Trung điểm và đường thẳng: tiêu chuẩn bậc nhất và cách nhìn hình học
Chứng minh tiêu chuẩn hai giá trị đối nhau, dựng đầu mút ngược, dùng đối xứng–đường trung bình và phân biệt giao đoạn với trung điểm.
HÌNH HỌC 9 · ĐẠI SỐ VÀ HÌNH VẼ
Trung điểm và đường thẳng: tiêu chuẩn bậc nhất và cách nhìn hình học
Chứng minh tiêu chuẩn hai giá trị đối nhau, dựng đầu mút ngược, dùng đối xứng–đường trung bình và phân biệt giao đoạn với trung điểm.
1. Muốn đường đi qua trung điểm, hãy thử trung điểm thật
Để chứng minh một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn UV, có hai cách tổ chức khác nhau: lấy giao điểm rồi chứng minh hai đoạn bằng nhau, hoặc xác định trung điểm F trước rồi chứng minh F thuộc đường thẳng. Cách thứ hai đặc biệt hiệu quả khi đường có phương trình bậc nhất.
Với U=(x_U,y_U), V=(x_V,y_V), trung điểm có tọa độ:
F=\left(\frac{x_U+x_V}{2},\frac{y_U+y_V}{2}\right).
Mỗi tọa độ là trung bình của hai tọa độ tương ứng. Có thể thấy điều này bằng cách chiếu đoạn thẳng lên hai trục: phép chiếu song song giữ trung điểm nhờ định lí đường trung bình. Nếu một hình chiếu co lại thành một điểm, hai tọa độ đầu mút đã bằng nhau, công thức vẫn đúng trực tiếp.
Không cần biết sẵn một giao điểm có phải trung điểm. Ta có thể dùng trung điểm đã được xác định đúng, rồi kiểm điều kiện thuộc đường thẳng.
2. Tiêu chuẩn bậc nhất: hai giá trị đối nhau
Cho đường thẳng d:ax+by+c=0, trong đó a,b không đồng thời bằng 0. Đặt L(x,y)=ax+by+c. Đây là một biểu thức bậc nhất có hằng số, còn gọi là biểu thức affine. Với trung điểm F của UV:
\begin{aligned}L(F)&=a\frac{x_U+x_V}{2}+b\frac{y_U+y_V}{2}+c\\&=\frac{(ax_U+by_U+c)+(ax_V+by_V+c)}2\\&=\frac{L(U)+L(V)}2.\end{aligned}
Bởi vậy có cả hai chiều:
F\in d\quad\Longleftrightarrow\quad L(U)+L(V)=0.
Chiều thuận: nếu L(F)=0, nhân đôi đẳng thức cho tổng hai giá trị bằng 0. Chiều đảo: tổng bằng 0 thì L(F)=0, tức F\in d. Không có phép chia cho tọa độ hay cho L(U), nên các giá trị bằng không không bị bỏ sót.
Hằng số c xuất hiện ở cả L(U) lẫn L(V); cộng lại cho 2c, rồi chia hai mới còn c. Nếu chỉ cộng c một lần ở tử, công thức sai. Điều kiện (a,b)\ne(0,0) cũng cần: nếu cả hai bằng không, phương trình chỉ là c=0, không xác định một đường thẳng.
Nhân cả phương trình đường thẳng với k\ne0 không thay tiêu chuẩn. Biểu thức mới là kL, và kL(U)+kL(V)=0 tương đương L(U)+L(V)=0. Vì thế ta có thể khử mẫu trước khi tính để giảm sai sót.
3. Ứng dụng dựng ngược: tìm một đầu mút
Cho d:2x-y+3=0, U=(2,1). Tìm tất cả điểm V để trung điểm UV nằm trên d.
Ta có L(U)=2\cdot2-1+3=6. Do tiêu chuẩn, cần và đủ L(V)=-6. Viết V=(s,t):
2s-t+3=-6\quad\Longleftrightarrow\quad2s-t+9=0.
Vậy các điểm V nằm trên đường thẳng 2x-y+9=0, song song với d. Không có lí do để chọn ngay một điểm duy nhất: mới chỉ có một phương trình cho hai tọa độ.
Nếu thêm điều kiện V nằm trên đường y=3, thì 2s-3+9=0 cho s=-3. Điểm duy nhất là V=(-3,3). Kiểm trực tiếp: trung điểm F=(-1/2,2) thỏa 2(-1/2)-2+3=0.
Vì sao không cần giải lại toàn bộ khi đổi điều kiện cuối thành V\in d?
Hai giá trị không thể vừa bằng không vừa bằng âm sáu
Nếu V\in d, ta có L(V)=0, nhưng điều kiện trung điểm đòi L(V)=-6. Không có điểm nào. Tổng quát: nếu một đầu mút nằm trên d và trung điểm cũng nằm trên d, thì đầu mút còn lại phải nằm trên d.
4. Cách nhìn hình học: đối xứng rồi dùng đường trung bình
Khi chưa có phương trình đường thẳng, vẫn có một cách nhìn cùng bản chất. Cho U,V nằm ở hai phía đối nhau của đường d, có khoảng cách vuông góc tới d bằng nhau và dương. Gọi H là chân chiếu của U lên d, và U' là điểm đối xứng của U qua d. Khi đó H là trung điểm UU'.
Cả U' và V nằm cùng phía của d và cùng cách d một khoảng, nên chúng nằm trên đường thẳng song song với d. Nếu V=U', trung điểm UV là H, kết luận có ngay. Nếu V\ne U', tam giác UU'V không suy biến: UU' vuông góc với U'V. Gọi F là trung điểm UV. Đường trung bình HF song song U'V, tức song song d. Vì H\in d, đường đó chính là d, nên F\in d.
Đối xứng tạo một trung điểm đã biết (H). Đường trung bình của tam giác (UU’V) đưa trung điểm (F) lên đúng đường (d).
Có thể giải thích mệnh đề “cùng phía, cùng khoảng cách” bằng cách chọn d làm trục ngang: hai điểm cùng có tung độ -h, nên đường nối chúng là đường ngang. Đây chỉ là đổi cách đặt trục, không thay khoảng cách hay trung điểm.
Bằng khoảng cách nhưng thiếu “hai phía đối nhau” là chưa đủ. Với d:y=0, U=(0,2), V=(4,2), cả hai cách d hai đơn vị; trung điểm là (2,2), không nằm trên d. Giá trị đối nhau của L giữ được thông tin phía; hai giá trị tuyệt đối bằng nhau thì không.
Chiều đảo cũng đúng khi U,V\notin d: chọn d làm trục ngang, nếu trung điểm có tung độ 0, thì y_U+y_V=0. Hai tung độ khác không nên trái dấu và cùng độ lớn. Vì thế hai đầu mút ở hai phía đối nhau, cách đường bằng nhau.
5. Ứng dụng với hình thang: tìm đường chứa hai trung điểm
Cho hình thang ABCD có AB\parallel CD, hai đáy ở hai đường thẳng phân biệt. Chọn trục để A=(0,0), B=(b,0), D=(p,h), C=(p+c,h), với b,c,h>0, p thực. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,BD.
Xét đường d:y-h/2=0, với biểu thức L(x,y)=y-h/2. Tại hai đỉnh thuộc đáy dưới, L=-h/2; tại hai đỉnh thuộc đáy trên, L=h/2. Vì vậy:
L(A)+L(C)=0,\qquad L(B)+L(D)=0.
Tiêu chuẩn cho M,N\in d. Nếu b\ne c, hai điểm phân biệt và đường MN song song hai đáy. Có thể tìm thêm độ dài mà không giải bất kỳ giao điểm nào:
M=\left(\frac{p+c}{2},\frac h2\right),\qquad N=\left(\frac{p+b}{2},\frac h2\right),
MN=\left|\frac{p+b}{2}-\frac{p+c}{2}\right|=\frac{|b-c|}{2}.
Điều đáng chú ý là độ lệch ngang p biến mất. Hai trung điểm cùng nằm trên đường ở giữa hai đáy dù hình thang bị nghiêng thế nào.
Nếu b=c, ta có M=N; công thức độ dài vẫn cho 0, nhưng không có “đường thẳng MN” xác định bởi hai điểm phân biệt. Chỉ nên kết luận trung điểm chung thuộc d. Đây là một biên cần giữ trong phát biểu, không phải ngoại lệ có thể bỏ qua.
6. Mở rộng: cắt đoạn tại một tỉ lệ khác một nửa
Với 0\le t\le1, điểm X_t trên đoạn UV có tọa độ:
X_t=\bigl((1-t)x_U+tx_V,\ (1-t)y_U+ty_V\bigr).
Khi U\ne V, nó chia đoạn theo UX_t/UV=t; đây là hệ quả của các tam giác đồng dạng khi chiếu lên trục. Thế vào biểu thức bậc nhất cho:
L(X_t)=(1-t)L(U)+tL(V).
Vì hệ số (1-t)+t=1, hằng số c vẫn được giữ đúng. Trung điểm là trường hợp t=1/2. Nếu L(U)\ne L(V), giao với đường L=0 có tham số duy nhất:
t=\frac{L(U)}{L(U)-L(V)}.
Giá trị này phải thuộc [0,1] mới cho giao điểm trên đoạn . Nếu L(U)=L(V)=0, cả đoạn thuộc đường. Nếu L(U)=L(V)\ne0, không điểm nào của đoạn thuộc đường, vì mọi L(X_t) đều bằng cùng giá trị khác không.
Một giao điểm chưa chắc là trung điểm
Cho d:y=0, U=(0,2), V=(6,-4). Hai đầu ở hai phía nên đoạn cắt d, nhưng L(U)+L(V)=2-4=-2\ne0, nên giao điểm không là trung điểm. Công thức cho t=2/(2+4)=1/3, tức giao điểm là (2,0). Trung điểm thật là (3,-1). Điều kiện “khác phía” bảo đảm có giao; “giá trị đối nhau” mới đặt giao ở chính giữa.
7. Tự chuyển phương pháp và kiểm điều kiện
Cho U=(1,4), V=(5,-2). Tìm c để d:3x+y+c=0 đi qua trung điểm UV, rồi kiểm kết quả bằng một cách khác.
Lời giải theo hai giá trị
Ta có L(U)=7+c, L(V)=13+c. Tổng bằng 0 cho 20+2c=0, nên c=-10. Hai giá trị khi ấy là -3,3. Kiểm độc lập: trung điểm (3,1) thỏa 3\cdot3+1-10=0.
Hãy thử áp dụng lại phương pháp cho d:x-2y+1=0, U=(1,1). Điểm V có thể ở đâu?
Trường hợp một đầu mút đã thuộc đường
L(U)=0, nên cần và đủ L(V)=0. Tập tất cả điểm V chính là đường d. Nếu yêu cầu đoạn có hai đầu phân biệt, loại riêng V=U; công thức trung điểm vẫn có nghĩa khi hai điểm trùng nhau.
Chọn cách đại số khi phương trình đường dễ tìm; chọn đối xứng và đường trung bình khi quan hệ song song, khoảng cách rõ. Dù dùng cách nào, hãy phân biệt đoạn với đường, giao điểm với trung điểm và công thức còn đúng với một phép dựng còn xác định.
Toán THCS · Hiểu điều kiện, tự dựng lập luận, kiểm tra kết quả