Quỹ tích trực tâm: giữ hướng, dựng chiều đảo và xét đầu mút
Từ đường kính và trung điểm đến đường tròn của trực tâm, phân biệt quỹ tích đầy đủ với cung của tam giác nhọn và kiểm tra khi nào cực trị thật sự đạt được.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Quỹ tích trực tâm: giữ hướng, dựng chiều đảo và xét đầu mút
Từ đường kính và trung điểm đến đường tròn của trực tâm, phân biệt quỹ tích đầy đủ với cung của tam giác nhọn và kiểm tra khi nào cực trị thật sự đạt được.
1. Quỹ tích cần cả chiều thuận và chiều đảo
Khi một đỉnh của tam giác chuyển động, trực tâm thường cũng chuyển động. Đoán rằng trực tâm “nằm trên một đường tròn” mới là nửa câu trả lời. Một bài quỹ tích cần xác định đúng tập điểm có thể đạt được, kể cả những đầu mút bị loại.
Chiều thuận: mỗi vị trí hợp lệ của đỉnh tạo ra trực tâm thuộc tập được nêu. Chiều đảo: mỗi điểm thuộc tập ấy thật sự là trực tâm của một tam giác hợp lệ. Nếu chỉ chứng minh chiều thuận, ta có thể đã mô tả một đường tròn quá lớn, chứa những điểm không đạt được.
Ta bắt đầu từ quan hệ được chọn trong một cấu hình đường cao: tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), H là trực tâm, AL là đường kính và M là trung điểm BC. Quan hệ AH=2OM sẽ dẫn đến một kết luận mạnh hơn về hướng và vị trí. Sau đó giữ cố định đường tròn cùng dây BC, cho A thay đổi.
2. Đường kính nối trực tâm với trung điểm dây
Vì AL là đường kính, góc ABL và góc ACL đều vuông. Mặt khác, định nghĩa trực tâm cho CH\perp AB và BH\perp AC. Do đó
BL\parallel CH,\qquad CL\parallel BH.
Tứ giác BHCL có hai cặp cạnh đối song song, nên là hình bình hành. Hai đường chéo BC và HL cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì M là trung điểm BC, nó cũng là trung điểm HL.
Trong tam giác nhọn, H nằm trong tam giác, còn B,C,L trên đường tròn, nên bốn đỉnh này phân biệt. Nếu L=B hay L=C, tam giác có một góc vuông, trái với giả thiết nhọn. Như vậy hình bình hành vừa dùng không suy biến.
Ta có hai quan hệ trung điểm: O là trung điểm AL, còn M là trung điểm HL. Trong trường hợp A,L,H không thẳng hàng, định lí đường trung bình cho OM\parallel AH và OM=AH/2. Nhưng khi tam giác cân tại A, ba điểm này có thể thẳng hàng; không được gọi chúng là một tam giác rồi dùng đồng dạng.
Một cách giữ cả trường hợp thẳng hàng là dùng tính chất tọa độ của trung điểm. Từ A+L=2O và H+L=2M, hiểu riêng theo mỗi tọa độ, suy ra độ dời từ A đến H bằng hai lần độ dời từ O đến M. Đây là thông tin về cả hướng lẫn độ dài.
Kí hiệu cộng điểm ở đây chỉ viết gọn hai đẳng thức về hoành độ và tung độ, không phải phép cộng độ dài không có hướng. Kết quả vẫn đúng nếu các điểm thẳng hàng, vì công thức trung điểm không đòi hỏi một tam giác không suy biến. Đặc biệt, AH=2OM.
Hình được dựng với B=(-3,0),C=(3,0),O=(0,4), bán kính 5. Điểm A không nằm trên đường trung trực BC; hình bình hành tô nhạt xác nhận hai đường chéo cùng trung điểm M.
3. Từ đẳng thức độ dài đến một phép dời cố định
Giữ cố định đường tròn và dây BC không phải đường kính. Chọn trục ngang là BC, gốc tại trung điểm M; chọn chiều dương của trục đứng về phía tâm O. Viết
B=(-b,0),\quad C=(b,0),\quad M=(0,0),\quad O=(0,k),\qquad b>0,\ k>0.
Vì OB=R, định lí Pythagore cho R^2=b^2+k^2, nên R>k. Một điểm A=(x,y) trên đường tròn thỏa
x^2+(y-k)^2=R^2.
Điểm đối diện A qua tâm là L=(-x,2k-y). Từ M là trung điểm HL, ta được
\boxed{H=(x,y-2k)}.
Như vậy mọi trực tâm thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ của A và giảm tung độ đi đúng 2k. Không chỉ độ dài AH cố định: hướng từ A xuống H cũng cố định. Phép dời cùng hướng, cùng độ dài như vậy gọi là phép tịnh tiến.
Vì sao chỉ biết AH=2k chưa đủ? Với một điểm A cố định, có cả đường tròn tâm A, bán kính 2k, gồm những điểm cách A đúng khoảng ấy. Quan hệ về hướng đã chọn ra đúng một điểm trong số đó. Một lời giải quỹ tích chỉ giữ độ dài mà bỏ hướng sẽ mất thông tin quyết định.
4. Nếu cho cả tam giác tù, công thức có còn đúng?
Để mô tả đầy đủ trường hợp A chạy trên đường tròn, ta cần kiểm công thức ngoài miền tam giác nhọn. Lấy A\ne B,C. Khi đó y\ne0, vì đường tròn chỉ gặp đường BC tại B,C. Đường cao từ A có phương trình X=x.
Với một điểm thử (X,Y), đường cao qua B có phương trình
(b-x)(X+b)-yY=0.
Đây là tiêu chuẩn vuông góc của hai hướng (X+b,Y) và (b-x,-y). Tiêu chuẩn được chứng minh từ khai triển định lí Pythagore: hai hướng khác không (p,q),(r,s) vuông góc khi và chỉ khi (p-r)^2+(q-s)^2=p^2+q^2+r^2+s^2, tương đương pr+qs=0. Tại chính B, phương trình vẫn xác nhận B nằm trên đường cao; không cần nói một đoạn có độ dài bằng không xác định hướng vuông góc.
Thế (X,Y)=(x,y-2k), vế trái bằng
(b-x)(x+b)-y(y-2k)=b^2-x^2-y^2+2ky=0,
vì phương trình đường tròn cho x^2+y^2-2ky=b^2. Hai đường cao có giao duy nhất: hệ số của Y là -y\ne0, nên với X=x ta xác định được đúng một Y. Giao ấy là trực tâm, chứng minh H=(x,y-2k) cho cả tam giác nhọn, vuông hoặc tù, miễn tam giác không suy biến.
Nếu giao điểm trùng B hoặc C, đó là trực tâm của tam giác vuông tại đỉnh ấy. Ta không loại nó chỉ vì một đoạn nối trực tâm với đỉnh có độ dài bằng không.
5. Đường tròn của trực tâm và hai điểm phải bỏ
Gọi O'=(0,-k), ảnh của O qua đường thẳng BC. Đặt H=(x,h), với h=y-2k. Khi đó
x^2+(h+k)^2=x^2+(y-k)^2=R^2.
Chiều thuận: trực tâm thuộc đường tròn tâm O', bán kính R, tức đường tròn đối xứng với đường tròn ban đầu qua BC.
Chiều đảo: chọn H=(x,h) trên đường tròn ấy rồi đặt A=(x,h+2k). Phương trình trên cho A\in(O;R). Nếu A\ne B,C, kiểm tra đường cao ở phần trước chứng minh trực tâm của ABC đúng là H. Có đúng hai điểm phải bỏ:
B_0=(-b,-2k),\qquad C_0=(b,-2k).
Chúng là ảnh của B,C qua phép dời xuống 2k, tương ứng với tam giác mất hai đỉnh phân biệt. Không được nhầm hai điểm phải bỏ này với B,C trên dây. Chính H=B và H=C vẫn đạt được: lần lượt chọn A=(-b,2k), điểm đối diện C, và A=(b,2k), điểm đối diện B.
Khi A chạy trên đường tròn, khác B,C, quỹ tích trực tâm là đường tròn tâm O', cùng bán kính, bỏ đúng hai điểm B_0,C_0. Cả chiều thuận và chiều đảo đều đã được kiểm tra.
6. Chỉ lấy tam giác nhọn thì còn một cung mở
Trở lại yêu cầu tam giác nhọn. Ta chứng minh điều kiện chính xác, thay vì nhìn hình rồi chọn một cung. Hai góc tại B,C cùng nhọn khi và chỉ khi hình chiếu của A lên đường BC nằm trong đoạn BC, tức -b<x<b. Trong trường hợp ấy, hai nhánh đường tròn cho
y=k\pm\sqrt{R^2-x^2}.
Vì x^2<b^2, nên \sqrt{R^2-x^2}>k. Nhánh trên có y>2k; nhánh dưới có y<0.
Để xác định góc tại A, gọi \varphi=\angle BOC là góc ở tâm nhỏ. Dây không là đường kính nên 0<\varphi<180^\circ. Điểm A trên cung lớn BC, phía tâm qua BC, nhìn cung nhỏ dưới góc \varphi/2<90^\circ. Điểm A trên cung nhỏ phía còn lại nhìn cung lớn dưới góc 180^\circ-\varphi/2>90^\circ. Do đó nhánh trên mới cho tam giác nhọn.
Vậy tam giác nhọn tương đương với
-b<x<b,\qquad y=k+\sqrt{R^2-x^2}>2k.
Trực tâm tương ứng có
h=\sqrt{R^2-x^2}-k>0.
Đó chính là cung nhỏ BC của đường tròn tâm O', nằm phía trên BC, bỏ hai đầu B,C. Chiều đảo đã có ngay: một điểm trên cung mở ấy có -b<x<b,h>0; dời lên 2k tạo đúng một A ở nhánh trên và cho tam giác nhọn.
Ví dụ R=5,k=4, với cùng tỉ lệ trên hai trục. Cung xanh là các vị trí A tạo tam giác nhọn; dời xuống 8 đơn vị được cung vàng của H. Các vòng tròn rỗng đánh dấu đầu mút bị loại; hai chấm trên cùng là một cặp A,H hợp lệ khi tam giác cân.
Hai đầu cung không bị bỏ do hình vẽ kém chính xác. Chúng tạo ra tam giác vuông, không thỏa chữ “nhọn”. Nếu cho phép tam giác vuông tại B hoặc C, hai đầu này được thêm lại.
7. Cực trị và một điều kiện nhỏ làm mất điểm đạt được
Trong miền tam giác nhọn, khoảng cách của trực tâm đến BC là h>0. Vì x^2\ge0, ta có
h=\sqrt{R^2-x^2}-k\le R-k.
Dấu bằng khi và chỉ khi x=0, tức A nằm trên đường trung trực BC và AB=AC. Vị trí ấy được phép, nên khoảng cách lớn nhất là R-k, có đạt được. Không có khoảng cách nhỏ nhất dương: cho x tiến sát b từ phía nhỏ hơn thì h tiến sát không, nhưng h=0 tạo tam giác vuông và bị loại.
Nếu thêm AB<AC, bình phương hai độ dài cho
AB^2-AC^2=(x+b)^2+y^2-\big[(x-b)^2+y^2\big]=4bx.
Vì b>0, điều kiện ấy tương đương x<0. Quỹ tích chỉ còn nửa trái của cung mở, với -b<x<0. Đỉnh cao nhất x=0 bị loại; lúc này không tồn tại giá trị lớn nhất của h, mặc dù h<R-k và có thể gần R-k tùy ý.
Để kiểm tra đầy đủ tập độ cao, với bất kì 0<h<R-k, đặt
x=-\sqrt{R^2-(h+k)^2}.
Vì k<h+k<R, biểu thức dưới căn nằm giữa không và R^2-k^2=b^2, nên -b<x<0. Điểm ấy trên cung hợp lệ và cho đúng độ cao h. Do đó các độ cao là toàn bộ khoảng mở (0,R-k); với bất kì độ cao đã chọn, vẫn có một độ cao lớn hơn trong khoảng. Đây là lý do không có cực đại, chứ không chỉ là “chưa tìm được điểm đạt dấu bằng”.
8. Một ví dụ chính xác và các trường hợp cần tách
Chọn BC=6, R=5, tâm cách dây k=4, phù hợp 3^2+4^2=5^2. Với tam giác nhọn, mọi trực tâm cách BC không quá 1. Giá trị 1 đạt tại A=(0,9), H=(0,1). Khi buộc AB<AC, độ cao của trực tâm nằm trong (0,1) và không có giá trị lớn nhất.
Hình đầu dùng điểm không cân
A=\left(-\frac{25}{13},\frac{112}{13}\right),\qquad H=\left(-\frac{25}{13},\frac8{13}\right).
Kiểm tra: (25/13)^2+(112/13-4)^2=25; -3<-25/13<0, 112/13>8. Vậy tam giác nhọn, AB<AC, trực tâm có độ cao 8/13 và AH=8=2OM.
Nếu BC là đường kính thì quỹ tích thế nào?
Khi ấy M=O, tức k=0. Mọi tam giác không suy biến ABC có góc A vuông, nên H=A. Nếu cho mọi tam giác, quỹ tích là chính đường tròn ban đầu bỏ B,C. Nếu chỉ cho tam giác nhọn, không có vị trí hợp lệ nào: quỹ tích rỗng. Không được dùng mô tả “cung nhọn” với giả thiết k>0 sau khi đặt k=0.
Biết AH không đổi có đủ kết luận H chạy trên một đường tròn tâm A không?
Không, vì A cũng đang chuyển động. Các đường tròn tâm A sẽ có tâm thay đổi. Cần dùng hướng cố định từ A đến H, rồi dời toàn bộ đường tròn của A cùng một lượng để xác định tâm cố định O'.
Trong ví dụ bán kính năm, một điểm trực tâm có độ cao một phần hai và AB nhỏ hơn AC nằm ở đâu?
Thay h=1/2,k=4,R=5:
x=-\sqrt{25-\left(\frac92\right)^2}=-\frac{\sqrt{19}}2.
Vậy H=(-\sqrt{19}/2,1/2), còn A=(-\sqrt{19}/2,17/2). Ta có -3<x<0, nên tam giác nhọn và AB<AC. Đây cũng là phép dựng chiều đảo bằng tính toán.
Trong bài quỹ tích, đừng dừng ở tên một đường tròn. Hãy giữ thông tin về hướng, kiểm tra các điểm bị loại, chứng minh mỗi điểm còn lại đều dựng ngược được, và xác định rõ dấu bằng có nằm trong miền hay không.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện