Hai phép đo, một miền nghiệm: tính cận mà giữ đúng quan hệ
Khôi phục nghiệm của hệ tuyến tính, dựng miền dữ kiện có sai số và tìm cận chặt cho từng ẩn, tổng hoặc hiệu.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hai phép đo, một miền nghiệm: tính cận mà giữ đúng quan hệ
Khôi phục nghiệm của hệ tuyến tính, dựng miền dữ kiện có sai số và tìm cận chặt cho từng ẩn, tổng hoặc hiệu.
01. Từ một nghiệm đến cả miền dữ kiện có thể
Một hệ phương trình thường cho một cặp số. Nếu các số ở vế phải chỉ được biết trong những khoảng cho phép, ta phải tìm cả một miền cặp số. Muốn tính chính xác một tổng hay một hiệu trong miền ấy, không thể tùy ý ghép các cận của từng ẩn.
Ta bắt đầu với hai phép đo tuyến tính độc lập về dữ kiện:
p=3x-y,\qquad q=2x+y.
Ở đây x,y,p,q là số thực. Không mặc định x,y nguyên hay dương. “Độc lập về dữ kiện” trong bài có nghĩa là mọi cặp (p,q) trong hai khoảng đã cho đều được phép; đó không phải một khẳng định về xác suất hay phân bố sai số.
Mục tiêu: tìm điều kiện cần và đủ của một cặp (x,y), tính cận chặt cho từng ẩn và cho một biểu thức kết hợp, rồi dựng dữ kiện đạt đúng các cận ấy.
02. Phép khử phải đi kèm cách khôi phục
Cộng hai đẳng thức để khử y, ta có p+q=5x. Thay lại vào q=2x+y:
\boxed{x=\frac{p+q}{5},\qquad y=\frac{3q-2p}{5}}.
Đây là điều kiện cần. Để chứng minh đủ, lấy bất kì hai số thực p,q, định nghĩa x,y bằng công thức trên rồi kiểm tra:
3x-y=\frac{3p+3q-(3q-2p)}5=p,
2x+y=\frac{2p+2q+3q-2p}5=q.
Vậy mỗi cặp (p,q) cho đúng một cặp (x,y). Tính duy nhất theo ngay từ công thức khôi phục. Nếu chỉ giữ lại phương trình 5x=p+q rồi bỏ cả hai phương trình ban đầu, ta chưa xác định y; một phép cộng tạo hệ quả, còn sự tương đương của cả hệ cần thêm bước khôi phục.
Ví dụ nguồn đầy đủ: giải hệ 3x-y=7, 2x+y=8. Với p=7,q=8, ta có x=3,y=2. Thay ngược: 9-2=7, 6+2=8. Phần sau thay dữ kiện chính xác bằng những khoảng đo mới được nêu rõ.
03. Hai khoảng đo tạo một hình bình hành nghiệm
Xét mô hình mới: hai số đo trung tâm vẫn là 7,8, nhưng mỗi tổng có thể lệch không quá 1. Nghĩa là
6\le p\le8,\qquad7\le q\le9.
Một cặp (x,y) được phép khi và chỉ khi
\boxed{6\le3x-y\le8,\qquad7\le2x+y\le9}.
Chiều cần là thế hai phép đo vào khoảng đã cho. Chiều đủ: nếu cặp số thỏa hai bất đẳng thức, đặt p=3x-y,q=2x+y; chúng là một cặp dữ kiện được phép và công thức khôi phục trả lại đúng x,y. Không có điều kiện ẩn nào khác trong mô hình này.
Hai phương trình 3x-y=6, 3x-y=8 là hai đường thẳng song song; hai phương trình 2x+y=7, 2x+y=9 tạo một cặp song song khác. Miền chung của hai dải là một hình bình hành, kể cả biên. Bốn đỉnh tìm được bằng cách chọn hai đầu mút của hai khoảng đo:
- (p,q)=(6,7) cho (x,y)=(13/5,9/5).
- (p,q)=(6,9) cho (x,y)=(3,3).
- (p,q)=(8,9) cho (x,y)=(17/5,11/5).
- (p,q)=(8,7) cho (x,y)=(3,1).
Mọi điểm trên cạnh và bên trong đều được phép, không chỉ bốn đỉnh. Điều đó đã được chứng minh bởi hai chiều của điều kiện đóng khung, không dựa vào việc tô màu hình vẽ.
Miền xanh dùng tỉ lệ 150 điểm ảnh cho một đơn vị x, 70 điểm ảnh cho một đơn vị y. Khung nét đứt chỉ biểu diễn các cận riêng. Điểm E=(3{,}4;3) nằm trong khung ấy nhưng nằm ngoài miền nghiệm chung.
04. Cận đúng của từng ẩn chưa cho phép ghép tùy ý
Vì x=(p+q)/5, cả hai hệ số của p,q đều dương, nên
\frac{13}{5}\le x\le\frac{17}{5}.
Cận dưới đạt tại (p,q)=(6,7), cận trên tại (8,9). Còn y=(3q-2p)/5 tăng khi q tăng nhưng giảm khi p tăng, do đó
1\le y\le3.
Cận dưới đạt tại (8,7), cận trên tại (6,9). Các cận đều đúng và đều đạt, nhưng chúng dùng những cặp dữ kiện khác nhau.
Không được kết luận mọi cặp trong hình chữ nhật [13/5;17/5]\times[1;3] đều là nghiệm. Chẳng hạn (17/5,3) thỏa cả hai cận riêng nhưng cho q=2(17/5)+3=49/5>9, vi phạm dữ kiện.
Muốn x đạt lớn nhất, bắt buộc p=8,q=9, vì tổng của hai số không vượt các cận riêng chỉ đạt tổng cận khi cả hai đạt cận. Khi ấy y=11/5, nên không thể đồng thời có y=3. Thông tin hai ẩn cùng phụ thuộc một cặp số đo chính là điều bị mất khi ta chỉ giữ hai khoảng riêng.
05. Tính cận của tổng bằng đúng cùng một cặp dữ kiện
Nếu cộng thô các cận riêng, ta được 18/5\le x+y\le32/5. Đây là cận bao đúng, nhưng không chặt: hai đầu không đạt được. Để tìm toàn bộ miền giá trị, hãy biến đổi tổng trước:
x+y=\frac{p+q+3q-2p}{5}=\frac{4q-p}{5}.
Hệ số của q dương, của p âm, nên
\boxed{4\le x+y\le6}.
Tổng bằng 4 tại (p,q)=(8,7), tức (x,y)=(3,1). Tổng bằng 6 tại (6,9), tức (3,3). Không thể tăng cận dưới hoặc giảm cận trên mà vẫn giữ tất cả nghiệm.
Mọi giá trị ở giữa có thật sự đạt không?
Cho số w\in[4,6]. Chọn p=12-w, q=w+3. Khi ấy 6\le p\le8, 7\le q\le9, và
x=3,\qquad y=w-3,\qquad x+y=w.
Vậy đoạn [4,6] là toàn bộ miền giá trị, không chỉ là một cặp cận. Cách dựng này chọn một đoạn thẳng trong hình bình hành nghiệm, nối hai điểm đạt cận.
Một ví dụ khác: x-y=(3p-2q)/5, nên 0\le x-y\le2. Cận dưới đạt tại (6,9), cận trên tại (8,7). Biểu thức 3x-y=p thì có ngay miền [6,8], không cần khôi phục riêng từng ẩn.
06. Công thức sai số chặt cho một tổ hợp bất kì
Khái quát mô hình: p=p_0+u, q=q_0+v, với |u|\le e, |v|\le f, trong đó e,f\ge0. Hai độ lệch được chọn độc lập trong các khoảng ấy. Cặp trung tâm là
x_0=\frac{p_0+q_0}{5},\qquad y_0=\frac{3q_0-2p_0}{5}.
Với hai hệ số thực \alpha,\beta, đặt W=\alpha x+\beta y, W_0=\alpha x_0+\beta y_0. Khi đó
W-W_0=\frac{\alpha-2\beta}{5}u+\frac{\alpha+3\beta}{5}v.
Dùng bất đẳng thức tam giác cho giá trị tuyệt đối, suy ra
|W-W_0|\le E_W,
\quad E_W=\frac{|\alpha-2\beta|e+|\alpha+3\beta|f}{5}.
Cận này đạt được. Để đạt +E_W, nếu hệ số của u dương thì chọn u=e, nếu âm chọn u=-e; nếu bằng 0 chọn bất kì u được phép. Chọn v theo đúng quy tắc với hệ số của nó. Hai lựa chọn thực hiện đồng thời được nhờ giả thiết độc lập về miền dữ kiện. Đổi dấu cả u,v sẽ đạt -E_W.
Hơn nữa, nối cặp độ lệch đạt cận dưới với cặp đạt cận trên bằng cách lấy cùng một tỉ lệ \lambda\in[0,1] giữa hai cặp. Mỗi tọa độ vẫn nằm trong khoảng của mình; do biểu thức là bậc nhất, giá trị nhận được là W_0-E_W+2\lambda E_W. Nếu E_W>0, mọi giá trị trong đoạn đều đạt; nếu E_W=0, chỉ có giá trị W_0.
Vậy miền giá trị chính xác là [W_0-E_W;W_0+E_W]. Công thức vẫn đúng khi e=0 hoặc f=0, lúc đó một phép đo chính xác và miền nghiệm có thể là đoạn thẳng. Nếu cả hai bằng 0, miền nghiệm chỉ là một điểm.
Chọn (\alpha,\beta)=(1,0) cho sai số chặt của x là (e+f)/5. Chọn (0,1) cho sai số của y là (2e+3f)/5. Chọn (1,1) cho sai số của tổng là (e+4f)/5, thường nhỏ hơn cộng hai sai số riêng.
07. Thay mô hình phải thay cả kết luận
Nếu hai độ lệch không độc lập mà bị buộc bằng nhau, u=v, với |u|\le1, ta không còn được chọn tùy ý bốn góc của hình chữ nhật dữ kiện. Với trung tâm nguồn:
x=3+\frac25u,\qquad y=2+\frac15u,\qquad x+y=5+\frac35u.
Miền của tổng khi ấy là [22/5;28/5], hẹp hơn [4,6]. Hai đầu đạt tại u=-1,1. Công thức cận độc lập vẫn là một cận bao an toàn cho mô hình hẹp hơn, nhưng không còn chặt. Một giả thiết liên hệ giữa các sai số có thể thay đổi cả miền nghiệm.
Nếu x,y được yêu cầu nguyên, cần giao miền thực với lưới điểm nguyên. Trong ví dụ e=f=1, vì 13/5\le x\le17/5, chỉ có x=3. Thay lại cả hai khoảng đo cho 1\le y\le3, nên đúng ba cặp nguyên (3,1),(3,2),(3,3). Không được làm tròn một cặp thực rồi mặc định nó vẫn thỏa dữ kiện.
08. Tự kiểm tra với đáp án đóng
Thử 1. Giữ p_0=7,q_0=8, nhưng lấy e=1/2,f=0. Tìm miền của x,y,x+y.
Xem lời giải và các đầu mút
u\in[-1/2;1/2], v=0. Do đó x=3+u/5, y=2-2u/5, x+y=5-u/5. Các miền lần lượt là [29/10;31/10], [9/5;11/5], [49/10;51/10]. Hai đầu của mỗi đoạn đều đạt tại u=\pm1/2, nhưng theo những dấu phù hợp với hệ số.
Thử 2. Trong miền đo 6\le p\le8, 7\le q\le9, giá trị nhỏ nhất của 2x+y là gì?
Xem lời giải
2x+y=q, nên giá trị nhỏ nhất bằng 7, đạt với mọi p\in[6,8] khi q=7. Chẳng hạn (x,y)=(3,1) đạt. Điểm đạt cận không nhất thiết duy nhất; ở đây cả một cạnh của hình bình hành cùng đạt.
Thử 3. Cặp (2{,}6;1) có được phép không, dù từng tọa độ đều đạt một cận riêng?
Xem lời giải
Không. Nó cho p=6{,}8, vẫn hợp lệ, nhưng q=6{,}2<7. Đạt cận riêng không cho phép ghép hai tọa độ lấy từ hai bộ dữ kiện khác nhau.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện