Đo thể tích để suy ra kích thước: điều kiện và sai số
Từ độ dâng mực nước suy ra cạnh khối lập phương, kiểm tra khả năng đặt vừa, phân biệt dữ kiện chính xác với khoảng đo và chặn sai số bằng đại số.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Đo thể tích để suy ra kích thước: điều kiện và sai số
Từ độ dâng mực nước suy ra cạnh khối lập phương, kiểm tra khả năng đặt vừa, phân biệt dữ kiện chính xác với khoảng đo và chặn sai số bằng đại số.
1. Đo được thể tích chưa có nghĩa biết được hình dạng
Khi một vật được nhấn chìm trong nước, độ dâng của mặt nước có thể cho biết thể tích vật mà không cần đo từng cạnh. Nhưng đi từ thể tích đến kích thước là một bài toán ngược: kết luận phụ thuộc vào những gì ta biết thêm về hình dạng, cách đặt vật và độ chính xác của phép đo.
Chẳng hạn cùng thể tích 125\,\mathrm{cm}^3, có thể là khối lập phương cạnh 5\,\mathrm{cm}, hoặc khối hộp có ba kích thước 2{,}5\,\mathrm{cm}, 5\,\mathrm{cm}, 10\,\mathrm{cm}. Phép đo thể tích tự nó không phân biệt được hai hình này. Dữ kiện “khối lập phương” làm ba cạnh bằng nhau, nhờ đó chỉ còn một kích thước cần tìm.
Bài học theo một chuỗi suy ngược: số đo độ dâng cho thể tích; giả thiết hình dạng cho phương trình cạnh; miền độ dài cho nghiệm duy nhất; phép kiểm tra hình học và khoảng sai số cho biết kết luận chắc đến đâu.
Ta xét bình đứng thẳng có tiết diện ngang không đổi, diện tích bên trong là S>0. Vật đặc không thấm nước, không tan, không giữ bọt khí; được nhấn chìm hoàn toàn; không có nước tràn hoặc thất thoát. Các giả thiết ấy xác định mô hình đo, không thể suy ra chỉ từ một số đo mực nước.
2. Vì sao độ dâng đo được thể tích vật?
Gọi hai mực nước là h_0,h_1, cùng đo từ đáy bình, và d=h_1-h_0>0. Khi chưa có vật, thể tích nước là Sh_0. Khi vật chìm hoàn toàn, phần bình đến mặt nước mới gồm nước cũ và vật, nên
Sh_1=Sh_0+V.
Trừ hai vế tương ứng cho
\boxed{V=S(h_1-h_0)=Sd}.
Đây là thể tích vật bị chiếm chỗ, không phải nước được tạo thêm. Ta không cần biết riêng h_0 để tính V, vì nó đã triệt tiêu trong hiệu. Tuy nhiên, h_0 vẫn có thể cần để kiểm tra vật đã chìm hoàn toàn hoặc bình có đủ cao hay không.
Vì tiết diện không đổi, mỗi lớp cao một đơn vị có cùng thể tích S. Công thức này dùng được cho bình trụ hoặc bình hộp có tiết diện ngang không đổi; nếu chỉ biết S, không cần đổi sang bán kính. Nó không tự áp dụng cho bình loe, nơi diện tích tiết diện thay đổi theo độ cao.
Nếu vật chỉ chìm một phần hoặc có nước tràn thì phép đo đang cho gì?
Nếu không tràn nhưng chỉ một phần vật chìm, Sd bằng thể tích phần chìm, không phải thể tích toàn vật. Nếu có W thể tích nước tràn, bảo toàn cho Sh_1=Sh_0-W+V_{\mathrm{chìm}}, nên Sd=V_{\mathrm{chìm}}-W. Cùng một độ dâng có thể đến từ nhiều thể tích toàn vật khác nhau. Phải biết mô hình đo trước khi giải phương trình cạnh.
3. Khối lập phương biến bài toán ngược thành một nghiệm dương
Khối lập phương cạnh a>0 có đáy vuông diện tích a^2, chiều cao a, nên thể tích a^3. Kết hợp với phép đo:
a^3=Sd,\qquad\boxed{a=\sqrt[3]{Sd}}.
Căn bậc ba của một số dương là số dương có lập phương bằng số ấy. Nghiệm dương là duy nhất: nếu b>a>0, thì
b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)>0.
Vì thế hai cạnh dương khác nhau không thể có cùng thể tích. Khi thể tích là lập phương đúng của một số quen thuộc, kiểm tra bằng phép nhân thường rõ hơn làm tròn trên máy tính.
Tình huống chọn lọc: một ly hình trụ có diện tích đáy trong 250\,\mathrm{cm}^2. Nhấn chìm hoàn toàn một khối lập phương, nước không tràn; mực nước dâng 0{,}5\,\mathrm{cm}. Coi dữ kiện này là chính xác trong mô hình toán học. Khi đó
V=250\cdot0{,}5=125\,\mathrm{cm}^3,a^3=125=5^3\quad\Rightarrow\quad a=5\,\mathrm{cm}.
Kiểm tra ngược: khối cạnh 5 chiếm 125\,\mathrm{cm}^3; chia cho diện tích đáy 250\,\mathrm{cm}^2 cho độ dâng 0{,}5\,\mathrm{cm}, đúng dữ kiện. Đơn vị cũng khớp: diện tích nhân độ dài là thể tích, còn cạnh phải mang đơn vị độ dài.
Không dùng a=Sd, vì vế phải là thể tích. Không dùng a=\sqrt{Sd}, vì bình phương cạnh cho diện tích chứ không cho thể tích. Một phép đổi đơn vị phải đi cùng số mũ: 1\,\mathrm{cm}^3=1000\,\mathrm{mm}^3, nên 125\,\mathrm{cm}^3=125000\,\mathrm{mm}^3, và cạnh là 50\,\mathrm{mm}.
4. Một nghiệm đại số còn phải đặt vừa trong bình
Để kiểm tra hình học cụ thể, giả sử khối lập phương được đặt trên đáy với một mặt song song đáy bình trụ; không nghiêng khối. Bán kính trong của bình là R. Mặt nhìn từ trên là một hình vuông cạnh a nằm trong một hình tròn bán kính R.
Điều kiện cần và đủ để đặt được hình vuông theo cách này là
\boxed{a\sqrt2\le2R},\qquad\text{hay}\qquad a^2\le2R^2.
Chiều cần. Đường chéo hình vuông dài a\sqrt2. Hai đầu đường chéo nằm trong hình tròn thì khoảng cách giữa chúng không vượt quá đường kính 2R, theo bất đẳng thức tam giác qua tâm.
Chiều đủ. Đặt tâm hình vuông trùng tâm hình tròn. Mỗi điểm trong hình vuông có hai tọa độ theo hai cạnh với trị tuyệt đối không quá a/2. Bình phương khoảng cách đến tâm không quá a^2/4+a^2/4=a^2/2\le R^2. Vì vậy toàn bộ hình vuông nằm trong hình tròn.
Hình mô tả trường hợp biên a\sqrt2=2R, không phải tỉ lệ của khối cạnh 5 trong ly nguồn. Bốn đỉnh vừa chạm thành; muốn có khoảng hở thực tế phải dùng bất đẳng thức nghiêm. Xoay hình vuông trong mặt phẳng ngang không đổi đường chéo nên không cải thiện ngưỡng này. Trường hợp nghiêng khối trong không gian là một bài hình học khác, ngoài tiêu chuẩn đang xét.
Với ly nguồn, R^2=250/\pi, còn a^2=25. Điều kiện là 25\le500/\pi, đúng, nên khối đặt theo phương đã mô tả có khoảng hở ngang. Ta không cần làm tròn R để kiểm tra.
Đỉnh khối nằm trên đáy cao a=5\,\mathrm{cm}. Để chìm hoàn toàn sau khi nước dâng 0{,}5, còn cần h_0+0{,}5\ge5, tức h_0\ge4{,}5. Nếu chiều cao trong của bình là H, cần thêm h_0+0{,}5\le H để không tràn. Chẳng hạn chọn h_0=6,H=8 thì cả hai điều kiện đều thỏa. Đây là một cách dựng tình huống khả thi; hai số này không được suy ra từ nguồn.
5. Độ dâng tăng gấp đôi, cạnh không tăng gấp đôi
Giữ cùng bình và cùng loại hình lập phương. Nếu độ dâng được nhân với k>0, thể tích cũng nhân với k, còn cạnh phải nhân với \sqrt[3]k:
(\sqrt[3]k\,a)^3=ka^3.
Chỉ khi độ dâng tăng 8 lần thì cạnh mới tăng 2 lần. Quy luật này giả sử các khối mới vẫn chìm hoàn toàn, đặt vừa và không gây tràn; công thức đại số không tự bảo đảm điều kiện vật lí.
Ví dụ đổi độ dâng từ 0{,}5 lên 1\,\mathrm{cm} trong ly diện tích đáy 250\,\mathrm{cm}^2. Thể tích thành 250\,\mathrm{cm}^3; cạnh là 5\sqrt[3]2, không phải 10\,\mathrm{cm}. Có thể chặn cạnh không cần số gần đúng của căn:
6{,}2^3=238{,}328<250<250{,}047=6{,}3^3.
Do lập phương tăng trên các số dương, suy ra 6{,}2<a<6{,}3\,\mathrm{cm}. Trái lại, khối cạnh 10 có thể tích 1000\,\mathrm{cm}^3, làm nước dâng 4\,\mathrm{cm}, gấp 8 lần mức ban đầu.
Nếu đổi bình nhưng giữ cùng vật, d=V/S. Diện tích đáy lớn gấp đôi làm độ dâng giảm một nửa; kích thước của vật không đổi. Đây là cách tách tác động của vật và tác động của dụng cụ đo.
6. Số đo có sai số thì kết luận là một khoảng
Trong bài toán chính xác, S=250 và d=0{,}5 cho đúng a=5. Trong một phép đo thực nghiệm, cần nói rõ giới hạn sai số. Xét mô hình mới: biết S=250\,\mathrm{cm}^2 chính xác, số đo độ dâng là 0{,}500\,\mathrm{cm}, sai số tuyệt đối không vượt quá 0{,}005\,\mathrm{cm}.
Điều đó có nghĩa độ dâng thật nằm trong khoảng đóng
0{,}495\le d\le0{,}505.
Vì S>0, nhân giữ chiều:
123{,}75\le V\le126{,}25.
Vì cạnh dương và phép lập phương tăng, miền cạnh chính xác là
\boxed{\sqrt[3]{123{,}75}\le a\le\sqrt[3]{126{,}25}}.
Hai đầu được nhận theo mô hình sai số “không vượt quá”. Ngược lại, mỗi cạnh trong khoảng này tạo thể tích, rồi độ dâng, thuộc khoảng đo đã cho. Vì vậy đây là một khoảng khả dĩ thật sự, không chỉ hai ước lượng không liên hệ với dữ kiện.
Muốn công bố cạnh làm tròn đến một chữ số thập phân, không cần lấy nhiều chữ số căn. Ta có
4{,}98^3=123{,}505992<123{,}75,5{,}02^3=126{,}506008>126{,}25.
Suy ra 4{,}98<a<5{,}02, nằm hẳn trong khoảng làm tròn thành 5{,}0\,\mathrm{cm}, là [4{,}95,5{,}05) theo quy ước làm tròn thông thường với số dương. Vậy mọi cạnh phù hợp phép đo đều cho 5{,}0 ở độ chính xác ấy. Tuy nhiên không thể khẳng định cạnh đúng bằng 5.
7. Sai số của hiệu và một cận sai số không dùng đạo hàm
Đo trực tiếp độ tăng khác với trừ hai số đo
Giả sử hai số đọc mực nước là 6{,}000 và 6{,}500\,\mathrm{cm}, mỗi số có sai số tuyệt đối không vượt quá 0{,}005\,\mathrm{cm}, và hai sai số có thể thay đổi độc lập. Khi đó
5{,}995\le h_0\le6{,}005,\qquad6{,}495\le h_1\le6{,}505.
Hiệu nhỏ nhất lấy mức sau nhỏ nhất trừ mức trước lớn nhất; hiệu lớn nhất làm ngược lại:
0{,}490\le h_1-h_0\le0{,}510.
Sai số của độ dâng có thể tới 0{,}010, không chỉ 0{,}005. Chẳng hạn h_0=6{,}005,h_1=6{,}495 đều hợp lệ và cho độ tăng 0{,}490. Vì vậy phải biết giới hạn sai số áp dụng cho độ tăng trực tiếp hay cho từng số đọc.
Chặn sai số cạnh từ hằng đẳng thức lập phương
Với hai cạnh dương a,b có thể tích V=a^3,W=b^3, ta có
|V-W|=|a-b|(a^2+ab+b^2).
Nếu biết a,b\ge m>0, thì a^2+ab+b^2\ge3m^2, nên
\boxed{|a-b|\le\frac{|V-W|}{3m^2}}.
Đây là một cận đại số có chứng minh, không phải quy tắc “lấy căn bậc ba của sai số”. Mẫu dương vì m>0.
Quay lại phép đo trực tiếp ở phần trước: 123{,}75\le V\le126{,}25, chọn cạnh tham chiếu b=5, nên W=125 và |V-W|\le1{,}25. Vì 4{,}9^3=117{,}649<123{,}75, cạnh thật a>4{,}9; cả a,b đều ít nhất m=4{,}9. Do đó
|a-5|\le\frac{1{,}25}{3\cdot4{,}9^2}=\frac{125}{7203}<0{,}018\,\mathrm{cm}.
Cận này hơi rộng hơn khoảng căn chính xác, nhưng đủ giải thích vì sao một khoảng thể tích tương đối rộng vẫn cho cạnh gần 5. Muốn cận tốt hơn, cần giới hạn sai số đo tốt hơn hoặc một cận dưới m chặt hơn; không tự thêm chữ số chắc chắn vào kết quả.
8. Tự kiểm tra điều phép đo thật sự cho biết
Nước dâng bằng không có chứng minh vật có thể tích bằng không không?
Chỉ trong mô hình đúng, S>0, vật chìm hoàn toàn và không tràn thì d=0 cho V=0, mâu thuẫn với một khối lập phương cạnh dương. Trong thực tế có thể nước đã tràn, vật chưa nhúng vào, hoặc dụng cụ không đủ độ phân giải. Không dùng công thức để che đi giả thiết đã hỏng.
Một bình trụ có đường kính 6 cm. Khối lập phương cạnh 5 cm có đặt thẳng, một mặt song song đáy được không?
Không, vì đường chéo mặt vuông là 5\sqrt2>6, tương đương 50>36. Việc cạnh 5 nhỏ hơn đường kính 6 chưa đủ. Kết luận này nói về tư thế mặt song song đáy; nó không phải một chứng minh cho mọi thao tác nghiêng khối trong không gian.
Nếu thể tích đo được là 216 cm khối, biết vật là khối lập phương, vì sao cạnh chỉ có thể là 6 cm?
Vì 6^3=216, và phép lập phương tăng nghiêm trên số dương nên không có cạnh dương thứ hai. Nếu bỏ giả thiết lập phương, khối hộp 3\times6\times12 cũng có thể tích 216, nhưng không có ba cạnh bằng 6. Trong công thức này dấu \times chỉ phép nhân kích thước.
Một kết quả đo tốt có bốn lớp kiểm tra: mô hình bảo toàn đúng; hình dạng đủ để suy ra kích thước; kích thước đặt được trong điều kiện hình học; độ chính xác công bố phù hợp khoảng sai số. Giải được phương trình chỉ hoàn thành một phần của chuỗi ấy.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện