Tiếp tuyến và cát tuyến: từ tích cố định đến điều kiện dựng được
Chứng minh đại lượng bất biến, tìm điều kiện cần và đủ cho khoảng cách cát tuyến, rồi kiểm tra chiều dựng ngược và hai đầu mút bằng các cấu hình tương phản.
TOÁN 9 · BẤT BIẾN, ĐIỀU KIỆN VÀ CHIỀU ĐẢO
Tiếp tuyến và cát tuyến: từ tích cố định đến điều kiện dựng được
Chứng minh đại lượng bất biến, tìm điều kiện cần và đủ cho khoảng cách cát tuyến, rồi kiểm tra chiều dựng ngược và hai đầu mút bằng các cấu hình tương phản.
1. Một đẳng thức đúng chưa bảo đảm một hình dựng được
Trong hình học, một công thức thường cho điều kiện cần : mọi cấu hình hợp lệ đều phải thỏa nó. Nhưng một bộ số thỏa công thức có thể vẫn vi phạm độ dài dây, thứ tự điểm hoặc số giao điểm. Muốn dùng công thức theo chiều ngược, cần tìm đủ điều kiện và một cách dựng.
Ta xét đường tròn tâm O, bán kính R>0, và điểm M ở ngoài: đặt MO=d>R. Một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt E,F, theo thứ tự M,E,F. Gọi e=ME, f=MF, nên 0<e<f.
Hai câu hỏi khác nhau:
- Với một cát tuyến đã có, tích ef bằng gì?
- Với hai số e,f cho trước, chúng có thể là hai khoảng cách của một cát tuyến trên đúng đường tròn ấy không?
Hai câu hỏi sẽ dẫn đến một công cụ chung: tìm đại lượng bất biến, kiểm tra điều kiện hình học còn thiếu, rồi dựng ngược.
2. Tích cát tuyến là một hiệu hai bình phương
Gọi K là trung điểm dây EF. Vì M,E,F theo thứ tự, K nằm giữa E,F. Đặt MK=t, KE=KF=u; ta có t>u>0, và:
e=t-u,\qquad f=t+u,\qquad ef=t^2-u^2.
Trường hợp cát tuyến không đi qua tâm
Khi K\ne O, đường nối tâm đến trung điểm dây vuông góc dây. Hai tam giác MKO,EKO đều là tam giác vuông không suy biến. Pythagore cho:
d^2=t^2+OK^2,\qquad R^2=u^2+OK^2.
Trừ hai đẳng thức để khử cùng một độ dài OK:
ef=t^2-u^2=d^2-R^2.
Trường hợp cát tuyến đi qua tâm
Khi K=O, không gọi MKO hay EKO là tam giác vuông. Ta dùng trực tiếp t=d,u=R, vẫn được ef=(d-R)(d+R)=d^2-R^2.
Đại lượng bất biến: với M và đường tròn cố định, đặt p=d^2-R^2>0. Mọi cát tuyến đều thỏa ME\cdot MF=p, dù từng khoảng cách có thể thay đổi.
Liên hệ với tiếp tuyến
Nếu MT tiếp xúc đường tròn tại T, bán kính OT vuông góc tiếp tuyến. Tam giác MTO vuông không suy biến, nên MT^2=d^2-R^2=p. Vì vậy tích cát tuyến bằng bình phương độ dài tiếp tuyến:
ME\cdot MF=MT^2.
Công thức này đã được chứng minh bằng trung điểm dây và Pythagore; không cần đo trên một hình phác thảo.
Hình minh họa đúng một trường hợp: (ME=3), (MF=16/3), (K) là trung điểm dây; tiếp điểm (T) ở phía dưới để phân biệt rõ hai đường. Các quan hệ trong chứng minh không phụ thuộc cách xoay hình.
3. Thử một bộ số: công thức và hình học có đồng ý không?
Xét riêng d=5,R=3, cùng một đơn vị độ dài. Khi đó p=25-9=16. Cát tuyến qua tâm có e=5-3=2, f=5+3=8, đúng tích 16.
Dự đoán: hai số 1 và 16 cũng có tích 16. Chúng có thể làm hai khoảng cách ME,MF trên hình này không?
Phản ví dụ cho chiều đảo thiếu điều kiện
Không. Thứ tự M,E,F cho EF=f-e=15. Nhưng một dây của đường tròn bán kính 3 không dài hơn đường kính 6: EF\le EO+OF=6. Bộ số thỏa tích nhưng không dựng được.
Với e=3, công thức cho f=16/3, dây dài 7/3<6. Bộ số này qua được cả phép kiểm tra tích và độ dài dây. Để kết luận dựng được, ta sẽ chứng minh chiều đảo tổng quát, không chỉ nhìn một hình minh họa.
Đừng bỏ thứ tự điểm. Ta dùng EF=f-e vì M,E,F theo thứ tự. Công thức chiều dài này không dùng nguyên dạng nếu M nằm giữa hai giao điểm.
4. Điều kiện chính xác cho khoảng cách gần
Giữ d>R>0, p=d^2-R^2. Vì ef=p, một khi chọn e>0 thì f=p/e. Hai điều kiện hình học còn lại là e<f và f-e\le2R.
Chiều thuận: khoảng cần thiết
Điều kiện hai giao điểm phân biệt theo thứ tự cho:
e<\frac pe\Longleftrightarrow e<\sqrt p.
Điều kiện dây không vượt đường kính cho:
\frac pe-e\le2R\Longleftrightarrow e^2+2Re-p\ge0.
Vì p=d^2-R^2, vế trái bằng (e+R)^2-d^2. Các số e+R,d đều dương, nên:
(e+R)^2\ge d^2\Longleftrightarrow e\ge d-R.
Mọi cát tuyến phải thỏa:
\boxed{d-R\le e<\sqrt{d^2-R^2}}.
Chiều đảo: dựng được mọi khoảng cách trong khoảng
Lấy một số e bất kỳ trong khoảng trên. Đặt:
f=\frac pe,\qquad t=\frac{e+f}{2},\qquad u=\frac{f-e}{2}.
Ta có t>u>0, u\le R, và t^2-u^2=ef=p. Đặt k=\sqrt{R^2-u^2}\ge0. Khi đó:
t^2+k^2=p+u^2+R^2-u^2=d^2.
- Nếu e=d-R, thì f=d+R, u=R,k=0. Chọn đường thẳng MO: đây là cát tuyến qua tâm, với đúng hai khoảng cách cần có.
- Nếu d-R<e<\sqrt p, thì 0<u<R, 0<k<R, 0<t<d. Dựng tam giác vuông MKO có cạnh huyền MO=d, hai cạnh góc vuông MK=t,OK=k. Cách dựng khả thi vì hai cạnh dương và t^2+k^2=d^2.
Trong trường hợp thứ hai, đường MK cách tâm một khoảng k<R, nên cắt đường tròn tại hai điểm. Nửa dây bằng \sqrt{R^2-k^2}=u. Vì t>u, cả hai giao điểm nằm trên tia từ M qua K, với khoảng cách t-u=e và t+u=f. Vậy bộ số ban đầu thật sự dựng được.
Điều kiện cần và đủ: với d,R cố định và hai giao điểm phân biệt, khoảng cách gần nhận chính xác các giá trị [d-R;\sqrt{d^2-R^2}). Không có giá trị nào bên ngoài, và không thiếu giá trị nào bên trong.
Điều kiện đầu mút được đọc từ số giao điểm, không chỉ từ phép biến đổi bất đẳng thức. Khoảng này là cần và đủ sau khi đã có cách dựng ngược.
5. Hai đầu mút kể hai câu chuyện hình học khác nhau
Đầu dưới e=d-R được nhận: cát tuyến đi qua tâm, dây dài nhất bằng 2R. Đầu trên e=\sqrt p không được nhận trong bài cát tuyến hai giao điểm phân biệt: khi ấy f=e, nên u=0, dây co lại thành một tiếp điểm.
Nếu đổi câu hỏi để cho phép cả tiếp tuyến như một trường hợp giới hạn, có thể thêm đầu trên. Nhưng không được âm thầm thay định nghĩa trong lúc giải.
Giữ tích, đổi đường tròn: kết luận có thể đổi
Bộ số (e,f)=(1,16) không dựng được khi d=5,R=3. Nhưng với d=8{,}5,R=7{,}5, ta vẫn có d^2-R^2=16, và cát tuyến qua tâm cho d-R=1,d+R=16. Bộ số ấy lại hợp lệ.
Vì thế phát biểu đúng là “không thể trên đường tròn và điểm ngoài đã cho ”, không phải “hai độ dài này không thể xuất hiện trong mọi hình”. Tích bất biến không xác định riêng bán kính và khoảng cách đến tâm.
Giữ công thức nhưng bỏ điều kiện điểm ngoài?
Nếu d=4,R=5, điểm M ở trong đường tròn. Không có tiếp tuyến từ M, và không có cát tuyến với thứ tự M,E,F như đã giả định: trên mỗi đường qua M, hai giao điểm nằm ở hai phía của M.
Giá trị d^2-R^2=-9 báo rằng không được dùng công thức dương ef=p với cùng định nghĩa e,f và thứ tự điểm. Cần lập lại mô hình phù hợp, không cố lấy căn bậc hai thực của số âm để “tìm tiếp tuyến”.
6. Tự chuyển giao: kiểm tra, rồi dựng ngược
Phân loại các bộ số trên một hình mới
Đường tròn có R=5, điểm ngoài có d=13. Xét bốn cặp khoảng cách gần/xa: (8,18), (9,16), (6,24), (12,12). Cặp nào cho cát tuyến có hai giao điểm phân biệt?
Gợi ý
Tính p=d^2-R^2, khoảng giá trị của e, rồi kiểm tra tích và số giao điểm.
Lời giải
p=169-25=144, khoảng cần và đủ là 8\le e<12. Hai cặp (8,18), (9,16) có đúng tích 144 và e trong khoảng, nên dựng được. Cặp (6,24) có dây dài 18>10, không dựng được. Cặp (12,12) ứng với tiếp tuyến, không phải hai giao điểm phân biệt.
Dựng một cặp cụ thể để kiểm tra chiều đảo
Với cặp (9,16) ở trên, hãy tìm MK, nửa dây và khoảng cách từ tâm đến cát tuyến.
Lời giải
t=\frac{9+16}{2}=\frac{25}{2},\quad u=\frac{16-9}{2}=\frac72.
Khoảng cách đến tâm là k=\sqrt{25-49/4}=\sqrt{51}/2. Kiểm tra t^2+k^2=(625+51)/4=169=d^2, k<5, và t-u=9,t+u=16. Đó là một cách dựng hợp lệ, không chỉ một tích đúng.
Bốn câu hỏi cho một chiều đảo mới
- Đẳng thức nào chỉ là điều kiện cần?
- Thứ tự điểm và giới hạn độ dài bổ sung điều kiện gì?
- Điểm ở đầu mút có làm hai điểm hoặc một tam giác nhập lại không?
- Với một bộ số hợp lệ bất kỳ, có chỉ ra được cách dựng không?
Câu chốt: công thức giúp tìm ứng viên; điều kiện hình học và chiều dựng ngược mới xác nhận ứng viên thuộc một cấu hình thực.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải