên hiểu được điều kiện nào thật sự quyết định kết quả.
9. Luyện chuyển giao có gợi ý và tự kiểm tra
Thử 1: đổi kích thước. Cho R=10,\ OM=2. Tính cạnh và diện tích hình thoi mà không dựng lại toàn bộ chứng minh.
Gợi ý rồi đối chiếu
Hình được phóng to gấp 2 so với ví dụ R=5,OM=1. Vì thế cạnh bằng 2\sqrt{30}, diện tích bằng 24\sqrt{21}. Tính trực tiếp: t=12, AC=\sqrt{120}, HC=\sqrt{84}, nên S=12\sqrt{84}=24\sqrt{21}. Diện tích tăng gấp 4, không phải gấp 2.
Thử 2: một trường hợp bị loại khỏi giả thiết ban đầu. Nếu cho M=O, ba kết luận có còn đúng không?
Lời giải
Còn đúng. H vẫn ở giữa A,M, dây CD vẫn có hai đầu phân biệt, các chứng minh góc vuông và trung điểm không hỏng. Khi AM=R, cạnh hình thoi bằng R. Việc một trường hợp bị bỏ ra trong giả thiết ban đầu không có nghĩa kết luận phải sai ở trường hợp đó.
Thử 3: một biên thực sự gây suy biến. Nếu cho M=B, vì sao không được gọi MHCE là một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh phân biệt?
Lời giải
Lúc này chân vuông góc từ M=B xuống BC chính là E=B=M. Hai đỉnh trùng nhau, đoạn ME có độ dài bằng 0, nên cách nói “đường thẳng ME” không còn xác định bằng hai điểm phân biệt. Hình ACMD vẫn là hình vuông khi H=O, nhưng kết luận về tứ giác MHCE cần phát biểu lại.
Tự kiểm tra. Em đã chỉ rõ đường kính nào tạo từng góc vuông chưa? Em có chứng minh cả hai đường chéo bị chia đôi chưa? Em đã gọi đúng thứ tự đỉnh ACMD chưa? Khi nói hai đường thẳng trùng nhau, em đã chỉ rõ điểm chung và tính chất duy nhất chưa? Em có phân biệt một kết luận không còn chắc chắn với một kết luận luôn sai chưa?
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu