Dây, cung và diện tích: chọn phần chia và phần bù
Phân biệt hình quạt với mảnh tròn, kiểm chứng hai cách tách diện tích và giữ đúng điều kiện vị trí khi khoét lỗ hoặc thay kích thước.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Dây, cung và diện tích: chọn phần chia và phần bù
Phân biệt hình quạt với mảnh tròn, kiểm chứng hai cách tách diện tích và giữ đúng điều kiện vị trí khi khoét lỗ hoặc thay kích thước.
1. Diện tích phụ thuộc vào đường biên, không chỉ vào tên hình
Một miền có đường cong thường được tính bằng cách chia thành các phần quen thuộc hoặc lấy một hình lớn trừ phần bỏ. Hai cách đều đúng nếu ta chỉ rõ đường biên từng phần, không bỏ sót và không tính hai lần một miền.
Trong bài này cần phân biệt ba hình cùng liên quan một cung tròn: hình quạt được giới hạn bởi hai bán kính và cung; tam giác được giới hạn bởi hai bán kính và dây; mảnh tròn được giới hạn bởi dây và cung ấy. Đường cong và dây nối cùng hai đầu không phải một đường biên.
Nếu thay một cung lồi ra ngoài bằng dây thẳng của nó, diện tích phía chứa tâm giảm đi. Phần chênh chính là mảnh tròn. Vì vậy một tam giác ở góc hình chữ nhật chưa chắc chính là phần cần cắt bỏ.
Ta xét hình phẳng lí tưởng, số đo chính xác; không tính độ rộng đường cắt. Tất cả các phần khoét được xác định là miền nằm trong hình giữ lại, và các phần khoét không chồng lên nhau, trừ khi đang xét một phản ví dụ.
2. Hình quạt và mảnh tròn: dựng công thức từ phép trừ
Cho đường tròn tâm A, bán kính R>0, hai điểm B,E trên đường tròn. Xét cung nhỏ BE, với góc ở tâm \theta thỏa 0<\theta<180^\circ. Diện tích hình quạt nhỏ là
S_{\mathrm{quạt}}=\frac{\theta}{360^\circ}\pi R^2.
Tỉ số góc biểu thị phần của cả vòng tròn. Tam giác ABE nằm trong hình quạt này. Vì vậy mảnh tròn giữa dây BE và cung nhỏ BE có diện tích
\boxed{S_{\mathrm{mảnh}}=S_{\mathrm{quạt}}-S_{\triangle ABE}}.
Nếu biết chiều cao từ E xuống đường AB là h>0, thì S_{\triangle ABE}=Rh/2. Không cần đồng thời dùng hai công thức tam giác khác nhau để tạo thêm phép làm tròn.
Mảnh tròn có diện tích dương vì cung nhỏ không trùng dây khi hai đầu phân biệt và góc dương. Khi góc tiến về không, mảnh tròn thu hẹp; tại đúng góc không, hai đầu trùng nhau và không còn một tam giác hay mảnh tròn không suy biến để áp nguyên lời mô tả.
3. Một hình chữ nhật cắt bởi cung: chọn đường chia hữu ích
Xét mô hình tổng quát: hình chữ nhật ABCD, với AB=L>0, AD=h, và 0<h<L. Lấy A làm tâm đường tròn bán kính L. Đường tròn gặp cạnh CD tại E. Giữ phần hình chữ nhật nằm trong hình tròn, tức miền có đường biên AB, cung nhỏ BE, ED, DA.
Tam giác ADE vuông tại D, có AE=L, nên
DE=\sqrt{L^2-h^2}.
Gọi \theta=\angle BAE. Vì AB\perp AD, góc DAE phụ với \theta, và
\sin\theta=\frac hL,\qquad0<\theta<90^\circ.
Đoạn AE chia miền giữ lại thành đúng hai phần: tam giác ADE và hình quạt ABE. Hai phần chung đoạn biên AE, không chồng diện tích. Do đó
\boxed{S_{\mathrm{giữ}}=\frac h2\sqrt{L^2-h^2}+\frac{\theta}{360^\circ}\pi L^2}.
Đây là cách cộng trực tiếp: không cần tính phần góc bị cắt trước. Ta chọn đường AE vì nó vừa là cạnh của tam giác vừa là bán kính tạo hình quạt.
Cách phần bù phải cho cùng kết quả
Phần góc bỏ nằm trong tam giác CBE, nhưng không phải toàn bộ tam giác: mảnh tròn giữa dây và cung vẫn thuộc miền giữ lại. Vì thế
S_{\mathrm{bỏ}}=S_{\triangle CBE}-S_{\mathrm{mảnh}}.
Với CE=L-DE, ta có S_{\triangle CBE}=h(L-DE)/2, còn S_{\mathrm{mảnh}}=S_{\mathrm{quạt}}-Lh/2. Lấy diện tích chữ nhật trừ phần bỏ:
Lh-\left[\frac h2(L-DE)-\left(S_{\mathrm{quạt}}-\frac{Lh}{2}\right)\right]=\frac{hDE}{2}+S_{\mathrm{quạt}},
đúng công thức cộng trực tiếp. Viết ngoặc rõ ràng giúp thấy tại sao mảnh tròn được cộng lại khi lấy phần bù.
4. Tình huống chọn lọc: khóa góc bằng tỉ số độ dài
Cho hình chữ nhật có AB=1{,}6\,\mathrm m, AD=0{,}8\,\mathrm m. Cung BE có tâm A, bán kính AB, với E\in CD. Giữ miền trong đường tròn như phần trước. Sau đó khoét vào miền giữ lại hai nửa hình tròn, mỗi nửa có đường kính 0{,}3\,\mathrm m nằm trên AB, không chồng nhau.
Vì h/L=1/2, góc \theta=\angle BAE=30^\circ. Góc DAE=60^\circ là góc còn lại của tam giác vuông, không phải góc của quạt cần dùng. Đồng thời
DE=\sqrt{1{,}6^2-0{,}8^2}=0{,}8\sqrt3.
Cộng trực tiếp hai phần giữ lại:
S_{\triangle ADE}=\frac12\cdot0{,}8\cdot0{,}8\sqrt3=\frac{8\sqrt3}{25},S_{\mathrm{quạt}}=\frac{30}{360}\pi\cdot1{,}6^2=\frac{16\pi}{75}.S_{\mathrm{giữ}}=\frac{8\sqrt3}{25}+\frac{16\pi}{75}\quad(\mathrm m^2).
Kiểm bằng phần bù: tam giác CBE có diện tích 0{,}64-0{,}32\sqrt3; tam giác ABE có diện tích 0{,}64; mảnh tròn có diện tích 16\pi/75-0{,}64. Lấy 1{,}28 trừ \big[S_{\triangle CBE}-S_{\mathrm{mảnh\ tròn}}\big] cho lại kết quả trên.
Hình đúng tỉ lệ 130 đơn vị vẽ cho một mét; phần xám gần C bị bỏ. Hai phần màu còn lại là tam giác và hình quạt. Để minh họa cách khoét hợp lệ, hai đường kính được đặt trên các đoạn cách A từ 0{,}3 đến 0{,}6 mét và từ 0{,}9 đến 1{,}2 mét. Vị trí cụ thể này là lựa chọn để vẽ; diện tích tính được không đổi nếu các lỗ vẫn nằm trọn và không chồng nhau.
5. Trừ hai nửa hình tròn khi nào là hợp lệ?
Đường kính d cho bán kính r=d/2. Một nửa hình tròn có diện tích \pi r^2/2; hai nửa không chồng diện tích có tổng
\boxed{S_{\mathrm{lỗ}}=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}}.
Có thể cộng diện tích hai nửa thành diện tích một hình tròn mà không cần chúng thật sự ghép được cạnh nhau trên tấm vật liệu. Điều cần là mỗi phần đã nằm trong miền đang trừ và không tính cùng một vùng hai lần.
Với d=0{,}3, bán kính là 0{,}15, nên S_{\mathrm{lỗ}}=9\pi/400. Diện tích cuối cùng là
S=\frac{8\sqrt3}{25}+\frac{16\pi}{75}-\frac{9\pi}{400}\boxed{S=\frac{8\sqrt3}{25}+\frac{229\pi}{1200}\quad(\mathrm m^2)}.
Theo quy ước gần đúng của tình huống, lấy \pi=3{,}14, ta được S\approx1{,}15347\,\mathrm m^2, làm tròn hàng phần trăm là 1{,}15\,\mathrm m^2. Không làm tròn DE hoặc diện tích quạt ở giữa rồi mới lấy hiệu các phần nhỏ.
Kiểm tra độ lớn: tổng diện tích hình chữ nhật là 1{,}28\,\mathrm m^2; kết quả phải nhỏ hơn vì bỏ một góc có diện tích dương và hai lỗ có diện tích dương. Kiểm tra này không thay chứng minh, nhưng có thể phát hiện nhầm dấu hoặc nhầm bán kính.
6. Kiểm tra vị trí lỗ trước khi thay đường kính
Trong cách đặt của hình, hai tâm nửa tròn nằm trên AB, cách A lần lượt 0{,}45 và 1{,}05 mét, cách nhau 0{,}6 mét. Giữ hai tâm này, thay cả hai đường kính bằng cùng d>0.
Để hai nửa tròn không chồng diện tích, cần d\le0{,}6. Nếu d=0{,}6, chúng chỉ chạm tại một điểm trên AB; diện tích giao bằng không. Nếu d>0{,}6, hai bán kính có tổng lớn hơn khoảng cách tâm, nên có một miền chung ở phía trong hình.
Điều kiện 0<d\le0{,}6 còn đủ cho các lỗ nằm trọn trong phần giữ: bán kính không quá 0{,}3, thấp hơn chiều cao 0{,}8; lỗ đầu không vượt qua A vì 0{,}45-0{,}3>0. Mọi điểm của lỗ xa hơn có khoảng cách đến A không quá 1{,}05+0{,}3=1{,}35<1{,}6, theo bất đẳng thức tam giác, nên vẫn nằm trong đường tròn lớn. Lỗ gần hơn cũng thỏa. Vì vậy miền đường kính hợp lệ cho cách đặt cố định này chính xác là (0,0{,}6].
Đổi sang d=0{,}4 là hợp lệ. Chỉ phần lỗ đổi thành 0{,}04\pi, nên
S(0{,}4)=\frac{8\sqrt3}{25}+\frac{13\pi}{75}.
Nếu bỏ qua điều kiện vị trí và để các lỗ chồng lên nhau, trừ hai diện tích riêng sẽ trừ phần giao hai lần. Nếu một lỗ vượt ra ngoài tấm giữ lại, ta chỉ được trừ phần lỗ thực sự nằm trong tấm. Công thức “hai nửa bằng một hình tròn” không tự giải quyết những trường hợp ấy.
7. Cận diện tích và điều kiện đạt khi đường kính thay đổi
Với các tâm cố định ở phần trước và 0<d\le0{,}6,
S(d)=S_{\mathrm{giữ}}-\frac{\pi d^2}{4}.
Nếu 0<d_1<d_2\le0{,}6, thì
S(d_1)-S(d_2)=\frac\pi4(d_2-d_1)(d_2+d_1)>0.
Vậy tăng đường kính làm diện tích còn lại giảm. Giá trị nhỏ nhất đạt tại d=0{,}6, là
\boxed{\frac{8\sqrt3}{25}+\frac{37\pi}{300}}.
Nó đạt được vì hai lỗ chỉ tiếp xúc ở một điểm, vẫn không chồng diện tích. Nếu quy định mới yêu cầu có một khoảng cách dương giữa hai lỗ, phải dùng d<0{,}6; khi ấy không có giá trị nhỏ nhất: với bất kì d<0{,}6, tăng lên (d+0{,}6)/2 vẫn hợp lệ và cho diện tích nhỏ hơn.
Tương tự, trên miền d>0, diện tích không đạt đúng S_{\mathrm{giữ}}, vì còn khoét một lượng dương. Nếu cho phép d=0, tức bỏ việc khoét, giá trị đó được nhận. Tên gọi cực trị luôn đi cùng miền được phép và khả năng đạt đầu mút.
8. Tự kiểm tra đường biên và phạm vi công thức
Giữ bán kính bằng chiều dài nhưng đổi chiều cao thành L chia căn2 thì góc quạt và diện tích là gì?
Với h=L/\sqrt2, ta có \sin\theta=1/\sqrt2, nên \theta=45^\circ. Đồng thời DE=L/\sqrt2, tam giác ADE có diện tích L^2/4, hình quạt có diện tích \pi L^2/8. Phần giữ là tổng hai lượng ấy, trước khi khoét lỗ.
Nếu chiều cao hình chữ nhật bằng hoặc lớn hơn bán kính L thì sao?
Tại h=L, E=D, tam giác ADE suy biến và phần giữ là một phần tư hình tròn, diện tích \pi L^2/4. Với h>L, đường tròn không gặp cạnh trên CD; biểu thức \sqrt{L^2-h^2} không có nghĩa thực. Phải đổi mô hình: phần hình chữ nhật trong hình tròn vẫn là một phần tư hình tròn, nhưng không còn điểm E trên cạnh trên như trước.
Vì sao không trừ cả tam giác CBE rồi dừng?
Dây BE nằm bên trong cung tròn. Trừ toàn bộ tam giác CBE đã bỏ cả mảnh tròn còn phải giữ. Muốn dùng phần bù, phải cộng lại mảnh tròn, tương đương trừ S_{\triangle CBE}-S_{\mathrm{mảnh}}. Cách cộng trực tiếp tam giác ADE và quạt ABE tránh bước sửa dấu này.
Hãy gọi tên từng đường biên trước khi gọi tên công thức. Chia hình và lấy phần bù phải cho cùng kết quả; khoét nhiều miền phải kiểm tra phần giao; thay kích thước phải kiểm tra vị trí còn dựng được. Các phép cộng trừ diện tích đúng khi cách phân chia đúng.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện