Hai tổ hợp và tổng bình phương: nhận cấu trúc, khôi phục nghiệm
Chứng minh một hằng đẳng thức giữ khoảng cách theo cùng hệ số, dùng nó để tính đại lượng của hệ và kiểm tra đầy đủ chiều đảo cùng điều kiện nghiệm nguyên.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hai tổ hợp và tổng bình phương: nhận cấu trúc, khôi phục nghiệm
Chứng minh một hằng đẳng thức giữ khoảng cách theo cùng hệ số, dùng nó để tính đại lượng của hệ và kiểm tra đầy đủ chiều đảo cùng điều kiện nghiệm nguyên.
01 · Hai biểu thức có thể giữ một đại lượng chung
Khi một hệ phương trình hỏi x^2+y^2, tìm riêng x,y là một cách làm. Đôi khi chính cấu trúc hai vế trái cho phép tìm tổng bình phương ngay. Ta cần nhận ra vì sao các tích chéo triệt tiêu, và cần phân biệt việc tìm một đại lượng với việc tìm toàn bộ nghiệm.
Với bốn số thực a,b,x,y, đặt u=ax-by, v=bx+ay. Khai triển từng bình phương:
u^2=a^2x^2-2abxy+b^2y^2,
v^2=b^2x^2+2abxy+a^2y^2.
Hai tích chéo đối nhau nên (ax-by)^2+(bx+ay)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2).
Đây là đẳng thức đúng với mọi số thực, kể cả số âm và số 0. Điều kiện chia sẽ xuất hiện khi ta dùng nó theo chiều ngược, chứ không phải khi chứng minh đẳng thức.
02 · Khi nào tìm được cả hai ẩn?
Xét hệ ax-by=p, bx+ay=q. Đặt k=a^2+b^2. Nếu (a,b)\ne(0,0), thì k>0. Nhân phương trình đầu với a, phương trình sau với b, rồi cộng, được kx=ap+bq. Lấy a lần phương trình sau trừ b lần phương trình đầu, được ky=aq-bp. Vì thế
x=\frac{ap+bq}{k},\qquad y=\frac{aq-bp}{k}.
Đây mới là điều kiện cần. Thay ngược hai biểu thức vào, ta được
ax-by=\frac{a(ap+bq)-b(aq-bp)}k=p,
bx+ay=\frac{b(ap+bq)+a(aq-bp)}k=q.
Vậy với mọi p,q thực, hệ có đúng một nghiệm thực. Đẳng thức phần 01 cho trực tiếp
x^2+y^2=\frac{p^2+q^2}{a^2+b^2}.
Nếu a=b=0, không dùng công thức chia: khi p=q=0, mọi cặp thực đều là nghiệm; nếu ít nhất một trong p,q khác 0, hệ vô nghiệm. Nếu chỉ một trong a,b bằng 0, công thức vẫn hợp lệ vì k>0; ta không cần chia riêng cho a hay b.
03 · Một mẫu nguồn và giới hạn của phép cộng bình phương
Mẫu được chọn cho hệ
2x-y=3,\qquad x+2y=4,
và hỏi x^2+y^2. Nhận ra a=2,b=1,p=3,q=4, ta có 5(x^2+y^2)=3^2+4^2=25, nên x^2+y^2=5. Công thức ngược cho x=(2\cdot3+4)/5=2, y=(2\cdot4-3)/5=1. Thế lại: 4-1=3, 2+2=4.
Phương trình x^2+y^2=5 riêng lẻ không tương đương với hệ. Chẳng hạn (x,y)=(\sqrt5,0) có cùng tổng bình phương nhưng không thỏa 2x-y=3. Cộng bình phương giữ một thông tin về nghiệm; nó không giữ toàn bộ hai phương trình.
Nếu chỉ biết p^2+q^2=25, tổng bình phương của nghiệm vẫn là 5, nhưng không còn biết cặp (x,y) cụ thể. Khi p=q=0 và k>0, tổng bình phương bằng 0, nên x=y=0; đó là trường hợp một tổng bình phương đủ xác định cả hai số.
04 · Một cách nhìn bằng khoảng cách
Trong mặt phẳng tọa độ, biến điểm P(x,y) thành Q(ax-by,bx+ay). Khoảng cách đến gốc tọa độ O thỏa OQ^2=k\,OP^2, nên OQ=\sqrt k\,OP, vì độ dài không âm.
Lấy hai điểm bất kỳ P_1,P_2. Hiệu hai tọa độ ảnh có cùng cấu trúc với hiệu tọa độ gốc, nên cùng đẳng thức cho
Q_1Q_2=\sqrt k\,P_1P_2.
Khi k>0, hai điểm phân biệt có ảnh phân biệt. Mọi tam giác thật sự được biến thành tam giác có cả ba cạnh nhân cùng một hệ số, nên đồng dạng theo cạnh–cạnh–cạnh. Các góc được giữ; các độ dài chỉ giữ nguyên khi k=1.
Cùng tỉ lệ 38 đơn vị hình cho một đơn vị tọa độ. Với a=2,b=1, điểm P=(2,1) có OP=\sqrt5; ảnh Q=(3,4) có OQ=5. Hệ số độ dài là \sqrt5, không phải 5.
Một đường tròn tâm O, bán kính r>0, được biến thành toàn bộ đường tròn bán kính \sqrt k\,r. Chiều thuận đến từ khoảng cách. Chiều đảo: với bất kỳ điểm ảnh trên đường tròn mới, công thức ngược ở phần 02 tạo đúng một điểm gốc; đẳng thức bình phương buộc khoảng cách gốc bằng r. Không chỉ một phần đường tròn được tạo ra.
Trường hợp a=0,b=1 cho (x,y)\mapsto(-y,x): đó là quay ngược chiều kim đồng hồ 90^\circ quanh O, và k=1 nên mọi khoảng cách giữ nguyên. Nếu a=b=0, mọi điểm co về O, mất tính một-một và không còn phép đồng dạng.
05 · Kiểm tra cấu trúc trước khi dùng công thức
Đổi dấu đầu tiên thành u=2x+y, giữ v=x+2y, thì
u^2+v^2=5x^2+8xy+5y^2.
Hai tích chéo cộng vào nhau. Tại (1,1), tổng ảnh bằng 18; tại (1,-1), tổng ảnh bằng 2. Hai điểm gốc đều có x^2+y^2=2, nên không có một hệ số chung nhân tổng bình phương cho cặp biểu thức này.
Tổng quát hơn, với u=ax+by, v=cx+dy, ta có
u^2+v^2=(a^2+c^2)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2)y^2.
Muốn đẳng thức u^2+v^2=k(x^2+y^2) đúng với mọi x,y, cần và đủ
a^2+c^2=b^2+d^2=k,\qquad ab+cd=0.
Chiều cần có thể kiểm bằng ba cặp: thế (1,0), (0,1) cho hai hệ số bình phương; thế (1,1) rồi trừ hai kết quả trước buộc tích chéo bằng 0. Chiều đủ là thay các điều kiện vào khai triển. Với hệ số thực, k\ge0; k=0 buộc cả bốn hệ số bằng 0.
06 · Nghiệm thực duy nhất chưa chắc là nghiệm nguyên
Trở lại họ 2x-y=p, x+2y=q, với p,q nguyên. Công thức ngược cho x=(2p+q)/5, y=(2q-p)/5. Cả hai nguyên khi và chỉ khi 2p+q chia hết cho 5.
Chiều cần do 2p+q=5x. Chiều đủ: nếu 2p+q chia hết cho 5, thì 2q-p=2(2p+q)-5p cũng chia hết cho 5. Hai tọa độ từ công thức ngược đều nguyên và đã được kiểm thỏa hệ.
Điều kiện (p^2+q^2)/5 nguyên chưa đủ. Chọn p=1,q=2: tổng bình phương của nghiệm bằng 1, nhưng nghiệm là (4/5,3/5), không nguyên. Một đại lượng nguyên không buộc từng thành phần tạo ra nó nguyên.
07 · Ghép hai lần biến đổi và tự kiểm
Thực hiện (x,y)\mapsto(ax-by,bx+ay), rồi dùng cặp hệ số (c,d) cho ảnh vừa có. Phân phối và gom hệ số cho ảnh cuối:
\bigl((ac-bd)x-(ad+bc)y,\ (ad+bc)x+(ac-bd)y\bigr).
Nó vẫn có cùng cấu trúc. Hệ số bình phương độ dài của hai lần ghép là
(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2),
đúng bởi đẳng thức đầu bài. Hệ số độ dài nhân nhau; nếu một cặp hệ số đều bằng 0, ảnh cuối co về gốc như công thức dự đoán.
Dùng cặp hệ số (2;1) hai lần cho điểm (2;1)
Lần đầu được (3,4), lần sau (2,11). Cặp hệ số ghép là (3,4), nên bình phương độ dài nhân 25: 2^2+11^2=125=25(2^2+1^2). Độ dài nhân 5, không phải 25.
Nếu 3x trừ4y bằng5 và4x cộng3y bằng0?
Với a=3,b=4, k=25, tổng bình phương là 25/25=1. Công thức ngược cho x=3/5,y=-4/5; thế lại được 5 và 0. Dấu âm của một nghiệm không gây vấn đề vì đẳng thức đúng với mọi số thực.
Đường tròn ảnh có bán kính bằng0 nói gì?
Nếu k>0, điều đó buộc bán kính gốc bằng 0, tức chỉ có một điểm. Nếu k=0, mọi điểm gốc đều có chung ảnh; không thể suy ngược bán kính hay tọa độ. Phải kiểm hệ số trước khi chia.
Nhận diện cấu trúc giúp tính nhanh, nhưng chứng minh đầy đủ còn phải tách ba việc: tổng bình phương được giữ theo hệ số nào, cặp ẩn có khôi phục được không, và nghiệm khôi phục có thỏa điều kiện bổ sung như tính nguyên hay không.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện