Hai dung tích có phù hợp với cùng một đáy nửa cầu?
Khôi phục bán kính từ hai cốc, chứng minh điều kiện phù hợp của mô hình và phân biệt chiều cao phần trụ với chiều cao toàn phần cùng giới hạn của dữ kiện thể…
TOÁN 9 · ĐO THỂ TÍCH VÀ KIỂM TRA MÔ HÌNH
Hai dung tích có phù hợp với cùng một đáy nửa cầu?
Khôi phục bán kính từ hai cốc, chứng minh điều kiện phù hợp của mô hình và phân biệt chiều cao phần trụ với chiều cao toàn phần cùng giới hạn của dữ kiện thể tích.
1. Cộng thể tích là bài toán thuận; kiểm tra mô hình là bài toán ngược
Một phần chứa gồm hình trụ phía trên và nửa hình cầu phía dưới, cùng bán kính trong r>0. Gọi h là chiều cao riêng của phần trụ, tính từ mặt ghép tới miệng cốc. Bỏ qua độ dày thành vì ta đang xét kích thước và dung tích bên trong.
Hai phần chỉ chung một mặt tròn, không chung một phần thể tích dương, nên dung tích đầy là
V=\pi r^2h+\frac23\pi r^3.
Mẫu nguồn có đường kính trong 6\,\mathrm{cm}, nên r=3\,\mathrm{cm}; phần trụ cao 3\,\mathrm{cm}. Dung tích là 27\pi+18\pi=45\pi\,\mathrm{cm}^3, xấp xỉ 141{,}37\,\mathrm{cm}^3.
Câu hỏi mới: nếu biết dung tích và chiều cao phần trụ của hai cốc, có thể kiểm tra chúng có cùng bán kính và cùng đáy nửa cầu không? Hai số đo tăng cùng chiều chưa đủ. Phần tăng và phần cố định phải phù hợp với cùng một bán kính.
Dự đoán. Có thể có hai dung tích đều dương, cốc cao hơn chứa nhiều hơn, nhưng vẫn không phù hợp với mô hình chung này không?
2. Tách phần tăng theo chiều cao và phần cố định
Đặt v=V/\pi để các phép tính gọn hơn. Khi bán kính được giữ cố định,
\boxed{v=r^2h+\frac23r^3.}
Đây là quan hệ bậc nhất theo h, nhưng hai hệ số không độc lập. Hệ số của h là r^2; phần cố định là thể tích nửa cầu sau khi chia cho \pi, bằng 2r^3/3.
Với hai cốc cùng bán kính và chiều cao phần trụ h_1<h_2, lấy hiệu cho
v_2-v_1=r^2(h_2-h_1).
Phần đáy giống nhau bị khử. Vì vậy phần tăng dung tích cho bình phương bán kính, còn dung tích còn lại sau khi trừ phần trụ sẽ kiểm tra hình dạng đáy.
Trong bài toán kiểm tra dưới đây, h_1,h_2 là số đo chính xác, cùng đơn vị và 0\le h_1<h_2. Mốc h=0 được hiểu là chỉ còn nửa hình cầu. Nếu yêu cầu cả hai cốc thật sự có phần trụ cao dương, thêm h_1>0. Hai dung tích phải được đổi về cùng đơn vị thể tích trước khi tính.
3. Điều kiện cần và đủ từ hai phép đo
Từ dữ kiện (h_1,v_1),(h_2,v_2), tính
a=\frac{v_2-v_1}{h_2-h_1},\qquad b=v_1-ah_1.
Mẫu số dương theo giả thiết. Quan hệ duy nhất dạng v=ah+b đi qua cả hai cặp dữ kiện: thế h_1 được v_1, và phần tăng a(h_2-h_1)=v_2-v_1 cho đúng v_2.
Hai phép đo phù hợp với mô hình có chung bán kính dương và đáy nửa cầu khi và chỉ khi
\boxed{a>0,\qquad b>0,\qquad9b^2=4a^3.}
Khi ấy bán kính duy nhất là r=\sqrt a.
Chiều cần
Nếu hai cốc thuộc mô hình, phép trừ ở phần 2 cho a=r^2>0. Khi đó b=2r^3/3>0, nên 9b^2=4r^6=4a^3.
Chiều đủ và tính duy nhất
Giả sử ba điều kiện đúng. Dựng r=\sqrt a>0. Vì b>0, đẳng thức bình phương cho
b=\frac23a\sqrt a=\frac23r^3.
Do đó v_i=ah_i+b=r^2h_i+2r^3/3 cho cả hai cốc. Dựng hình trụ cao h_i và nửa cầu bán kính r tạo đúng dung tích đã cho. Mọi mô hình hợp lệ đều có r^2=a, nên chỉ có một bán kính dương.
Không bỏ điều kiện b>0 sau khi bình phương: một giá trị âm của b cũng có thể thỏa 9b^2=4a^3, nhưng không phải thể tích đáy nửa cầu trong cách đo chiều cao đang dùng.
Đơn vị của đẳng thức kiểm tra có khớp không?
Nếu chiều cao tính bằng cm và dung tích bằng \mathrm{cm}^3, thì v vẫn có đơn vị \mathrm{cm}^3, vì \pi không có đơn vị. Hệ số a có đơn vị \mathrm{cm}^2, b có đơn vị \mathrm{cm}^3. Hai vế 9b^2 và 4a^3 cùng có đơn vị \mathrm{cm}^6. Số đo độ dài và thể tích không thể tùy tiện trộn đơn vị.
4. Một bộ dữ kiện hợp lệ và một bộ không hợp lệ
Giữ cốc nguồn có h_1=3\,\mathrm{cm},V_1=45\pi\,\mathrm{cm}^3. Tạo một dữ kiện so sánh độc lập: cốc thứ hai có h_2=5\,\mathrm{cm},V_2=63\pi\,\mathrm{cm}^3. Khi đó
a=\frac{63-45}{5-3}=9,\qquad b=45-9\cdot3=18.
Ta có a,b>0 và 9\cdot18^2=2916=4\cdot9^3. Bán kính chung duy nhất là 3\,\mathrm{cm}; dung tích phần đáy là 18\pi\,\mathrm{cm}^3, đúng một nửa hình cầu bán kính 3.
Hai thiết diện dùng cùng tỉ lệ. Cốc I có h_1=3,V_1=45\pi; cốc II có h_2=5,V_2=63\pi, đơn vị cm và \mathrm{cm}^3. Hai đáy nửa cầu giống nhau; đường nét đứt đánh dấu mặt ghép.
Chỉ thay dung tích cốc thứ hai
Giữ hai chiều cao 3 và 5 cm, nhưng ghi dung tích là 45\pi và 65\pi\,\mathrm{cm}^3. Cốc cao hơn vẫn chứa nhiều hơn. Tuy nhiên,
a=10,\qquad b=15,\qquad9b^2=2025\ne4000=4a^3.
Không có một bán kính dương nào làm cả hai dữ kiện thuộc mô hình. Nếu chỉ dùng phần tăng, ta sẽ đoán r=\sqrt{10}, nhưng đáy nửa cầu tương ứng cần phần cố định 20\sqrt{10}/3, không phải 15. Phép kiểm phần đáy phát hiện sự không phù hợp ấy.
Kết luận trên dùng số liệu chính xác. Nếu dữ kiện là số đo đã làm tròn, cần giữ khoảng sai số trước khi bác bỏ một mô hình vì hai vế không bằng nhau tuyệt đối. Đổi mô hình và sai số đo là hai khả năng cần phân biệt.
5. Nếu chiều cao ghi trên bản vẽ là chiều cao toàn cốc
Gọi H là chiều cao từ điểm thấp nhất của đáy tới miệng cốc. Vì nửa cầu cao r, ta có H=h+r, hay h=H-r. Do đó
\boxed{v=r^2H-\frac13r^3.}
Quan hệ vẫn bậc nhất theo chiều cao, nhưng phần cố định mang dấu âm. Với dữ kiện H_1<H_2, đặt
a=\frac{v_2-v_1}{H_2-H_1},\qquad b=v_1-aH_1.
Để hai cốc có phần trụ cao dương, điều kiện cần và đủ bây giờ là
\boxed{a>0,\quad b<0,\quad9b^2=a^3,\quad\sqrt a<H_1.}
Chiều cần: a=r^2, b=-r^3/3; đồng thời h_1=H_1-r>0, còn H_2>H_1 bảo đảm cốc thứ hai cũng có phần trụ dương. Chiều đủ: chọn r=\sqrt a. Điều kiện dấu và bình phương cho b=-a\sqrt a/3; đặt h_i=H_i-r>0. Thế lại vào công thức thể tích trả đúng hai dung tích.
Nếu cho phép cốc thứ nhất chỉ là nửa cầu, thay \sqrt a<H_1 bằng \sqrt a\le H_1. Không quên điều kiện chiều cao này: hệ số đại số có thể đúng nhưng một phần trụ được dựng ra lại có chiều cao âm.
Đẳng thức hệ số đúng nhưng chiều cao vẫn có thể sai không?
Có. Lấy quan hệ v=9H-9 tại H_1=2,H_2=4, cho v_1=9,v_2=27. Các hệ số thỏa a>0,b<0,9b^2=a^3, nhưng bán kính phải là 3, lớn hơn H_1=2. Phần trụ của cốc thứ nhất sẽ cao âm, nên không có cặp cốc hợp lệ. Điều kiện \sqrt a<H_1 là thiết yếu.
Cùng hai cốc ở phần 4, cách ghi số đo đổi dấu phần cố định
Các chiều cao toàn phần là H_1=6,H_2=8 cm, dung tích vẫn 45\pi,63\pi\,\mathrm{cm}^3. Ta có a=9,b=-9, thỏa 9b^2=729=a^3 và \sqrt a=3<6. Mô hình hợp lệ.
Phần cố định -9 không có nghĩa một phần cốc mang thể tích âm. Nó là giá trị khi kéo dài công thức tới H=0, trong khi miền hình học yêu cầu H>r=3. Một công thức có thể được khai triển đại số ngoài miền, nhưng giá trị ấy không mô tả một cốc thật.
6. Dữ kiện khớp không chứng minh được hình dạng đáy thật
Điều kiện ở phần 3 cho biết có một mô hình nửa cầu phù hợp và xác định bán kính trong mô hình ấy. Nó không tự chứng minh rằng đáy của vật được đo thật sự là nửa hình cầu.
Phản ví dụ độc lập: thay phần đáy nửa cầu bán kính r bằng một phần hình trụ cùng bán kính, cao 2r/3. Thể tích phần đáy mới là
\pi r^2\cdot\frac{2r}{3}=\frac23\pi r^3,
đúng bằng thể tích nửa cầu. Nếu chiều cao h được đo từ mặt ghép đã đánh dấu tới miệng, cả hai thiết kế đều có dung tích \pi r^2h+2\pi r^3/3 với mọi h. Không chỉ hai phép đo, ngay cả mọi dung tích ứng với mọi chiều cao phần trên vẫn không phân biệt được hai đáy này.
Cả hai hình có r=3,h=3 cm. Phần đáy màu xanh lá và phần đáy màu nâu cùng thể tích 18\pi\,\mathrm{cm}^3, dù thiết diện và chiều cao khác nhau. Các số trong phần đáy chỉ chiều cao của phần ấy.
Với r=3,h=3 cm, hai thiết kế cùng chứa 45\pi\,\mathrm{cm}^3. Nhưng đáy nửa cầu cao 3, đáy trụ thay thế cao 2, nên chiều cao toàn phần lần lượt là 6 và 5 cm. Đo thêm chiều cao toàn phần hoặc quan sát thiết diện đáy sẽ phân biệt được. Trước khi suy ngược, cần nói rõ những hình dạng nào được cho phép trong mô hình.
7. Khi hai chiều cao bằng nhau
Các công thức hệ số ở phần 3 cần h_2-h_1\ne0. Nếu hai chiều cao phần trụ bằng nhau mà dung tích khác nhau, không có mô hình chung bán kính và đáy như đã định nghĩa. Nếu cả chiều cao và dung tích bằng nhau, không được chia cho hiệu bằng không, cũng không được kết luận ngay rằng bán kính tùy ý.
Thật vậy, với h\ge0 cố định và hai bán kính 0<r_1<r_2,
\left(r_2^2h+\frac23r_2^3\right)-\left(r_1^2h+\frac23r_1^3\right)
=(r_2-r_1)\left[h(r_2+r_1)+\frac23(r_2^2+r_1r_2+r_1^2)\right]>0.
Dung tích tăng nghiêm ngặt theo bán kính, nên một dung tích cho nhiều nhất một bán kính dương trong mô hình. Chẳng hạn h=3,V=45\pi đã có nghiệm r=3, nên đó là nghiệm duy nhất, dù hai bản ghi trùng nhau không dùng được phép tính hệ số bằng hiệu.
Đây là sự khác nhau giữa một công thức không áp dụng được và bài toán thật sự không có lời giải hoặc có nhiều lời giải. Muốn kết luận, phải trở lại quan hệ ban đầu.
8. Kiểm tra bằng cả phần tăng và phần đáy
Gợi ý. Ghi rõ loại chiều cao, thống nhất đơn vị, tính hệ số, kiểm dấu và hệ thức liên kết, rồi dựng lại bán kính cùng phần trụ.
Hai chiều cao phần trụ 1 và 4, dung tích lần lượt 8 và 20 lần pi, có phù hợp không?
Ta có a=(20-8)/(4-1)=4, b=8-4\cdot1=4. Tuy a,b>0, nhưng 9b^2=144\ne256=4a^3, nên không phù hợp. Nếu bán kính là 2, phần đáy nửa cầu phải có v=16/3, khác 4.
Với bán kính 2, hai chiều cao phần trụ 1 và 4 cần dung tích nào?
Ta có v=4h+16/3. Hai dung tích phải là 28\pi/3 và 64\pi/3, cùng đơn vị thể tích nếu kích thước dùng cùng đơn vị độ dài. Lấy hiệu chia hiệu chiều cao cho lại a=4; trừ phần trụ cho b=16/3. Khi ấy 9b^2=256=4a^3, nên điều kiện đủ dựng lại đúng r=2.
Nếu chỉ giữ đẳng thức bình phương mà bỏ dấu của phần cố định?
Quan hệ v=9h-18 có a=9,b=-18, thỏa 9b^2=4a^3. Chọn h=3,5 cho các dung tích dương 9\pi,27\pi. Nhưng phần cố định âm không thể là đáy nửa cầu khi h là chiều cao phần trụ. Đây là phản ví dụ thật cho việc bỏ điều kiện b>0.
Sau khi mô hình nguồn được xác nhận, cốc cao phần trụ 7 cm chứa bao nhiêu?
Với bán kính chung 3, v=9h+18. Khi h=7, V=(63+18)\pi=81\pi\,\mathrm{cm}^3. Đây là dự đoán trong mô hình đã nêu. Một phép đo thứ ba không khớp sẽ bác bỏ việc cả ba dữ kiện chính xác cùng thuộc mô hình; một phép đo khớp vẫn không tự chứng minh đáy có hình dạng duy nhất, như phản ví dụ phần 6.
Một phép đo cho con số; một mô hình nói các con số phải liên hệ ra sao. Phép kiểm đáng tin cậy vừa khôi phục được tham số, vừa xác định giới hạn của điều có thể suy ra từ dữ liệu.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu