Quỹ tích: từ đường chứa đến tập vị trí thực sự
Học hai chiều của chứng minh quỹ tích, kiểm tra miền chuyển động và điểm biên; so sánh phép lấy trung điểm, hình chiếu trong hình chữ nhật và hình chiếu của…
TOÁN 9 · QUỸ TÍCH, HÌNH CHIẾU VÀ CHIỀU ĐẢO
Quỹ tích: từ đường chứa đến tập vị trí thực sự
Học hai chiều của chứng minh quỹ tích, kiểm tra miền chuyển động và điểm biên; so sánh phép lấy trung điểm, hình chiếu trong hình chữ nhật và hình chiếu của đường tròn.
1. Quỹ tích là tập vị trí đạt được, không chỉ một đường chứa
Một điểm H phụ thuộc vào điểm E đang chuyển động. Quỹ tích của H gồm tất cả và chỉ những vị trí mà phép dựng cho phép H đạt được. Vì vậy, tìm một đường thẳng đi qua mọi H chưa đủ để kết luận toàn bộ đường ấy là quỹ tích.
Hai chiều phải có.
- Chiều thuận: với mọi vị trí hợp lệ của điểm di động, chứng minh điểm cần tìm thuộc tập dự đoán.
- Chiều đảo: lấy một điểm tùy ý trong tập dự đoán, dựng lại một vị trí hợp lệ của điểm di động để tạo ra đúng điểm đó.
Còn một việc phải ghi rõ: điểm ở biên có được lấy không? Một điểm là giới hạn có thể tiến đến không nhất thiết là một vị trí được phép nhận.
Ví dụ ngắn: phép lấy trung điểm
Điểm M chạy trên tia Ox, kể cả O; H là trung điểm OM. Chiều thuận cho H thuộc tia Ox. Chiều đảo: với một điểm H bất kỳ trên tia, chọn M cùng tia sao cho OM=2OH. Khi H=O, chọn M=O. Vậy quỹ tích của H là toàn bộ tia Ox, kể cả gốc.
Dự đoán: nếu chỉ cho M\ne O, kết luận đổi thế nào? Thử dùng đúng cách dựng ngược, thay vì chỉ xóa một điểm theo cảm giác.
Giải thích
Khi M\ne O, OM>0 nên OH=OM/2>0. Gốc O không đạt được. Mọi H\ne O trên tia vẫn tạo được bằng OM=2OH, nên quỹ tích là tia bỏ gốc.
2. Đọc miền chuyển động trước khi đoán hình
Một phép dựng gồm hai lớp điều kiện. Lớp thứ nhất nói điểm đầu vào chạy ở đâu: đường thẳng, tia, đoạn hay đường tròn. Lớp thứ hai bảo đảm phép dựng có nghĩa: hai đường cần giao không song song, mẫu số không bằng 0, tam giác dùng trong đồng dạng không suy biến.
Hãy tách câu hỏi “điểm có nằm trên đường này không?” khỏi câu hỏi “điểm có chạy hết đường này không?”. Sau khi dự đoán, kiểm tra lần lượt:
- Vị trí bên trong có thật sự tạo được không?
- Hai đầu mút hoặc điểm bị loại có được phép dựng không?
- Khi tham số tăng không giới hạn, điểm kết quả bị chặn hay cũng đi xa?
Một phản ví dụ đủ bác bỏ tập quá rộng. Nếu đã chứng minh mọi H có hoành độ âm, không thể nói quỹ tích là cả một đường chứa các điểm có hoành độ dương. Muốn khẳng định một tập vừa đủ, vẫn phải chứng minh chiều đảo cho mọi điểm trong tập ấy.
3. Một cấu hình hình chữ nhật: từ điều kiện đến tia mở
Xét hình chữ nhật ABCD, AB>AD. Lấy E\ne B trên tia đối của BC. Qua D, kẻ đường thẳng vuông góc DE, cắt đường thẳng AB tại F. Gọi H là hình chiếu của D trên EF. Ta dùng cấu hình này để học cách tìm quỹ tích có kiểm tra cả hai chiều.
Hình được dựng đúng từ AD=2,AB=4,BE=3 chỉ để minh họa; các chứng minh dùng các độ dài tổng quát. F ở ngoài đoạn AB; hai đường vuông góc xác định đúng hình chiếu.
Đưa miền chuyển động vào một tham số
Đặt AD=a, AB=b, với b>a>0, và BE=t>0. Chọn gốc tại D, trục ngang theo DC, trục dọc theo DA. Khi đó A=(0,a),B=(b,a),C=(b,0),E=(b,a+t).
Hệ số góc của DE là (a+t)/b. Đường vuông góc qua D có hệ số góc -b/(a+t), nên khi cắt y=a:
F=\left(-\frac{a(a+t)}b,a\right).
Đặt R=a^2+b^2, T=R+at, U=b^2+(a+t)^2, đều dương. Hiệu tọa độ từ F đến E là (T/b,t). Do đó hệ số góc EF bằng bt/T, và phương trình đường ấy là:
bt\,x-Ty+aU=0.
Đường DH đi qua gốc, vuông góc EF, nên có hệ số góc -T/(bt). Điểm trên nó có dạng (x,y)=(-\lambda bt,\lambda T). Thế vào phương trình EF được \lambda(b^2t^2+T^2)=aU.
Vì T=R+at, ta có:
b^2t^2+T^2=R(R+2at+t^2)=RU.
Vậy \lambda=a/R, và hình chiếu là:
H=\left(-\frac{abt}{R},a+\frac{a^2t}{R}\right).
Đây là nghiệm giao của đúng hai đường: H\in EF và DH\perp EF, nên công thức xác định đúng hình chiếu.
Chiều thuận: đường nào, phần nào, có lấy đầu mút không?
Đường AC có phương trình y=a-(a/b)x. Tọa độ H thỏa phương trình ấy. Nhưng t>0 còn cho x_H<0, nên H nằm trên tia đối của AC, khác A . Đường thẳng AC là đường chứa cố định; toàn bộ đường ấy rộng hơn tập vị trí thực tế.
Chiều đảo: tạo được mọi điểm trên tia
Lấy tùy ý H_0=(x_0,y_0) trên tia đối của AC, khác A. Đặt s=-x_0/b>0. Vì H_0\in AC, ta có H_0=(-bs,a+as). Chọn:
t=\frac{sR}{a}>0.
Khi ấy E=(b,a+t) là một điểm hợp lệ. Công thức hình chiếu cho H=(-bs,a+as)=H_0. Mọi điểm trên tia đều tạo được.
Kết luận đầy đủ: với E\ne B, quỹ tích của H là tia đối của AC, bỏ A. Đó là kết quả của cả điều kiện t>0 lẫn cách dựng ngược, không chỉ của việc thẳng hàng.
Đường thẳng AC là đường chứa cố định. Với E\ne B, quỹ tích thực sự chỉ là tia đối của AC, bỏ A. Phần AC vẽ nét đứt không thuộc quỹ tích.
4. Hình chiếu của đường tròn: đường chứa là trục, quỹ tích là đoạn
Cho đường tròn tâm O, bán kính r>0, và đường thẳng d qua O. Điểm M chạy trên toàn bộ đường tròn; H là hình chiếu của M trên d. Gọi U,V là hai giao điểm của d với đường tròn. Tìm quỹ tích của H.
Đoạn xanh là tập vị trí của hình chiếu. Ở một điểm bên trong, đường vuông góc có hai giao điểm với đường tròn; ở mỗi đầu mút chỉ còn một.
Chiều thuận: một giới hạn độ dài
Nếu H=O, ta có ngay OH=0\le r. Nếu M\notin d và H\ne O, tam giác OHM không suy biến, vuông tại H; OM=r là cạnh huyền, nên OH<r. Nếu M\in d, hình chiếu là chính M, và OH=r. Trong mọi trường hợp, H nằm trong đoạn UV.
Chiều đảo: dựng điểm đầu vào từ hình chiếu mong muốn
Lấy H_0 bất kỳ trong đoạn UV. Đường thẳng qua H_0 vuông góc d cách tâm O một khoảng OH_0\le r, nên cắt hoặc tiếp xúc đường tròn. Chọn một giao điểm là M. Khi đó hình chiếu của M trên d chính là H_0.
Nếu H_0=O, chọn M trên đường vuông góc với d tại O, cách O đúng r; hình chiếu hiển nhiên là O. Với 0<OH_0<r, lấy H_0M=\sqrt{r^2-OH_0^2} ở một trong hai phía của d; tam giác vuông không suy biến và định lý Pythagore cho OM=r. Với H_0=U hoặc V, chọn M=H_0.
Quỹ tích là đoạn UV, có cả hai đầu mút. Chỉ nói “H nằm trên d” bỏ sót giới hạn OH\le r. Ví dụ này cũng cho thấy không phải mọi bài hình chiếu đều cho cùng dạng quỹ tích: miền chuyển động ban đầu quyết định kết quả.
Dự đoán: nếu chỉ cho M chạy trên nửa đường tròn nằm ở một phía của d, có lấy hai đầu mút, hình chiếu còn phủ hết đoạn UV không?
Giải thích
Có. Với mỗi điểm trong đoạn, trong hai giao điểm của đường vuông góc và đường tròn, chọn giao điểm thuộc nửa đường tròn được phép. Hai đầu mút vẫn đạt được. Miền đầu vào thu hẹp nhưng tập hình chiếu chưa chắc thu hẹp.
5. Đổi miền đầu vào: kiểm tra đầu mút và chiều đảo lần nữa
Giới hạn độ dài di chuyển trong cấu hình hình chữ nhật
Ở mô hình hình chữ nhật, thay t>0 bằng 0<t\le L, trong đó L>0 cho trước. Gọi H_L là vị trí khi t=L. Vì tọa độ H thay đổi theo cùng hệ số t, các vị trí là đoạn từ A đến H_L, bỏ A, có lấy H_L .
Chiều đảo vẫn cần kiểm tra: với một điểm trên đoạn ấy, viết nó ở dạng (-bs,a+as), trong đó 0<s\le aL/R. Chọn t=sR/a, ta được 0<t\le L, nên đầu vào thật sự hợp lệ.
Phân biệt điểm giới hạn và điểm được lấy
Khi t tiến về 0, H tiến về A. Nhưng với t>0, không có giá trị nào cho H=A. Nếu mở rộng phép dựng cho E=B, tức t=0, ta có H=A. Lúc ấy tập vị trí thêm gốc, thành tia đóng.
Vị trí biên có thể làm các tam giác phụ suy biến dù hình chiếu vẫn tồn tại. Hãy kiểm tra chính phép dựng đang xét, không tự động dùng một chứng minh đồng dạng ở vị trí có hai đỉnh trùng nhau.
Đổi miền trong mô hình đường tròn
Nếu M chạy trên đường tròn nhưng loại hai điểm U,V, quỹ tích của hình chiếu là đoạn UV bỏ hai đầu mút. Mọi điểm bên trong vẫn có hai giao điểm dựng ngược trên đường tròn; còn OH=r chỉ xảy ra khi M=H là một trong hai điểm bị loại.
6. Tự chuyển giao: từ điểm kết quả tìm lại điểm di động
Tạo một vị trí hình chiếu trong mô hình hình chữ nhật
Cho a=2,b=4. Muốn H=(-2,3), cần chọn BE bằng bao nhiêu?
Gợi ý
Từ H=(-bs,a+as), tìm s, rồi dùng t=s(a^2+b^2)/a. Kiểm tra cả hai tọa độ.
Lời giải
-2=-4s cho s=1/2; tung độ cũng đúng 3=2+2s. Vì R=20, chọn t=(1/2)\cdot20/2=5. Khi ấy E=(4,7) hợp lệ và công thức cho đúng H=(-2,3).
Tạo một hình chiếu trong mô hình đường tròn
Đường tròn có bán kính 5 cm. Chọn H_0\in d với OH_0=3 cm. Có bao nhiêu vị trí M trên toàn bộ đường tròn cho hình chiếu là H_0? Tính MH_0.
Lời giải
MH_0=\sqrt{5^2-3^2}=4 cm. Có hai vị trí ở hai phía của d. Nếu chỉ cho phép nửa đường tròn ở một phía, còn một vị trí. Nếu OH_0=6 cm thì không có vị trí nào vì điểm dự đoán nằm ngoài đoạn quỹ tích.
Bốn câu hỏi trước khi kết luận quỹ tích
- Miền của điểm di động là gì, có lấy các điểm biên không?
- Mọi vị trí hợp lệ đều cho điểm kết quả nằm trong tập dự đoán chưa?
- Với một điểm tùy ý trong tập dự đoán, có dựng được đầu vào hợp lệ không?
- Có đang nhầm “đường chứa” với “tập đạt được” không?
Câu chốt: chiều thuận loại các vị trí không thể có; chiều đảo bảo đảm không bỏ sót vị trí có thể có. Hai bước cùng nhau mới xác định đúng quỹ tích.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải