Viète với nghiệm âm: nhận bình phương, kiểm dấu và thứ tự
Chứng minh dấu của nghiệm, tạo bình phương dưới căn và nhận ra khi nào một biểu thức có giá trị không phụ thuộc tên nghiệm; kiểm cả ví dụ không có đáp số duy…
TOÁN 9 · NGHIỆM ÂM VÀ CĂN BẬC HAI
Viète với nghiệm âm: nhận bình phương, kiểm dấu và thứ tự
Chứng minh dấu của nghiệm, tạo bình phương dưới căn và nhận ra khi nào một biểu thức có giá trị không phụ thuộc tên nghiệm; kiểm cả ví dụ không có đáp số duy nhất.
1. Biết dấu nghiệm để biết cách bỏ căn
Cho phương trình
x^2+9x+2=0.
Gọi hai nghiệm là x_1,x_2, chưa quy định nghiệm nào lớn hơn. Không tìm riêng từng nghiệm, hãy tính
A=\sqrt{-13x_1+2}-x_2.
Ba điều cần làm: chứng minh nghiệm thực và xác định dấu; dùng phương trình để nhận ra bình phương dưới căn; rồi mới bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Tên gọi x_1,x_2 không được âm thầm coi là thứ tự lớn nhỏ.
Nếu biết x_1<0, dấu của x_1-2 là gì? Khi đó \sqrt{(x_1-2)^2} bằng x_1-2 hay 2-x_1?
2. Dấu âm của hai nghiệm được suy ra, không phải đoán
Biệt thức là \Delta=9^2-4\cdot1\cdot2=73>0, nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Từ phép khai triển
(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2,
so sánh hệ số cho hệ thức Viète:
x_1+x_2=-9,\qquad x_1x_2=2.
Tích dương cho biết hai nghiệm khác 0 và cùng dấu. Tổng âm loại khả năng cả hai dương. Vậy x_1<0,x_2<0. Không cần đề nói trước dấu của nghiệm; phương trình đã cung cấp đủ thông tin để chứng minh.
Nhờ đó -13x_1+2>2>0, nên căn trong A xác định. Đồng thời x_1-2<0, là dấu sẽ quyết định phép bỏ căn.
Muốn định vị rõ hơn mà vẫn không giải nghiệm
Đặt hai nghiệm theo thứ tự u<v. Ta có
(u+1)(v+1)=uv+(u+v)+1=2-9+1=-6<0.
Vì hai thừa số trái dấu, u<-1<v. Kết hợp v<0 và u=-9-v, suy ra
-9<u<-8,\qquad-1<v<0.
Trong hình, hai nghiệm được xếp theo thứ tự để thấy dấu. Lời giải của A không cần gán nghiệm nhỏ hay lớn cho tên x_1.
Tổng âm một mình chưa đủ: 1 và -10 có tổng -9 nhưng không cùng âm. Cũng phải kiểm nghiệm thực trước khi dùng lập luận dấu: phương trình x^2+2x+5=0 có biệt thức -16<0, nên không có hai nghiệm thực để gọi là “cùng âm”, dù các hệ số gợi tổng âm và tích dương.
3. Tạo bình phương từ chính phương trình
Vì x_1 là nghiệm,
x_1^2+9x_1+2=0\quad\Rightarrow\quad x_1^2=-9x_1-2.
Thử khai triển bình phương (x_1-2)^2:
\begin{aligned}(x_1-2)^2&=x_1^2-4x_1+4\\&=(-9x_1-2)-4x_1+4\\&=-13x_1+2.\end{aligned}
Vậy biểu thức dưới căn đúng bằng một bình phương. Đẳng thức này đúng vì x_1 là nghiệm, không phải đồng nhất thức đúng với mọi số thực. Chẳng hạn tại x=0, (x-2)^2=4, còn -13x+2=2.
Vì sao nghĩ đến số 2?
Thử một số thực c. Với nghiệm của phương trình đang xét,
(x_1-c)^2=(-9-2c)x_1+(c^2-2).
Muốn khớp hệ số -13 của x_1, ta cần -9-2c=-13, được c=2. Sau đó còn phải kiểm hằng số: c^2-2=4-2=2, đúng với đề. Hai hệ số cùng khớp mới cho phép nhận diện bình phương.
Một cách kiểm thứ hai bằng cả tổng và tích
Dùng x_1+x_2=-9, x_1x_2=2:
\begin{aligned}-13x_1+2&=(x_1+x_2-4)x_1+2\\&=x_1^2+x_1x_2-4x_1+2\\&=x_1^2-4x_1+4=(x_1-2)^2.\end{aligned}
Hai cách khác nhau gặp nhau ở cùng một bình phương. Cách dùng phương trình của từng nghiệm thường ngắn hơn; cách dùng tổng và tích cho thấy hai công cụ liên hệ với nhau.
4. Bỏ trị tuyệt đối đúng dấu rồi mới kết luận
Với số thực w, căn bậc hai số học thỏa \sqrt{w^2}=|w|. Vì x_1-2<0,
\sqrt{-13x_1+2}=\sqrt{(x_1-2)^2}=|x_1-2|=2-x_1.
Do đó
A=2-x_1-x_2=2-(x_1+x_2)=2-(-9)=11.
Kết quả chỉ còn chứa tổng hai nghiệm, nên không đổi khi hoán đổi tên x_1,x_2. Chính phép biến đổi đã chứng minh điều đó; không được mặc định mọi biểu thức dùng hai nghiệm đều có tính chất này.
Nếu bỏ nhầm dấu giá trị tuyệt đối, sẽ viết A=x_1-x_2-2, một biểu thức phụ thuộc thứ tự nghiệm. Sai lầm nằm ở phép biến đổi căn, không phải ở bước thay Viète cuối cùng.
Kiểm bằng cách đổi hai nghiệm âm thành hai số dương
Đặt t_1=-x_1,t_2=-x_2. Khi ấy t_1,t_2>0, t_1+t_2=9, và mỗi số thỏa t_i^2-9t_i+2=0. Ta có 13t_1+2=(t_1+2)^2, nên
A=\sqrt{13t_1+2}+t_2=(t_1+2)+t_2=11.
Vì t_1+2>0, bước lấy căn được giải thích rõ. Cách kiểm này làm dấu dương hiện trực tiếp, thay vì chỉ thử một vài giá trị gần đúng.
5. Phân biệt kiểm tra dấu với chứng minh
Trong biểu thức ban đầu, căn dương và -x_2>0, nên A>0. Kết quả 11 vượt qua phép kiểm này. Tuy nhiên một số dương khác không vì thế mà đúng.
Từ Viète, (x_1-x_2)^2=81-8=73. Nếu gọi x_1 là nghiệm lớn rồi bỏ căn sai, biểu thức sai x_1-x_2-2 sẽ cho \sqrt{73}-2>0. Nó vẫn dương nhưng không bằng 11. Kiểm tra dấu chỉ phát hiện được một số lỗi; chuỗi đẳng thức có điều kiện mới là chứng minh.
Bước nào trong lời giải sẽ hỏng nếu thay -13x_1+2 bằng -13x_1+3, nhưng vẫn giữ phương trình cũ?
Giải thích
Khi ấy biểu thức dưới căn là (x_1-2)^2+1, không còn bằng (x_1-2)^2. Không có quy tắc \sqrt{a^2+1}=|a|+1; ví dụ với a=0 tình cờ bằng nhau, nhưng với a=1, hai vế là \sqrt2 và 2, khác nhau. Một thay đổi ở hằng số có thể phá cấu trúc quyết định lời giải.
6. Một họ bài toán được thiết kế đúng điều kiện
Cho p,q>0, p^2\ge4q, và u,v là hai nghiệm thực của
x^2+px+q=0.
Cho phép nghiệm kép, tức có thể u=v. Viète cho u+v=-p<0, uv=q>0, nên hai nghiệm đều âm. Chọn c\ge0 và định nghĩa
T_c=\sqrt{-(p+2c)u+c^2-q}-v.
Vì u^2=-pu-q,
(u-c)^2=u^2-2cu+c^2=-(p+2c)u+c^2-q.
Biểu thức dưới căn tự động không âm vì bằng bình phương. Lại có u-c<0, nên
T_c=c-u-v=c+p.
Điều kiện c\ge0 là một cách đủ để biết mốc c ở bên phải cả hai nghiệm âm. Nếu chọn một mốc âm, cần xét lại vị trí so với nghiệm, không tự dùng nguyên bước bỏ trị tuyệt đối.
Chuyển giao 1: nhận ra công thức không có hằng số dưới căn
Cho u,v là hai nghiệm của x^2+5x+1=0. Biệt thức 21>0, tổng âm, tích dương nên hai nghiệm âm. Với c=1, ta có (u-1)^2=-7u. Vì vậy
\sqrt{-7u}-v=1-u-v=6.
Căn xác định vì -7u>0; kết quả không cần biết nghiệm nào được gọi là u.
Chuyển giao 2: nghiệm kép có làm công thức hỏng không?
Với x^2+4x+4=0, hai nghiệm tính cả bội là u=v=-2. Chọn c=1, biểu thức là \sqrt{-6u-3}-v. Tính trực tiếp được \sqrt9+2=5, đúng bằng p+c=5. Chứng minh tổng quát chỉ cần nghiệm thực âm, không cần hai nghiệm khác nhau.
7. Khi bài chuyển giao không còn một đáp số duy nhất
Xét hai nghiệm u,v, chưa quy định thứ tự, của x^2+7x+3=0, và biểu thức
B=\sqrt{-11u+3}-v.
Biệt thức 37>0, tổng -7, tích 3, nên hai nghiệm thực phân biệt và đều âm. Từ u^2=-7u-3, ta có
(u-2)^2=-11u+1,\qquad -11u+3=(u-2)^2+2.
Hệ số của u gợi mốc 2, nhưng hằng số không khớp một bình phương. Vì vậy không được suy ra B=2-u-v=9.
Chứng minh B phụ thuộc việc đặt tên nghiệm
Đặt t=2-u>2. Vì v=-7-u, biểu thức trở thành
B=9+\sqrt{t^2+2}-t=9+\frac2{\sqrt{t^2+2}+t}.
Hai cách chọn nghiệm u cho hai giá trị t khác nhau. Khi t>0 tăng, cả \sqrt{t^2+2} và t đều tăng, nên mẫu số tăng nghiêm ngặt; phân số dương giảm nghiêm ngặt. Do đó hai cách đặt tên nghiệm cho hai giá trị B khác nhau.
Nếu không quy ước thứ tự, biểu thức này không có một đáp số duy nhất. Ta vẫn có một khoảng kiểm tra:
0<\frac2{\sqrt{t^2+2}+t}<\frac1t<\frac12,9<B<9{,}5.
Kiểm số tùy chọn, không cần cho chứng minh trên
Hai nghiệm là (-7-\sqrt{37})/2 và (-7+\sqrt{37})/2. Nếu chọn nghiệm nhỏ làm u, giá trị B xấp xỉ 9{,}1163; nếu chọn nghiệm lớn làm u, giá trị xấp xỉ 9{,}3777. Cả hai đều nằm trong khoảng đã chứng minh, nhưng khác nhau.
Một biểu thức khác khôi phục đúng cấu trúc
Chủ động định nghĩa bài luyện mới
C=\sqrt{-11u+1}-v,
với cùng phương trình x^2+7x+3=0. Khi ấy -11u+1=(u-2)^2, nên C=2-u-v=9. Đây là biểu thức khác với B; không được sửa dữ kiện của một bài rồi nhận kết quả mới làm đáp án cho bài cũ.
8. Tự lập một lời giải không bỏ sót giả thiết
- Nghiệm thực: kiểm biệt thức trước khi nói về dấu hoặc căn theo nghiệm.
- Tổng và tích: viết đúng dấu của Viète; với x^2+px+q=0, tổng là -p.
- Dấu nghiệm: suy luận từ tổng và tích, không giả sử theo hình thức của phương trình.
- Bình phương ẩn: khớp cả hệ số của nghiệm lẫn hằng số.
- Trị tuyệt đối: dùng \sqrt{w^2}=|w|, rồi mới bỏ dấu theo vị trí.
- Thứ tự: kiểm biểu thức có đổi khi hoán vị hai nghiệm không.
- Kiểm tra: dùng dấu, khoảng giá trị hoặc một cách biến đổi khác; không coi phép thử số là thay thế cho chứng minh.
Điều cốt lõi của bài toán là kiểm soát đủ thông tin về nghiệm. Nhiều khi tổng, tích và dấu đã đủ; nhưng khi cấu trúc thay đổi, phải nhận ra thông tin còn thiếu thay vì ép bài mới vào một đáp số quen thuộc.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu