Xác suất hữu hạn: chọn đúng kết quả trước khi đếm
Xây không gian mẫu, kiểm tra đồng khả năng, đếm bội và phần giao; phân biệt thứ tự, hoàn lại và nhóm kết quả trước khi dùng công thức xác suất.
Toán THCS • Chuyên đề mô hình xác suất
Xác suất hữu hạn: chọn đúng kết quả trước khi đếm
Trước khi lấy số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả, phải biết một kết quả là gì và vì sao các kết quả được xem là có khả năng như nhau. Đếm đúng trên một mô hình sai vẫn cho xác suất sai.
Mục tiêu: xác định không gian mẫu hữu hạn; phân biệt kết quả với nhóm kết quả; kiểm tra đồng khả năng; đếm không trùng khi có “hoặc”; nhận ra ảnh hưởng của thứ tự và hoàn lại.
01 • Mô tả phép thử
Chốt cách thực hiện và điều được ghi nhận
Một phép thử ngẫu nhiên cần có cách thực hiện rõ. “Chọn một thẻ” còn thiếu thông tin: chọn đều từng thẻ hay chọn màu trước; chọn một hay hai lần; có trả thẻ lại không? Những lựa chọn này có thể tạo mô hình khác nhau.
Kết quả sơ cấp là điều được ghi nhận sau một lần thực hiện trọn phép thử. Tập các kết quả ấy gọi là không gian mẫu, kí hiệu \Omega. Biến cố là tập các kết quả thỏa một điều kiện, kí hiệu A. Số phần tử của hai tập được viết là |\Omega| và |A|.
Quan sát trước: Tung một đồng xu hai lượt và ghi theo thứ tự. Nếu chỉ ghi “không ngửa, một ngửa, hai ngửa”, ba mục này có phải ba kết quả đồng khả năng không? Hãy dựng các lượt xảy ra trước khi quyết định.
Kiến thức nền: tập hợp hữu hạn, phân số, bội số và cách liệt kê theo một quy tắc. Không cần một đề thi cụ thể để học mô hình này.
02 • Kết quả và nhóm kết quả
Gộp kết quả có thể làm mất đồng khả năng
N là ngửa, S là sấp. Sơ đồ giữ thứ tự hai lượt. Giả sử đồng xu cân đối và hai lượt độc lập, bốn kết quả có cùng xác suất.
\Omega=\{NN,NS,SN,SS\}.
Biến cố “đúng một lượt ngửa” gồm NS và SN. Nhóm “không ngửa” chỉ gồm SS, nhóm “hai ngửa” chỉ gồm NN. Vì nhóm giữa chứa hai kết quả còn mỗi nhóm kia chứa một, không được coi ba nhóm có xác suất bằng nhau.
Điều kiện độc lập ở đây có nghĩa kết quả lượt đầu không làm thay đổi xác suất ngửa hoặc sấp của lượt sau. Tính cân đối của mỗi lượt và tính độc lập cùng giúp xác lập bốn kết quả đồng khả năng; không chỉ nhìn vào số nhánh trên hình.
Một không gian mẫu có thể ghi theo nhiều cách phục vụ mục đích khác nhau. Nếu dùng ba nhóm số lượt ngửa, phải gán xác suất phù hợp cho từng nhóm; không áp dụng công thức đếm đều cho chúng.
03 • Điều kiện của công thức
Chỉ chia số lượng khi các kết quả sơ cấp đồng khả năng
Với không gian mẫu hữu hạn khác rỗng gồm các kết quả đồng khả năng, xác suất biến cố A là:
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}.
Tử số đếm các kết quả thỏa điều kiện; mẫu số đếm mọi kết quả có thể xảy ra trong chính phép thử ấy. Không lấy số loại màu làm mẫu nếu đang chọn đều từng thẻ và số thẻ của các màu khác nhau.
Mô hình tự tạo: Có ba thẻ đỏ phân biệt và một thẻ xanh; mỗi thẻ có cơ hội được chọn như nhau. Đánh nhãn R_1,R_2,R_3,B_1 để nhìn thấy bốn kết quả sơ cấp. Hai tên màu không phải hai kết quả đồng khả năng: nhóm đỏ chứa ba thẻ, nhóm xanh chứa một.
Nếu thay phép thử thành chọn một màu bằng một cơ chế cho hai màu cơ hội như nhau rồi mới chọn thẻ thuộc màu ấy, xác suất màu đỏ sẽ khác. Cùng một hộp, cách chọn khác nhau dẫn tới phân phối khác nhau.
Kiểm tra nhanh sau khi lập công thức
0\le |A|\le|\Omega|\quad\Longrightarrow\quad 0\le P(A)\le1.
Biến cố chắc chắn chứa toàn bộ không gian mẫu; biến cố không thể không chứa kết quả nào. Nếu phân số vượt một, hãy kiểm xem đã đảo tử và mẫu hoặc đếm trùng chưa.
04 • Đếm có cấu trúc
Dùng điều kiện để tạo danh sách không thiếu, không trùng
Với N,d là số nguyên dương, các số nguyên được ghi từ 1 đến N, bội dương của d có dạng d,2d,3d,\ldots,kd. Số cuối phải không vượt N, còn bội kế tiếp phải vượt N:
kd\le N<(k+1)d,\qquad d\ge1.
Với k là số nguyên không âm, khi đó có k bội dương. Cách này không đếm số 0, vì khoảng nhãn bắt đầu từ 1. Nếu khoảng nhãn bắt đầu ở một số khác, phải kiểm cả cận dưới; không lấy ngay số bội từ 1.
Khi kết hợp nhiều điều kiện, liệt kê theo nhóm có quy tắc. Với số nhỏ, danh sách đầy đủ là cách kiểm tra hữu ích. Với số lớn, tìm một cấu trúc chia nhóm để mỗi kết quả thuộc đúng một nhóm. Đếm nhóm chồng nhau mà không sửa phần giao là nguồn lỗi thường gặp.
Thứ tự làm: viết tập kết quả trước; xác định điều kiện của biến cố; chọn cách đếm; cuối cùng kiểm lại với phép thử. Không lấy một công thức quen thuộc rồi điều chỉnh dữ kiện cho khớp.
05 • “Hoặc” và phần giao
Kết quả thỏa cả hai điều kiện chỉ được đếm một lần
Trong cách hiểu toán học thông thường, “A hoặc B” gồm kết quả thuộc ít nhất một trong hai tập, kể cả thuộc cả hai. Nếu yêu cầu chỉ một trong hai điều kiện thì phải nói rõ và xử lí phần giao khác đi.
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.
Vì sao trừ phần giao? Mỗi kết quả chỉ thuộc A được đếm một lần; chỉ thuộc B cũng một lần; thuộc cả hai được tính trong cả hai số lượng, tức hai lần. Trừ một lần phần giao đưa nó về một lần.
Ví dụ về cách nhận dạng : nếu A là nhãn chia hết cho 2, B là nhãn chia hết cho 3, phần giao là nhãn chia hết cho cả hai, tức chia hết cho 6. Đây là điều kiện chung, không phải cộng hai tập rồi bỏ tất cả bội của 6.
Ít nhất một điều kiện
Giữ phần giao trong biến cố, nhưng đếm nó một lần. Dùng công thức hợp ở trên.
Chỉ một điều kiện
Loại phần giao ra khỏi biến cố. Nếu bắt đầu bằng tổng hai số lượng, phần giao đã được tính hai lần nên phải bỏ cả hai lần ấy.
Đọc lại câu mô tả biến cố trước khi đếm là cách tránh nhầm hai yêu cầu. Từ “hoặc” trong lời nói đời thường đôi khi mơ hồ; bài toán cần cách hiểu rõ.
06 • Hai lượt chọn
Thứ tự và hoàn lại phải được ghi trong mô hình
Với n thẻ phân biệt, chọn đều một thẻ, trả lại và chọn tiếp một thẻ theo cùng cách, các cặp có thứ tự có n khả năng cho lượt đầu và n cho lượt sau. Nếu hai lượt độc lập, có n^2 kết quả đồng khả năng.
Khi n\ge2, nếu không trả lại và chọn đều trong số thẻ còn lại, lượt sau chỉ có n-1 lựa chọn; các cặp có thứ tự có n(n-1) kết quả đồng khả năng. Cặp chọn lại đúng thẻ cũ không còn xuất hiện.
Có hoàn lại: n^2 kết quả có thứ tự.
Không hoàn lại: n(n-1) kết quả có thứ tự.
Nếu không quan tâm thứ tự trong trường hợp không hoàn lại, mỗi cặp hai thẻ phân biệt tương ứng đúng hai thứ tự. Có thể gộp thành các cặp không thứ tự với số lượng n(n-1)/2. Cách chọn đều từng lượt giúp các cặp ấy đồng khả năng.
Với hoàn lại, gộp cặp có thứ tự thành cặp không thứ tự cần thận trọng: cặp hai thẻ khác nhau có hai thứ tự, cặp lặp cùng thẻ chỉ có một. Các nhóm sau khi gộp không tự đồng khả năng. Đây là cùng lỗi mô hình như gộp hai lượt tung xu theo số lần ngửa.
07 • Tự sửa mô hình
Kiểm mẫu số trước khi sửa phép tính
- Nêu phép thử: chọn bao nhiêu lượt, chọn theo cách nào, có hoàn lại không?
- Ghi một kết quả trọn vẹn và kiểm xem có cần thứ tự không.
- Liệt kê hoặc đếm không gian mẫu bằng cấu trúc.
- Giải thích đồng khả năng. Nếu không có căn cứ, không áp dụng tỉ số đếm đều.
- Viết điều kiện biến cố và kiểm phần giao nếu có nhiều điều kiện.
- Kiểm phạm vi xác suất và một trường hợp biên: không thể hoặc chắc chắn.
Tự xét: Biết số thẻ mỗi màu đã đủ tính xác suất màu chưa?
Cần biết cơ chế chọn. Chọn đều từng thẻ và chọn đều từng màu là hai phép thử khác nhau. Hãy mô tả lại phép thử trước khi dùng số lượng.
Tự xét: Một kết quả bị đếm hai lần ở đâu?
So sánh các nhóm dùng để đếm. Nếu một kết quả xuất hiện ở cả hai nhóm mà biến cố vẫn giữ nó, sửa bằng cách trừ một lần phần giao. Nếu biến cố không giữ nó, loại toàn bộ số lần đã đếm kết quả ấy.
Tự xét: Đếm đúng nhưng xác suất vẫn sai có thể vì sao?
Có thể các nhóm đang đếm không đồng khả năng. Quay về các kết quả sơ cấp như thẻ có nhãn hoặc các lượt theo thứ tự. Phân biệt lỗi đếm với lỗi chọn mô hình để sửa đúng chỗ.
Chuyển giao: áp dụng các câu hỏi này cho thẻ số, vòng quay, lựa chọn hai đồ vật hoặc trò chơi đơn giản. Mỗi bối cảnh phải có giả thiết về cơ chế ngẫu nhiên; không suy đồng khả năng chỉ từ hình vẽ đẹp hoặc lời “chọn ngẫu nhiên” chưa rõ.
Chuyên đề mô hình và phương pháp • Ví dụ tự tạo để giải thích khái niệm • Không cung cấp lời giải theo số câu của đề thi.