Biến đổi tương đương: căn thức, mẫu số và tham số Viète
Giữ đúng tập nghiệm qua trị tuyệt đối, khử mẫu và khử ẩn; phân loại tham số, dấu nghiệm và điều kiện có nghiệm nguyên bằng những chứng minh hai chiều.
TOÁN THCS · ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH ĐẢO NGƯỢC CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
Biến đổi tương đương: căn thức, mẫu số và tham số Viète
Giữ đúng tập nghiệm qua trị tuyệt đối, khử mẫu và khử ẩn; phân loại tham số, dấu nghiệm và điều kiện có nghiệm nguyên bằng những chứng minh hai chiều.
1. Một dòng biến đổi cần giữ được những nghiệm nào?
Cộng cùng một số vào hai vế là phép biến đổi đảo ngược được. Nhân với một biểu thức có thể bằng 0, chia cho một biểu thức chưa biết khác 0, hoặc bình phương hai vế cần được kiểm tra thêm. Mục tiêu của bài học là biết vì sao mỗi bước giữ đúng tập nghiệm, từ căn thức đến phân thức, tham số và hệ phương trình.
Dự đoán: Hai phương trình x=-2 và x^2=4 có cùng nghiệm không? Nếu rút gọn được một mẫu số, giá trị từng làm mẫu bằng 0 có trở lại miền được phép không?
Phương trình sau nhận nghiệm -2 của phương trình trước, nhưng còn có nghiệm 2. Bình phương cho một hệ quả; muốn suy ngược cần điều kiện về dấu hoặc thay nghiệm lại.
2. Căn số học trả về một số không âm
Với mọi số thực u, cả u^2 và |u|^2 bằng nhau, còn |u|\ge0. Theo định nghĩa căn bậc hai số học:
\sqrt{u^2}=|u|=\begin{cases}u&\text{nếu }u\ge0,\\-u&\text{nếu }u<0.\end{cases}
Ví dụ \sqrt{(-3)^2}=3, không phải -3. Dấu giá trị tuyệt đối không phải một kí hiệu có thể bỏ trước khi biết dấu của biểu thức bên trong.
Xét biểu thức đầy đủ
A=\sqrt{(\sqrt3-2)^2}-\frac3{\sqrt3}+\sqrt{12}.
Vì 3<4, ta có \sqrt3<2, nên \sqrt3-2<0. Do đó
\sqrt{(\sqrt3-2)^2}=2-\sqrt3.
Mẫu \sqrt3\ne0; vì (\sqrt3)^2=3, ta có 3/\sqrt3=\sqrt3. Đồng thời \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3. Vậy
A=(2-\sqrt3)-\sqrt3+2\sqrt3=2.
Ở đây v=\sqrt{u^2}=|u|. Nhánh bên trái phải đi lên khi u âm và độ lớn của u tăng; đó là phần bị mất nếu viết nhầm căn thành u.
Chuyển giao về điểm đổi dấu
Với \sqrt{(t-2)^2}, điểm cần tách là t=2, không phải t=0. Khi t\ge2, giá trị bằng t-2; khi t<2, giá trị bằng 2-t. Tại t=2, cả hai công thức đều cho 0.
3. Tích bằng không: tách trường hợp, không chia mất nghiệm
Xét
(x-2)(2x+1)=0.
Một tích hai số thực bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một thừa số bằng 0. Thật vậy, nếu thừa số thứ nhất không bằng 0, ta chia cho nó để suy ra thừa số thứ hai bằng 0; nếu nó bằng 0 thì đã có trường hợp đầu.
x-2=0\quad\text{hoặc}\quad2x+1=0,
nên nghiệm là x=2 hoặc x=-1/2. Thay lại, mỗi giá trị đều làm một thừa số bằng 0.
Nếu chia ngay cho x-2, ta đã giả sử x\ne2, rồi chỉ giữ được nghiệm -1/2. Nghiệm 2 đã bị loại trước khi xét. Cách sửa là tách trường hợp x=2 trước khi chia, hoặc dùng trực tiếp tính chất tích bằng không.
4. Khử mẫu là tương đương trên miền đã khóa
Giải phương trình
\frac{x-1}{x+1}+\frac5{3x}=1.
Miền xác định là x\ne-1,\ x\ne0. Trên miền này, tích 3x(x+1)\ne0, nên nhân hai vế với nó là phép biến đổi đảo ngược được:
3x(x-1)+5(x+1)=3x(x+1),3x^2+2x+5=3x^2+3x,\qquad x=5.
Nghiệm 5 nằm trong miền; thay lại:
\frac{5-1}{5+1}+\frac5{3\cdot5}=\frac23+\frac13=1.
Vậy nghiệm duy nhất là 5. Một cách ngắn hơn là chuyển 1 sang trái:
\frac{x-1}{x+1}-1=-\frac2{x+1},\qquad \frac5{3x}=\frac2{x+1}.
Khử mẫu hợp lệ cho 5(x+1)=6x, cũng được x=5. Cách viết ngắn vẫn phải giữ nguyên miền x\ne0,-1.
5. Tham số có thể làm ứng viên rơi đúng vào chỗ bị loại
Thay số 5 ở tử bằng tham số thực k, xét bài toán mới
\frac{x-1}{x+1}+\frac{k}{3x}=1,\qquad x\ne0,-1.
Cùng phép khử mẫu cho
3x(x-1)+k(x+1)=3x(x+1),(6-k)x=k.
Chưa được chia cho 6-k trước khi biết nó khác 0. Ta xét đầy đủ:
- k=6: phương trình trở thành 0=6, vô nghiệm.
- k=0: phương trình sau khử mẫu cho x=0, nhưng giá trị này bị loại. Phương trình gốc vô nghiệm. Dù tử của phân thức thứ hai bằng 0, biểu thức 0/(3x) vẫn không được xác định tại x=0.
- k\ne0,6: có đúng một ứng viên x=k/(6-k). Nó khác 0 vì k\ne0, và x+1=6/(6-k)\ne0, nên hợp lệ. Các biến đổi đều tương đương trên miền, do đó đây là nghiệm duy nhất.
Không có k nào tạo vô số nghiệm: để (6-k)x=k đúng với mọi x, phải đồng thời 6-k=0 và k=0, điều không thể.
Dự đoán vị trí nghiệm từ k
Từ công thức nghiệm và x+1=6/(6-k):
- Nếu k<0, thì -1<x<0.
- Nếu 0<k<6, thì x>0.
- Nếu k>6, thì x<-1.
Chẳng hạn k=-6 cho x=-1/2; k=3 cho x=1; k=12 cho x=-2. Hai điểm cấm -1,0 phân chia đúng ba vùng nghiệm.
Đi ngược: chọn trước một nghiệm hợp lệ
Với bất kì x\ne0,-1, đặt k=6x/(x+1). Khi đó k\ne0, và k=6 sẽ dẫn đến x=x+1, vô lí. Do đó mọi x trong miền gốc đều đạt được với đúng một k. Công thức nghịch đảo cũng kiểm tra tính đầy đủ của phân loại.
6. Viète phải đi cùng sự tồn tại của nghiệm thực
Xét họ phương trình
2x^2+bx-3=0,\qquad b\in\mathbb R.
Hệ số bậc hai luôn khác 0, và
\Delta=b^2-4\cdot2\cdot(-3)=b^2+24>0.
Vậy với mọi b, có hai nghiệm thực phân biệt. Theo Viète:
S=x_1+x_2=-\frac b2,\qquad x_1x_2=-\frac32.
Tích âm chứng tỏ hai nghiệm khác 0 và trái dấu, bất kể b. Điều kiện tổng nghiệm bằng -5 cho -b/2=-5, tức b=10. Giá trị này đã được bảo đảm có hai nghiệm thực, nên đáp ứng đầy đủ yêu cầu.
Chiều ngược cũng đúng: đặt b=10, Viète cho tổng -5. Vì vậy điều kiện tổng bằng -5 tương đương duy nhất với b=10, không chỉ tạo một ứng viên cần đoán.
7. Tổng nghiệm, trị tuyệt đối của tổng và tổng độ lớn khác nhau
Gọi x_+>0>x_- là hai nghiệm. Tổng đại số là S=x_++x_-. Tổng độ lớn là
T=|x_+|+|x_-|=x_+-x_->0.
Do đó
T^2=(x_+-x_-)^2=S^2-4x_+x_-=S^2+6,T=\sqrt{S^2+6}=\frac{\sqrt{b^2+24}}2.
Ta có T\ge\sqrt6, dấu bằng khi và chỉ khi b=0. Khi ấy tổng hai nghiệm bằng 0, hai nghiệm là \pm\sqrt{3/2}, trái dấu nhưng cùng độ lớn.
Nếu b>0, thì S<0, nên nghiệm âm có độ lớn lớn hơn nghiệm dương. Nếu b<0, nghiệm dương có độ lớn lớn hơn. Từ dấu của tổng, ta đọc được sự lệch giữa hai độ lớn.
Ba yêu cầu gần giống nhau: Tổng nghiệm bằng -5; trị tuyệt đối của tổng bằng 5; tổng hai trị tuyệt đối bằng 5. Hãy dự đoán xem chúng có cho cùng tham số không.
Phân biệt chính xác
- S=-5 cho b=10.
- |S|=5 cho |b|/2=5, nên b=10 hoặc b=-10.
- T=5 cho S^2+6=25, nên b=\pm2\sqrt{19}. Bình phương ở đây đảo ngược được vì T\ge0 và vế phải 5>0.
Với b=10, tổng nghiệm là -5, nhưng tổng độ lớn là \sqrt{31}, không phải 5.
Một yêu cầu tổng độ lớn bất kì
Muốn T=t với t\in\mathbb R: nếu t<\sqrt6, không có tham số; nếu t=\sqrt6, chỉ có b=0; nếu t>\sqrt6, có đúng hai giá trị
b=\pm2\sqrt{t^2-6}.
Điều kiện t\ge\sqrt6 được kiểm tra trước khi bình phương, nên không nhận nhầm một giá trị âm của t.
8. Chuyển giao về nghiệm nguyên có giới hạn rõ ràng
Hai nghiệm của 2x^2+bx-3=0 không thể đồng thời là số nguyên, vì tích của hai số nguyên là số nguyên, trong khi tích nghiệm bằng -3/2.
Nếu một nghiệm là số nguyên n\ne0, thế vào phương trình cho
2n^2+bn-3=0,\qquad b=\frac3n-2n.
Ngược lại, với bất kì số nguyên n\ne0, chọn b=3/n-2n thì n thật sự là nghiệm; nghiệm còn lại là -3/(2n), không thể là số nguyên. Như vậy đây là điều kiện cần và đủ để có một nghiệm nguyên khi b được phép là số thực.
Nếu bổ sung b cũng phải nguyên, thì 3/n=b+2n phải nguyên. Do đó n là một trong bốn ước nguyên 1,-1,3,-3 của 3. Thay từng giá trị:
- b=1: hai nghiệm 1,-3/2.
- b=-1: hai nghiệm -1,3/2.
- b=-5: hai nghiệm 3,-1/2.
- b=5: hai nghiệm -3,1/2.
Bốn giá trị b\in\{-5,-1,1,5\} là đầy đủ. Không dùng kết luận hữu hạn này khi b chưa được yêu cầu nguyên.
9. Khử trong hệ vẫn phải giữ đủ hai điều kiện
Giải hệ
\begin{cases}2x+y=1,\\x+2y=-4.\end{cases}
Nhân phương trình đầu với 2, rồi trừ phương trình sau:
4x+2y=2,\qquad x+2y=-4,\qquad3x=6.
Suy ra x=2. Thay vào phương trình đầu cho y=1-2\cdot2=-3. Kiểm tra cả hai dòng: 2\cdot2-3=1 và 2+2(-3)=-4. Nghiệm duy nhất là (2,-3).
Phép khử cho một điều kiện mới 3x=6, nhưng vẫn cần giữ một phương trình để xác định y. Cặp (2,0) thỏa 3x=6 nhưng không thỏa hệ gốc; một phương trình hệ quả chưa thay được cả hệ.
Mỗi phương trình cho một đường thẳng. Giao điểm P có tọa độ (2,-3). Hai trục dùng thang đo được chỉ bởi các số, không dùng hình để thay cho kiểm tra đại số.
Phép khử cũng nhận ra không nghiệm và vô số nghiệm
Với hệ 2x+y=1,\ 4x+2y=2, phương trình sau là hai lần phương trình trước; mọi cặp (x,1-2x), x\in\mathbb R, đều là nghiệm. Hai đường thẳng trùng nhau.
Đổi riêng vế phải của phương trình sau thành 3, phép trừ cho 0=1, nên hệ vô nghiệm; hai đường thẳng song song khác nhau. Một phép khử ra số 0 chưa đủ kết luận: phải xem vế còn lại cũng bằng 0 hay khác 0.
10. Tự hỏi ở mỗi dấu suy ra
- Biểu thức bên trong trị tuyệt đối có dấu nào trên miền đang xét?
- Có vừa chia cho một thừa số có thể bằng 0 không?
- Miền ban đầu có bị mở rộng sau khử mẫu hoặc rút gọn không?
- Tham số nào làm hệ số cần chia bằng 0? Tham số nào làm nghiệm rơi vào giá trị cấm?
- Điều kiện đang nói về tổng có dấu, độ lớn của tổng hay tổng hai độ lớn?
- Sau khi khử một ẩn, còn phương trình nào được giữ để kiểm tra cặp nghiệm?
Điểm chung là khả năng đi ngược từng bước. Một kết quả chỉ trở thành lời giải đầy đủ khi điều kiện và phép kiểm tra cho thấy không mất nghiệm, không thêm nghiệm.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu