Tiếp tuyến và cát tuyến: vì sao một tích không đổi?
Chuyên đề Hình học 9: dựng hình đúng quan hệ vuông góc, chứng minh công suất điểm bằng tam giác đồng dạng, đọc các trường hợp giới hạn và tự kiểm tra hình vẽ.
LUKATO · THCS · TOÁN 9 · HÌNH HỌC CHỨNG MINH
Tiếp tuyến và cát tuyến: vì sao một tích không đổi?
Từ một điểm ngoài đường tròn, độ dài tiếp tuyến và hai đoạn trên cát tuyến không độc lập. Bài học xây định lí bằng hình đúng tỉ lệ, hai tam giác đồng dạng và một cách kiểm tra khác bằng khoảng cách tới tâm.
Tiếp tuyến Cát tuyến Đồng dạng Công suất điểm
01 · Trước khi tính: gọi đúng điểm và điều kiện
Nhìn hình Phân biệt điểm gần D, điểm xa C trên tia từ S, và tiếp điểm A.
Chứng minh Chọn hai góc đúng để tạo đồng dạng thay vì nhớ một tích như mẹo.
Kiểm Đối chiếu tích đoạn với SO^2-R^2, kiểm tra khi cát tuyến đi qua tâm hoặc tiến gần tiếp tuyến.
Tự sửa Phát hiện hình vẽ sai góc vuông, tráo thứ tự điểm, hoặc lấy độ dài âm.
Giả sử S ở ngoài đường tròn (O;R), SA và SB là tiếp tuyến tại A,B. Một tia từ S cắt đường tròn tại D trước, rồi C. Vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, OA\perp SA, OB\perp SB. Độ dài SD,SC,SA đều dương.
02 · Hình dựng theo tọa độ, không vẽ ước lượng
Đường tròn có O=(310,280), R=170; S=(650,280) theo mô hình tọa độ của hình. Hình minh họa dùng các quan hệ vuông góc, thẳng hàng và giao điểm được xác định bằng phương trình.
Chốt kiểm hình: Tiếp điểm phải nằm trên đường tròn và OA\perp SA. Điểm D phải nằm giữa S và C. Hình nhìn giống thôi chưa đủ cho lập luận hình học.
Nhìn hình trước khi đọc chứng minh: em dự đoán đoạn nào có thể thay đổi khi tia cát tuyến quay quanh S, và đại lượng nào vẫn phụ thuộc riêng vào S cùng đường tròn?
03 · Chứng minh lõi bằng hai góc
Nối A với D,C. Xét \triangle SAD và \triangle SCA. Vì S,D,C thẳng hàng, góc tại S là chung:
\angle ASD=\angle CSA.
Định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cho \angle SAD=\angle ACD. Do S,C,D thẳng hàng và C,D cùng trên tia từ S, \angle ACD=\angle SCA. Vậy:
\triangle SAD\sim\triangle SCA,\qquad\frac{SA}{SC}=\frac{SD}{SA}.
Nhân chéo với các độ dài dương, ta được:
\boxed{SA^2=SD\cdot SC}.
Trục nhớ đúng: SA xuất hiện hai lần nên tạo bình phương; cát tuyến dùng đoạn ngoài SD nhân với toàn đoạn SC, không dùng riêng dây DC.
Đổi vị trí của tia cát tuyến sẽ làm SD và SC thay đổi theo hai hướng bù nhau, nhưng tích vẫn bằng bình phương của tiếp tuyến cố định từ S.
04 · Một cách kiểm độc lập: khoảng cách tới tâm
Tam giác OAS vuông tại A, nên theo Pythagore:
SA^2=SO^2-OA^2=SO^2-R^2.
Vì vậy SD\cdot SC=SO^2-R^2: với cùng điểm S và cùng đường tròn, tích không phụ thuộc hướng cát tuyến. Vế phải dương vì S ở ngoài, tức SO>R. Nếu S nằm trên đường tròn, tiếp tuyến suy biến thành độ dài không; nếu S nằm trong đường tròn, cấu hình “tiếp tuyến từ S” không còn tồn tại trong hình học Euclid.
Kiểm tra bằng một cấu hình đơn giản
Nếu một cát tuyến đi qua tâm, từ S đến giao điểm gần là SO-R, đến giao điểm xa là SO+R. Tích của chúng bằng (SO-R)(SO+R)=SO^2-R^2. Đây là cách kiểm lại định lí, không thay cho chứng minh mọi cát tuyến ở mục 03.
05 · Các biến thể và ranh giới áp dụng
Cấu hình · Quan hệ đúng · Cần cảnh giác
Hai cát tuyến từ cùng S: S-D-C và S-E-F. · SD\cdot SC=SE\cdot SF. · “Gần × xa”, không phải “gần × dây”.
Tia quay đến vị trí tiếp xúc tại A. · Hai giao điểm hội tụ về A; tích tiến đến SA^2. · Đây là trực giác giới hạn; chứng minh trên dùng cát tuyến có hai giao điểm phân biệt.
S trong đường tròn. · Hai dây cắt nhau cho tích hai đoạn trên từng dây. · Không có tiếp tuyến thực từ điểm trong; cần định lí cấu hình khác.
Lỗi hình vẽ thường gặp: tiếp tuyến chạm vòng tròn tại điểm không vuông góc bán kính, hoặc D lệch khỏi đường thẳng SC. Trong trường hợp đó, sơ đồ trực quan sẽ phản bác chính chứng minh của nó.
06 · Tự kiểm tra và chuyển giao
Hãy trả lời bằng quan hệ hình học trước khi mở gợi ý. Các câu dưới đây kiểm khái niệm và không phải lời giải của đề thi cụ thể.
1 · Vì sao SD\cdot DC không phải công thức ở hình này?
Định lí dùng SD\cdot SC, trong đó SC=SD+DC. DC chỉ là dây bên trong, thiếu đoạn từ S đến D.
2 · Nếu SO=13 và R=5, em biết gì mà không chọn cát tuyến?
SA^2=SO^2-R^2=169-25=144, nên tiếp tuyến dài 12; mọi cát tuyến thật đi qua S có tích đoạn ngoài × toàn đoạn bằng 144. Đây là minh họa tính bất biến, không gắn với một câu đề thi.
3 · Khi nào không được gọi SA là tiếp tuyến?
Nếu A không thuộc đường tròn, hoặc đường thẳng SA không vuông góc với OA tại A. Một hình phác gần giống không đủ xác lập tiếp xúc.
Thẻ phương pháp: khóa thứ tự điểm → đánh dấu bán kính vuông góc tiếp tuyến → tìm góc tiếp tuyến–dây và góc chung → viết đúng cặp đồng dạng → đối chiếu SO^2-R^2 → kiểm giới hạn của cấu hình.
LUKATO · Chuyên đề hình học độc lập · Sơ đồ được dựng từ quan hệ tọa độ, không lấy từ hình đề thi.