Chia việc nguyên chiếc: tìm đủ điều kiện trước và sau khi thêm người
Dùng ước chung lớn nhất để phân loại mọi cách chia đều nguyên, dựng dữ kiện ngược và kiểm tra cả số người lẫn phần việc mỗi người.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Chia việc nguyên chiếc: tìm đủ điều kiện trước và sau khi thêm người
Dùng ước chung lớn nhất để phân loại mọi cách chia đều nguyên, dựng dữ kiện ngược và kiểm tra cả số người lẫn phần việc mỗi người.
01. Số người nguyên chưa bảo đảm chia đều được kiện hàng
Một bài chia việc có thể đòi đồng thời hai điều kiện nguyên: số người phải nguyên và số kiện của mỗi người cũng phải nguyên. Giải ra một số người dương chưa đủ để kết luận một cách chia hàng nguyên chiếc là thực hiện được.
Ta xét mô hình: tổng cộng W kiện, ban đầu có x người, mỗi người nhận đúng y kiện. Thêm a người, tổng số kiện vẫn giữ nguyên và chia đều lại, mỗi người nhận ít hơn đúng d kiện. Các số W,a,d là số nguyên dương; kiện không được chia nhỏ.
Miền cần giữ là x,y nguyên, x\ge1, y\ge d+1. Hai phương án phải cùng thỏa
xy=W,\qquad(x+a)(y-d)=W.
Mục tiêu không chỉ giải một bộ số, mà phân loại tất cả tổng lượng việc W có thể chia theo những quy tắc này.
02. Loại tổng việc để nhìn ra một quan hệ chia hết
Từ hai tích cùng bằng W,
xy=(x+a)(y-d)=xy-dx+ay-ad,
suy ra
\boxed{dx=a(y-d)}.
Đây là quan hệ giữa số người ban đầu và phần việc mới của mỗi người. Đặt g là ước chung lớn nhất của a,d, rồi viết
a=gA,\qquad d=gD,\qquad \gcd(A,D)=1.
Các số g,A,D đều nguyên dương. Chia quan hệ trên cho g, được Dx=A(y-d). Vì A,D nguyên tố cùng nhau, A là ước của x.
Vì sao có thể suy ra A là ước của x?
Ta biết A là ước của Dx. Trong phân tích thừa số nguyên tố của A, mỗi lũy thừa nguyên tố không có thừa số chung nào với D, vì \gcd(A,D)=1. Do đó toàn bộ lũy thừa ấy phải có trong x. Điều này đúng với mọi thừa số của A, nên A là ước của x.
Viết x=Ak, với k\ge1 nguyên. Thay lại, chia cho A>0, ta có y-d=Dk. Vì d=gD,
\boxed{x=Ak,\quad y=D(k+g),\quad x+a=A(k+g),\quad y-d=Dk}.
Sau khi lấy ra hai hệ số cố định A,D, hai phương án hoán đổi hai số k,k+g. Đây là cấu trúc nguyên nằm sau phương trình phân thức.
03. Công thức phân loại có cả chiều dựng ngược
Nhân số người với số kiện mỗi người:
\boxed{W=AD\,k(k+g),\qquad k=1,2,3,\ldots}.
Ta đã chứng minh đây là điều kiện cần. Với chiều đủ, chọn bất kì k nguyên dương, lấy bốn số theo công thức ở mục 02. Chúng đều nguyên dương; hai tổng kiện đều bằng ADk(k+g). Độ tăng số người là
A(k+g)-Ak=Ag=a,
độ giảm kiện mỗi người là
D(k+g)-Dk=Dg=d.
Vậy mọi k đều tạo được một cách chia đúng mô hình, và mọi cách chia hợp lệ đều xuất hiện trong công thức. Không chỉ số người mà cả hai mức kiện mỗi người đã được kiểm tra.
Với a,d cố định, tổng việc tăng nghiêm ngặt theo k: nếu l>k\ge1,
l(l+g)-k(k+g)=(l-k)(l+k+g)>0.
Do đó một W cho trước có nhiều nhất một giá trị k, và nhiều nhất một cách chia về số lượng. Tổng việc nhỏ nhất có thể là AD(g+1), đạt tại k=1.
04. Kiểm tra một tổng việc mà không thử vô hạn
Cho W>0 nguyên. Trước hết, W phải chia hết cho AD. Nếu đúng, đặt M=W/(AD), là số nguyên dương. Cần tìm k\ge1 nguyên thỏa k^2+gk=M. Hoàn thành bình phương:
(2k+g)^2=g^2+4M.
Vì thế điều kiện còn lại là g^2+4M phải là số chính phương. Đây cũng là điều kiện đủ. Nếu g^2+4M=m^2, lấy m\ge0 nguyên. Do M>0, m>g. Hơn nữa m,g cùng tính chẵn lẻ: hiệu hai bình phương chia hết cho 4, trong khi bình phương số chẵn chia 4 dư 0, số lẻ dư 1.
Vậy k=(m-g)/2 là số nguyên dương, dựng được cách chia ở mục 03. Ta có tiêu chuẩn đầy đủ:
\boxed{W\text{ chia hết cho }AD,\qquad g^2+\frac{4W}{AD}\text{ là số chính phương}.}
Không cần thêm một kiểm tra chẵn lẻ độc lập sau đó: khi M đã nguyên, tính chẵn lẻ được suy ra như trên. Nhưng nếu chưa kiểm tra W/(AD) nguyên, không được bỏ qua điều kiện này rồi chỉ thử căn bậc hai.
05. Ví dụ nguồn: hai trăm bốn mươi kiện
Nguồn cho W=240 kiện, thêm a=10 người, mỗi người nhận ít hơn d=2 kiện, hai lần đều chia đều. Ta có g=2,A=5,D=1. Vì vậy
240=5k(k+2)\iff k(k+2)=48\iff(k+1)^2=49.
Với k\ge1, chọn k=6; nghiệm k=-8 không thuộc miền. Công thức dựng cho
x=5\cdot6=30,\quad y=6+2=8,
x+a=40,\qquad y-d=6.
Kiểm tra hai chiều: 30\cdot8=240=40\cdot6, số người tăng 10, số kiện mỗi người giảm 2. Các số chia đều đều nguyên, nên đây là một phương án thật sự hợp lệ và duy nhất.
Mỗi cột biểu diễn 5 người, mỗi hàng biểu diễn 1 kiện cho từng người. Mỗi ô vì thế tương ứng 5 kiện. Hai bảng có 6\cdot8=8\cdot6=48 ô, cùng tổng 240 kiện.
Với cùng a=10,d=2, các tổng việc hợp lệ bắt đầu từ 15,40,75,120,175,240, ứng với k=1,2,3,4,5,6. Chúng không phải mọi bội của 5: chẳng hạn W=200 cho M=40, g^2+4M=164, không chính phương vì 12^2<164<13^2.
06. Một nghiệm nguyên của phương trình vẫn có thể bị loại
Nếu chỉ dùng lượng việc trung bình, ta lập phương trình
\frac Wx-\frac W{x+a}=d,
\qquad x>0.
Nhân với x(x+a)>0, được dx(x+a)=Wa. Phép biến đổi tương đương trên miền ấy, nhưng phương trình chưa tự yêu cầu W/x và W/(x+a) nguyên.
Ví dụ mới: W=3,a=4,d=1. Phương trình cho
x(x+4)=12\iff(x-2)(x+6)=0.
Nghiệm dương x=2 là số người nguyên. Tuy nhiên hai lượng chia đều là 3/2 và 1/2 kiện mỗi người, không thực hiện được khi kiện phải giữ nguyên. Tiêu chuẩn tổng quát cũng loại: g=1,A=4,D=1, nhưng W=3 không chia hết cho AD=4.
Nếu đổi đơn vị công việc sang một khối lượng được phép chia nhỏ, cùng những phân số ấy có thể hợp lệ. Vấn đề nằm ở miền giá trị của lượng việc, không phải phép giải phương trình sai. Bởi vậy sau khi giải mô hình, cần kiểm tra mọi đại lượng phải nguyên, không chỉ ẩn ban đầu.
07. Thiết kế dữ kiện từ số người cần có
Với a,d đã cho, một số người ban đầu x_0>0 nguyên có thể tham gia một cách chia đúng mô hình nguyên khi và chỉ khi A là ước của x_0. Chiều cần đã có ở mục 02. Với chiều đủ, đặt k=x_0/A\ge1, rồi chọn W=ADk(k+g); mọi số lượng được dựng và kiểm tra ở mục 03.
Ví dụ mới: thêm 10 người, giảm 2 kiện mỗi người, muốn ban đầu có 25 người. Vì A=5, chọn k=5, được W=175. Ban đầu 25 người mỗi người 7 kiện; sau đó 35 người mỗi người 5 kiện. Nếu muốn ban đầu có 26 người với cùng a,d và vẫn chia nguyên đều, không có tổng kiện nào làm được vì 5 không là ước của 26.
Giả thiết d>0 cũng có vai trò: khi W,a,x>0,
\frac Wx-\frac W{x+a}=\frac{Wa}{x(x+a)}>0.
Thêm người mà giữ cùng tổng việc, chia đều cho mọi người, bắt buộc mức mỗi người giảm dương. Không thể giữ cùng mô hình rồi yêu cầu độ giảm bằng 0 hoặc âm.
08. Tự kiểm tra
Thử 1. Có 360 sản phẩm nguyên, thêm 6 người làm mỗi người giảm 5 sản phẩm. Tìm số người và hai mức chia đều.
Xem lời giải đầy đủ
g=1,A=6,D=5, nên 360=30k(k+1), tức k(k+1)=12. Nghiệm dương là k=3. Ban đầu x=18 người, mỗi người 20 sản phẩm; sau đó 24 người, mỗi người 15. Hai tổng đều bằng 360, độ giảm đúng 5.
Thử 2. Với a=6,d=5, tổng việc nhỏ nhất là bao nhiêu? Có thật sự đạt không?
Xem lời giải và cách dựng
AD(g+1)=6\cdot5\cdot2=60. Chọn k=1: ban đầu 6 người mỗi người 10 sản phẩm, sau đó 12 người mỗi người 5. Tổng 60 được đạt. Mọi k>1 cho tổng lớn hơn nhờ tính tăng đã chứng minh.
Thử 3. Với a=10,d=2, W=40 có hợp lệ không? Cần kiểm tra thêm gì sau khi tìm số người?
Xem lời giải
40=5\cdot2\cdot4, nên k=2, ban đầu 10 người mỗi người 4 kiện; sau đó 20 người mỗi người 2 kiện. Không chỉ số người mà cả số kiện mỗi người đều nguyên dương; hai tích cùng bằng 40, mức giảm đúng 2.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện