Tỉ lệ thể tích và tổng chiều cao: dựng lại khối nón ghép nửa cầu
Phân biệt tỉ lệ chiều cao với tỉ lệ thể tích, chứng minh công thức khôi phục kích thước và theo dõi điều gì thay đổi khi tăng cỡ khối.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Tỉ lệ thể tích và tổng chiều cao: dựng lại khối nón ghép nửa cầu
Phân biệt tỉ lệ chiều cao với tỉ lệ thể tích, chứng minh công thức khôi phục kích thước và theo dõi điều gì thay đổi khi tăng cỡ khối.
01. Hai phần cùng bán kính, hai cách đo tỉ lệ
Một khối gồm hình nón và nửa hình cầu có thể được mô tả bằng kích thước hoặc bằng tỉ lệ thể tích của từng phần. Hai kiểu dữ kiện này không giống nhau: phần chiếm một phần ba chiều cao chưa chắc chiếm một phần ba thể tích.
Ta xét hình nón tròn xoay bán kính đáy r>0, chiều cao h>0, ghép với nửa hình cầu bán kính r trên cùng mặt đáy tròn. Hai phần nằm ở hai phía mặt phẳng ghép, chung trục; nửa cầu nằm trên và đỉnh nón nằm dưới. Phần trong của chúng không chồng nhau.
Chiều cao toàn khối là H=h+r, vì chiều cao của một nửa hình cầu bằng bán kính. Gọi t là phần thể tích của nửa cầu trong toàn khối. Mục tiêu là xác định đúng miền của t, rồi dùng H,t để dựng lại duy nhất r,h.
02. Từ công thức thể tích đến tỉ lệ có nghĩa
Dùng công thức thể tích hình nón và hình cầu, ta có
V_{\text{nón}}=\frac{\pi r^2h}{3},\qquad
V_{\text{nửa cầu}}=\frac12\cdot\frac{4\pi r^3}{3}=\frac{2\pi r^3}{3}.
Mặt ghép có bề dày bằng 0, nên không có thể tích bị đếm hai lần. Thể tích toàn khối là
V=\frac{\pi r^2}{3}(h+2r).
Do r,h>0, thể tích hai phần đều dương. Vì thế tỉ lệ thể tích của nửa cầu là
\boxed{t=\frac{V_{\text{nửa cầu}}}{V}=\frac{2r}{h+2r}},\qquad0<t<1.
Ở tử có 2r, không phải r: hai công thức thể tích có hệ số khác nhau. Phần thể tích của hình nón là 1-t=h/(h+2r).
Để so với chiều cao, đặt z=r/H. Vì H=h+r, 0<z<1, và
t=\frac{2z}{1+z},\qquad
t-z=\frac{z(1-z)}{1+z}>0.
Nửa cầu luôn chiếm một tỉ lệ thể tích lớn hơn tỉ lệ của nó trong chiều cao toàn khối. Đây là một kết luận của mô hình, không phải cảm giác từ hình vẽ.
03. Biết tổng chiều cao và tỉ lệ thể tích: dựng duy nhất
Cho trước H>0 và 0<t<1. Thay h=H-r vào công thức tỉ lệ:
t=\frac{2r}{H+r}
\iff tH+tr=2r
\iff (2-t)r=tH.
Vì 2-t>1>0, ta được
\boxed{r=\frac{tH}{2-t},\qquad
h=\frac{2(1-t)H}{2-t}}.
Đây trước hết là điều kiện cần. Với chiều đủ, lấy đúng hai số ấy: cả hai dương, tổng bằng H. Dựng hình nón với bán kính r, chiều cao h, rồi ghép nửa cầu cùng bán kính ở phía đối diện đáy. Cách dựng được phép vì không có ràng buộc nào khác, và hai phần chỉ chung mặt đáy.
Thay ngược cho 2r/(h+2r)=t, nên tỉ lệ thật sự đúng. Mặt khác, phương trình bậc nhất (2-t)r=tH chỉ có một nghiệm; sau khi biết r, h=H-r cũng duy nhất. Như vậy miền H>0,0<t<1 vừa cần, vừa đủ cho một bộ kích thước không suy biến.
Vì sao các đầu mút không được lấy?
Nếu cho t=0 vào công thức dựng, ta nhận r=0. Cả hai thể tích đều bằng 0, nên tỉ số thể tích ban đầu không còn xác định. Nếu t=1, ta nhận h=0: chỉ còn nửa cầu, hình nón đã suy biến. Cả hai không thuộc mô hình có r,h>0. Nếu H\le0, cũng không thể là tổng của hai kích thước dương.
04. Ví dụ nguồn: giữ đúng đường kính và chiều cao
Khối trong bài nguồn gồm nửa hình cầu có đường kính 40 cm và hình nón cùng bán kính đáy, chiều cao 90 cm. Vì vậy r=20 cm, h=90 cm, tổng chiều cao H=110 cm.
V_{\text{nón}}=12000\pi\ \mathrm{cm}^3,\qquad
V_{\text{nửa cầu}}=\frac{16000\pi}{3}\ \mathrm{cm}^3,
V=\frac{52000\pi}{3}\ \mathrm{cm}^3.
Tỉ lệ thể tích của nửa cầu là t=16000/52000=4/13, còn tỉ lệ chiều cao là r/H=20/110=2/11. Hai phân số khác nhau như dự đoán của công thức.
Thiết diện qua trục dùng cùng tỉ lệ 1{,}6 điểm ảnh cho một cm. Đoạn 110 cm đi từ đỉnh trên của nửa cầu đến đỉnh dưới của hình nón; 90 cm chỉ là chiều cao nón.
Nếu đổi dữ kiện của chính khối này thành H=110 cm và t=4/13, công thức đảo cho
r=\frac{(4/13)110}{2-4/13}=20,\qquad
h=\frac{2(1-4/13)110}{2-4/13}=90.
Vậy tổng chiều cao và tỉ lệ thể tích đủ để khôi phục đúng kích thước, không cần đo trực tiếp bán kính.
05. Tỉ lệ xác định dáng, còn tổng chiều cao xác định cỡ
Từ hai công thức đảo,
\frac rh=\frac{t}{2(1-t)}.
Khi giữ t cố định, tỉ lệ bán kính và chiều cao nón không đổi. Nếu nhân H với k>0, cả r,h đều nhân với k, nên hai khối đồng dạng và thể tích nhân với k^3.
Có thể kiểm tra trực tiếp bằng công thức toàn khối theo dữ kiện mới:
\boxed{V=\frac{2\pi H^3t^2}{3(2-t)^3}}.
Trong khi đó, chỉ biết V chưa xác định hình. Ví dụ cùng thể tích nguồn 52000\pi/3, bộ mới r=10,h=500 cũng thỏa r^2(h+2r)=100\cdot520=52000. Nó có tổng chiều cao 510, khác hẳn 110. Đây là một mô hình mới với đầy đủ kích thước, chứng minh sự thiếu dữ kiện bằng phản ví dụ cụ thể.
Hai cách “tăng mười phần trăm”
Nếu tăng mọi kích thước dài của khối nguồn lên 10\%, ta có r'=22,h'=99,H'=121. Thể tích nhân với (11/10)^3=1331/1000, tức tăng 33{,}1\%; tỉ lệ t=4/13 vẫn giữ nguyên.
Nếu chỉ tăng chiều cao nón từ 90 lên 99, giữ r=20, thể tích nửa cầu không đổi. Phần nón chiếm 9/13 thể tích cũ nên mức tăng toàn khối chỉ bằng (1/10)(9/13)=9/130, khoảng 6{,}92\%. Khi ấy H'=119, và tỉ lệ nửa cầu đổi thành 40/(99+40)=40/139. Hai thao tác không giữ cùng dữ kiện, nên không thể dùng chung hệ số tăng thể tích.
06. Giữ tổng chiều cao: cận thể tích có đạt được không?
Giữ H>0, thay đổi t\in(0,1). Nếu 0<u<v<1, hiệu hai tỉ lệ bán kính là
\frac{v}{2-v}-\frac{u}{2-u}
=\frac{2(v-u)}{(2-u)(2-v)}>0.
Vậy t tăng thì r tăng, còn h=H-r giảm. Mặt khác,
V=\frac\pi3r^2(H+r),\qquad0<r<H.
Khi r tăng, cả r^2 và H+r đều dương và tăng, nên thể tích tăng nghiêm ngặt. Điều này cũng chứng minh tính duy nhất nếu biết thêm một thể tích thực sự đạt được trong họ giữ H.
Ta có 0<V<2\pi H^3/3. Cận trên không đạt vì cần r=H,h=0, đã bị loại. Hơn nữa, không có thể tích lớn nhất trong miền: với mỗi r<H, bán kính (r+H)/2 vẫn nhỏ hơn H và tạo thể tích lớn hơn.
Cận trên là sát. Chọn r=(1-\delta)H, 0<\delta<1, khi ấy h=\delta H>0, và
\frac{2\pi H^3}{3}-V
=\frac{\pi H^3}{3}(5\delta-4\delta^2+\delta^3)
<\frac{5\pi H^3}{3}\delta.
Với bất kì \varepsilon>0, chọn thêm \delta<3\varepsilon/(5\pi H^3) sẽ làm khoảng cách tới cận trên nhỏ hơn \varepsilon. Không được gọi cận ấy là giá trị lớn nhất nếu vẫn yêu cầu hình nón có chiều cao dương.
07. Tự kiểm tra
Thử 1. Tổng chiều cao là 12 cm, hai phần có thể tích bằng nhau. Tìm bán kính và chiều cao nón, rồi kiểm tra thể tích.
Xem lời giải và chiều đảo
t=1/2, nên r=4, h=8 cm. Nửa cầu có thể tích 128\pi/3; nón có thể tích \pi\cdot16\cdot8/3=128\pi/3. Tổng là 256\pi/3, và tổng chiều cao đúng 4+8=12.
Thử 2. Nếu r=h, nửa cầu chiếm bao nhiêu thể tích? Chiều đảo có đúng không?
Xem lời giải
t=2r/(r+2r)=2/3. Ngược lại, t=2/3 cho r/h=t/[2(1-t)]=1, nên r=h. Hai phần bằng nhau về chiều cao không có nghĩa thể tích bằng nhau; thể tích nửa cầu gấp đôi thể tích nón.
Thử 3. Giữ tỉ lệ thể tích như nguồn và muốn tổng thể tích gấp 27 lần. Tổng chiều cao phải gấp mấy lần?
Xem lời giải có tính duy nhất
Vì giữ t, thể tích tỉ lệ với H^3. Hệ số chiều cao k>0 phải thỏa k^3=27, nên k=3. Nghiệm dương duy nhất: nếu hai số dương khác nhau, hiệu lập phương bằng tích của hiệu với tổng a^2+ab+b^2>0, nên lập phương cũng khác nhau. Khối mới có H=330,r=60,h=270 cm.
Thử 4. Chỉ biết t=1/2, có xác định được bán kính bằng 4 cm không?
Xem lời giải
Không. Dữ kiện chỉ buộc h=2r, với mọi r>0. Ví dụ (r,h)=(4,8) và (5,10) đều có tỉ lệ nửa cầu bằng 1/2, nhưng kích thước và thể tích khác nhau. Cần thêm dữ kiện về cỡ, chẳng hạn tổng chiều cao, mới chọn được một khối duy nhất.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện