Từ hình quạt đến hình nón: góc giữ lại và điều kiện dựng được
Dùng độ dài cung và diện tích hình quạt để thiết kế hình nón, phân biệt góc giữ lại với góc cắt bỏ và kiểm tra giới hạn chiều cao.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Từ hình quạt đến hình nón: góc giữ lại và điều kiện dựng được
Dùng độ dài cung và diện tích hình quạt để thiết kế hình nón, phân biệt góc giữ lại với góc cắt bỏ và kiểm tra giới hạn chiều cao.
01. Khi cuộn một hình quạt, độ dài nào được giữ?
Một tấm hình quạt có thể tạo thành mặt xung quanh của hình nón tròn xoay. Bán kính tấm giấy trở thành đường sinh; cung tròn trở thành đường tròn đáy. Nhận đúng hai đại lượng này giúp ta tính vật liệu, chọn góc cắt và kiểm tra một thiết kế có dựng được hay không.
Mô hình lí tưởng trong bài: tấm giấy không giãn, hai cạnh bán kính được ghép sát nhau, không chồng mép và không chừa phần dán. Chỉ tạo mặt xung quanh, chưa có tấm đáy. Góc \theta là số đo bằng độ của phần hình quạt được giữ lại.
Kí hiệu l>0 là bán kính hình quạt và cũng là đường sinh hình nón; r>0 là bán kính đáy; h>0 là chiều cao. Điều kiện h>0 loại hình bị ép phẳng. Ta sẽ chứng minh rằng khoảng 0<\theta<360 chính xác là miền dựng được một hình nón như vậy.
02. Từ cung tròn đến bán kính đáy
Cung ứng với góc \theta độ chiếm phần \theta/360 của cả đường tròn bán kính l, nên độ dài cung là
s=\frac{\theta}{360}\,2\pi l.
Khi cuộn, cung ấy khép thành đúng một vòng đáy, có chu vi 2\pi r. Vì không co giãn hay chồng mép, hai độ dài bằng nhau:
2\pi r=\frac{\theta}{360}\,2\pi l
\iff \boxed{r=\frac{\theta}{360}l}.
Không được lấy r=l: bán kính hình quạt là khoảng cách từ đỉnh nón tới một điểm trên đường tròn đáy, còn bán kính đáy nằm trong mặt phẳng đáy. Hai đoạn giữ hai vai trò khác nhau.
Diện tích hình quạt cũng chiếm phần \theta/360 của hình tròn bán kính l. Do đó diện tích xung quanh là
S_{xq}=\frac{\theta}{360}\pi l^2=\pi rl=\frac12sl.
Ba dạng này là cùng một công thức, thích hợp với ba nhóm dữ kiện khác nhau: góc và đường sinh; bán kính đáy và đường sinh; hoặc độ dài cung và bán kính hình quạt. Diện tích đáy \pi r^2 chưa nằm trong S_{xq}.
Công thức chia cho 360 đang dùng độ. Nếu bài cho số đo góc bằng radian, không được chép nguyên công thức ấy. Trong toàn bộ ví dụ và hình vẽ ở đây, góc đều được cho bằng độ.
03. Điều kiện cần, cách dựng và các trường hợp biên
Cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục, ta được tam giác cân có cạnh bên l, nửa đáy r, chiều cao h. Pythagore cho
h^2+r^2=l^2.
Để r,h đều dương, bắt buộc 0<r<l. Kết hợp công thức cung, điều này tương đương 0<\theta<360. Trong miền đó, chiều cao được xác định duy nhất:
\boxed{h=l\sqrt{1-\left(\frac{\theta}{360}\right)^2}}.
Vì sao điều kiện ấy cũng đủ?
Cho l>0 và 0<\theta<360. Đặt r=l\theta/360, h=\sqrt{l^2-r^2}. Khi ấy 0<r<l, nên h>0. Dựng đường tròn bán kính r trong một mặt phẳng, lấy đỉnh trên đường vuông góc qua tâm ở độ cao h. Với mọi điểm trên đường tròn đáy, khoảng cách tới đỉnh bằng \sqrt{h^2+r^2}=l, nên đây là hình nón tròn xoay có đúng đường sinh cần thiết.
Cắt mặt xung quanh theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được hình quạt bán kính l. Cung của hình quạt dài 2\pi r, nên số đo góc bằng 360r/l=\theta. Như vậy thiết kế thật sự dựng được và dùng đúng phần hình quạt đã cho. Hai số r,h được xác định duy nhất; quay hoặc đổi vị trí hình không tạo kích thước mới.
- Ở \theta=0, ta có r=0, không có đáy tròn có diện tích dương.
- Ở \theta=360, ta có r=l, h=0: hình bị phẳng, không còn hình nón với chiều cao dương.
- Nếu \theta>360, công thức một vòng đáy đòi r>l, trái với h^2=l^2-r^2\ge0. Quấn nhiều lớp là một mô hình khác, không thỏa cách ghép một lớp đang xét.
Với l cố định, khi tăng góc giữ lại, r tăng và h giảm. Chứng minh không cần đạo hàm: nếu 0<\theta_1<\theta_2<360, thì r_1<r_2, nên h_1^2-h_2^2=r_2^2-r_1^2>0. Vì cả hai chiều cao dương, suy ra h_1>h_2.
04. Ví dụ nguồn: đường sinh và đường kính cho biết góc cuộn
Dữ kiện được chọn từ bài nguồn: hình nón có đường sinh l=4{,}5 cm, đường kính đáy 5 cm; tính diện tích xung quanh, dùng \pi\approx3{,}14 và làm tròn tới hàng phần mười. Vì r=2{,}5<4{,}5=l, hình không suy biến.
S_{xq}=\pi\cdot2{,}5\cdot4{,}5=\frac{45\pi}{4}\ \text{cm}^2.
Theo quy ước tính gần đúng của ví dụ, S_{xq}\approx35{,}325\ \text{cm}^2, làm tròn thành 35{,}3\ \text{cm}^2. Giá trị 45\pi/4 là chính xác; số dùng 3{,}14 chỉ là gần đúng.
Đặt thêm câu hỏi về chế tạo: cần giữ hình quạt bao nhiêu độ? Ta có
\theta=360\frac{2{,}5}{4{,}5}=200,\qquad h=\sqrt{4{,}5^2-2{,}5^2}=\sqrt{14}\ \text{cm}.
Vậy phải giữ hình quạt 200^\circ, lớn hơn nửa hình tròn. Điều này hoàn toàn hợp lệ: điều kiện là góc nhỏ hơn 360^\circ, không phải nhỏ hơn 180^\circ.
Hình quạt giữ lại có bán kính 4{,}5 cm, góc 200^\circ, tỉ lệ 20 điểm ảnh cho một cm. Cung lớn AB có độ dài 5\pi cm, bằng chu vi đáy nón. Hai cạnh SA,SB được ghép vào nhau.
Thiết diện SAB, tâm đáy O, dùng cùng tỉ lệ 34 điểm ảnh cho một cm theo hai chiều. OA=OB=2{,}5, SA=SB=4{,}5, SO=\sqrt{14}. Đây là tam giác cắt qua trục, không phải hình khai triển.
05. Góc giữ lại và góc cắt bỏ cho hai hình khác nhau
Giả sử ban đầu có tấm giấy hình tròn bán kính l. Cắt bỏ một hình quạt \alpha độ, với 0<\alpha<360, rồi cuộn phần còn lại. Góc phải đưa vào công thức là \theta=360-\alpha, nên
r=l\left(1-\frac{\alpha}{360}\right),\qquad
S_{xq}=\pi l^2\left(1-\frac{\alpha}{360}\right).
Nếu dùng chính miếng đã cắt để làm một hình nón khác, bán kính đáy của hình ấy là r'=l\alpha/360. Hai bán kính thỏa r+r'=l, còn hai diện tích xung quanh có tổng \pi l^2. Chiều cao không có quy tắc cộng tương tự.
Trong ví dụ l=4{,}5, muốn giữ 200^\circ thì phải cắt bỏ 160^\circ. Nếu đọc nhầm thành cắt bỏ 200^\circ, phần còn lại chỉ là 160^\circ, tạo hình nón có
r'=2\ \text{cm},\quad h'=\frac{\sqrt{65}}2\ \text{cm},\quad S'_{xq}=9\pi\ \text{cm}^2.
Hình thứ hai hẹp hơn và cao hơn vì giữ ít cung hơn. Nó vẫn dựng được; vì thế chỉ kiểm tra “kết quả có hợp lí không” chưa phát hiện được lỗi đọc góc. Phải xác định ngay từ đầu phần nào được cuộn.
Hai miếng bổ sung có thể cho hai hình nón cùng kích thước khi nào?
Vì cùng đường sinh l>0, cùng kích thước đòi bán kính đáy bằng nhau. Ta cần l\alpha/360=l(1-\alpha/360), tương đương \alpha=180. Ngược lại, chia đôi hình tròn cho hai nửa hình tròn, cả hai có r=l/2, h=l\sqrt3/2, nên thật sự cùng kích thước. Điều kiện vừa cần vừa đủ.
06. Kiểm tra thiết kế trước khi cắt vật liệu
Biết bán kính đáy và diện tích xung quanh
Cho yêu cầu r_0>0 và S_0>0. Từ S_0=\pi r_0l, đường sinh bắt buộc là l=S_0/(\pi r_0). Một hình nón có chiều cao dương tồn tại khi và chỉ khi
\boxed{S_0>\pi r_0^2}.
Thật vậy, điều kiện ấy tương đương l>r_0. Khi đúng, dựng h=\sqrt{l^2-r_0^2}>0, rồi dùng hình quạt có góc 360r_0/l\in(0,360); đó là chiều đủ và cũng cho kích thước duy nhất. Nếu S_0=\pi r_0^2, chiều cao bằng 0; nếu nhỏ hơn, bình phương chiều cao âm nên không dựng được.
Biết đường sinh và yêu cầu chiều cao tối thiểu
Giữ l>0, yêu cầu h\ge H với H>0. Nếu H\ge l, không có hình nón được phép vì r>0 luôn cho h<l. Nếu 0<H<l, bình phương hai vế dương rồi thay công thức cho h, ta được điều kiện tương đương
0<\theta\le360\sqrt{1-\frac{H^2}{l^2}}.
Mỗi góc trong khoảng này tạo một hình nón đạt yêu cầu bằng cách dựng ở mục 03. Đầu trên được lấy vì yêu cầu là h\ge H; nó cho đúng h=H. Đầu 0 vẫn bị loại vì bán kính đáy phải dương.
Ví dụ thiết kế mới: l=5 cm và h\ge4 cm. Ta được 0<\theta\le216 độ, tương đương 0<r\le3 cm. Diện tích xung quanh lớn nhất bằng 15\pi\ \text{cm}^2, đạt duy nhất tại góc 216^\circ, vì S_{xq}=\pi l^2\theta/360 tăng nghiêm ngặt theo \theta.
Nếu đổi yêu cầu thành h>4, miền góc thành 0<\theta<216. Mọi diện tích đều nhỏ hơn 15\pi, và chưa có giá trị lớn nhất: với bất kì góc \theta được phép, góc (\theta+216)/2 vẫn được phép và cho diện tích lớn hơn. Số 15\pi vẫn là cận trên sát: với bất kì \varepsilon>0, chọn 0<\delta<\min(216,360\varepsilon/(25\pi)) rồi lấy \theta=216-\delta. Khi ấy góc hợp lệ và 15\pi-S_{xq}=25\pi\delta/360<\varepsilon.
07. Tự kiểm tra trước khi dùng công thức
Thử 1. Tấm hình quạt bán kính 6 cm, góc giữ lại 120^\circ. Tìm r,h,S_{xq}, và kiểm tra độ dài cung.
Xem lời giải
r=6\cdot120/360=2 cm; h=\sqrt{36-4}=4\sqrt2 cm; S_{xq}=\pi\cdot2\cdot6=12\pi\ \text{cm}^2. Cung dài (120/360)2\pi\cdot6=4\pi cm, đúng bằng 2\pi r. Cả r,h dương nên hình hợp lệ.
Thử 2. Cắt bỏ góc 120^\circ từ hình tròn bán kính 6 cm rồi cuộn phần còn lại. Kết quả có giống thử 1 không?
Xem lời giải
Không. Góc giữ lại là 240^\circ, nên r=4 cm, h=\sqrt{36-16}=2\sqrt5 cm, S_{xq}=24\pi\ \text{cm}^2. Hai phần bổ sung có bán kính đáy 2+4=6 và tổng diện tích 36\pi, đúng bằng diện tích tấm tròn ban đầu.
Thử 3. Một hình nón được yêu cầu có r=3 cm và S_{xq}=8\pi\ \text{cm}^2. Có thể chọn một góc khác để làm được không?
Xem lời giải
Không. Công thức buộc l=8/3<3=r, trái điều kiện đường sinh lớn hơn bán kính đáy. Tương đương 8\pi<9\pi=\pi r^2. Góc không còn là lựa chọn tự do sau khi hai dữ kiện này đã cố định.
Thử 4. Nếu cần đậy thêm đáy cho hình nón nguồn, diện tích vật liệu lí tưởng là bao nhiêu?
Xem lời giải và phạm vi mô hình
Cộng đúng một đáy: S_{tp}=45\pi/4+25\pi/4=35\pi/2\ \text{cm}^2. Đây là tổng diện tích hai miếng cần dùng trong mô hình không có mép dán hay hao hụt; chưa phải diện tích một tấm hình chữ nhật bao cả hai miếng.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện