Ghép phân thức theo cặp: chứng minh cận sắc và giữ điều kiện
Dùng các bình phương để dựng phép chặn có thể ghép cặp, chứng minh dấu bằng và mở rộng sang một miền tham số xác định, kèm phản ví dụ ngoài miền ấy.
TOÁN 9 · BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐIỀU KIỆN DẤU BẰNG
Ghép phân thức theo cặp: chứng minh cận sắc và giữ điều kiện
Dùng các bình phương để dựng phép chặn có thể ghép cặp, chứng minh dấu bằng và mở rộng sang một miền tham số xác định, kèm phản ví dụ ngoài miền ấy.
1. Một cặp phân thức có thể mang thông tin hơn từng phân thức
Với X,Y\ge0 và X+Y>0, ta có
\frac{X}{X+Y}+\frac{Y}{X+Y}=1.
Từng phân thức thay đổi theo X,Y, nhưng tổng của cặp giữ nguyên. Khi cần chặn một tổng nhiều phân thức, một hướng hữu ích là tìm các phân thức phụ có thể ghép thành những cặp như vậy.
Ví dụ độc lập, lấy X=1,Y=4,Z=1. Ba cặp tương ứng với (X,Y),(Y,Z),(Z,X) lần lượt là 1/5+4/5, 4/5+1/5, 1/2+1/2. Sáu phân thức cộng lại bằng 3. Điều quan trọng không phải các số cụ thể, mà là hai tử số cộng lại đúng bằng mẫu chung của mỗi cặp.
Mỗi thanh có cùng độ dài toàn phần và được chia đúng tỉ lệ các phân thức, với X=1,Y=4,Z=1. Mỗi cặp có tổng một, nên sáu phần cộng lại bằng ba.
Dự đoán. Nếu có thể chặn mỗi phân thức ban đầu bằng một hằng số cộng hai phân thức phụ, rồi sáu phân thức phụ ghép thành ba cặp tổng bằng một, ta sẽ tránh phải tìm giá trị lớn nhất riêng lẻ của từng phân thức như thế nào?
Ta sẽ xây dựng một phép chặn như thế, chứng minh dấu bằng, rồi kiểm tra nó còn dùng được đến đâu khi mẫu số thay đổi. Mọi biến trong bài là số thực, trừ khi một ví dụ ghi rõ điều kiện dương.
2. Một bất đẳng thức hai phân thức đến từ một bình phương
Cho U,V>0 và a,b thực. Quy đồng cho đẳng thức
\frac{a^2}{U}+\frac{b^2}{V}-\frac{(a+b)^2}{U+V}
=\frac{(Va-Ub)^2}{UV(U+V)}\ge0.
Mẫu dương, tử là bình phương, nên
\boxed{\frac{a^2}{U}+\frac{b^2}{V}\ge\frac{(a+b)^2}{U+V}.}
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Va=Ub. Đây là một dạng hai số của bất đẳng thức Cauchy; đẳng thức bình phương ở trên cũng là chứng minh đầy đủ của nó.
Để kiểm tra, với a=1,b=2,U=2,V=5, vế trái là 1/2+4/5=13/10, vế phải là 9/7. Hiệu bằng 1/70>0, đúng với (5-4)^2/(2\cdot5\cdot7).
Chiều của bất đẳng thức này là chiều chặn dưới cho tổng hai phân thức. Muốn dùng nó để chặn trên biểu thức khác, phải chứng minh thêm quan hệ nối giữa hai biểu thức, không tự đổi chiều chỉ vì đang tìm giá trị lớn nhất.
3. Dựng một phép chặn có thể ghép theo chu kì
Đặt S=x^2+y^2+z^2>0. Từ (x-y)^2\ge0 và (x+y)^2\ge0, suy ra
-\frac S2\le xy\le\frac S2.
Vì thế S-xy\ge S/2>0 và S+xy\ge S/2>0; các mẫu tương tự theo vòng (x,y,z) đều dương.
Tạm xét trường hợp có ít nhất hai biến khác không. Khi ấy mỗi tổng x^2+y^2,x^2+z^2,y^2+z^2 đều dương. Áp dụng công cụ phần 2 với a=x,b=y,U=x^2+z^2,V=y^2+z^2:
\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}
\ge\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2z^2}.
Còn một bước nối có thể kiểm tra bằng khai triển:
\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+2z^2}-\frac{2xy}{S-xy}
=\frac{(x-y)^2(S+xy)}{(x^2+y^2+2z^2)(S-xy)}\ge0.
Mọi thừa số ở mẫu dương, S+xy>0, nên dấu bằng trong bước này tương đương x=y. Nếu x=y, hai mẫu của bước Cauchy trước bằng nhau và bước ấy cũng đạt dấu bằng. Kết hợp hai bước:
\boxed{\frac{2xy}{S-xy}\le\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2},}
với dấu bằng khi và chỉ khi x=y. Lập luận đúng cả khi hai biến mang dấu khác nhau: ta chỉ nhân hoặc chia với mẫu đã chứng minh dương, không giả sử xy>0.
4. Tổng các cặp cho một cận sắc
Tách phân thức theo cách tạo được công cụ vừa chứng minh:
\frac1{S-xy}=\frac1S+\frac{xy}{S(S-xy)}.
Nhân bất đẳng thức phần 3 với 1/(2S)>0, ta được
\frac1{S-xy}\le\frac1S+\frac1{2S}
\left(\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}\right).
Viết thêm hai bất đẳng thức bằng cách đổi vai (x,y,z) thành (y,z,x), rồi (z,x,y). Sáu phân thức phụ ghép thành
\left(\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}\right)
+\left(\frac{y^2}{y^2+z^2}+\frac{z^2}{y^2+z^2}\right)
+\left(\frac{z^2}{z^2+x^2}+\frac{x^2}{z^2+x^2}\right)=3.
Do đó
\boxed{\frac1{S-xy}+\frac1{S-yz}+\frac1{S-zx}\le\frac9{2S}.}
Trường hợp các mẫu phụ có thể bằng không
Nếu chỉ có một biến khác không, cả ba tích xy,yz,zx bằng không. Tổng ban đầu là 3/S<9/(2S). Ta kiểm tra riêng trường hợp này, không gán giá trị cho phân thức phụ có tử và mẫu cùng bằng không. Cả ba biến bằng không đã bị loại bởi S>0.
Dấu bằng phải đồng thời xảy ra
Trong trường hợp chính, ba phép chặn đạt dấu bằng đồng thời khi và chỉ khi x=y, y=z, z=x. Vì S>0, đó là x=y=z\ne0. Ngược lại, nếu ba biến cùng bằng t\ne0, thì S=3t^2, mỗi mẫu là 2t^2, và tổng bằng 3/(2t^2)=9/(2S). Cận vừa được chứng minh, vừa có cấu hình đạt được.
5. Ứng dụng chọn lọc vào điều kiện nguồn
Với x,y,z thực thỏa x^2+y^2+z^2=2, xét biểu thức nguồn
P=\frac1{2-xy}+\frac1{2-yz}+\frac1{2-zx}.
Mỗi mẫu ít nhất bằng 1, nên biểu thức xác định trên toàn bộ miền đã nêu. Áp dụng kết quả tổng quát với S=2:
\boxed{P\le\frac94.}
Dấu bằng buộc x=y=z và 3x^2=2. Trên miền số thực, có hai bộ đạt giá trị lớn nhất:
x=y=z=\sqrt{\frac23}\qquad\text{hoặc}\qquad x=y=z=-\sqrt{\frac23}.
Nếu bổ sung yêu cầu các biến dương, chỉ còn bộ thứ nhất. Mẫu ở cả hai bộ là 2-2/3=4/3, nên mỗi phân thức bằng 3/4, tổng đúng 9/4.
Không dùng câu “biểu thức đối xứng nên lấy ba biến bằng nhau” làm chứng minh. Tính đối xứng gợi ý nơi thử dấu bằng; chuỗi bất đẳng thức mới bảo đảm không có một bộ khác cho giá trị lớn hơn.
Tìm cận lớn nhất từng phân thức rồi cộng có sắc không?
Vì xy\le1, ta có 1/(2-xy)\le1, tương tự cho hai phân thức còn lại. Cộng chỉ cho P\le3, yếu hơn 9/4. Dấu bằng của phân thức đầu đòi xy=1; từ x^2+y^2+z^2=2, ta có (x-y)^2+z^2=2-2xy=0. Hai số không âm có tổng bằng không nên x=y, z=0, rồi xy=1 cho x=y=1 hoặc x=y=-1. Khi ấy hai phân thức còn lại chỉ bằng 1/2. Các cận riêng không thể đạt đồng thời.
6. Đổi mẫu bằng tham số: một miền mà cận vẫn chứng minh được
Giữ x^2+y^2+z^2=2, nhưng xét
P_k=\frac1{k-xy}+\frac1{k-yz}+\frac1{k-zx},\qquad k\ge2.
Các mẫu dương vì xy,yz,zx\le1<k. Ta sẽ chứng minh cận sắc
\boxed{P_k\le\frac9{3k-2}\qquad(k\ge2).}
Trường hợp k=2 đã được chứng minh. Với k>2, đặt d=k-2>0 và
q_1=\frac1{2-xy},\quad q_2=\frac1{2-yz},\quad q_3=\frac1{2-zx},\qquad Q=q_1+q_2+q_3\le\frac94.
Các q_i đều dương. Mỗi phân thức mới bằng q_i/(1+dq_i). Để chặn tổng của chúng, ta cần một bất đẳng thức ba số cũng đến từ các bình phương.
Một công cụ ba mẫu dương
Với U,V,W>0, khai triển và ghép từng cặp cho
(U+V+W)\left(\frac1U+\frac1V+\frac1W\right)-9
=\frac{(U-V)^2}{UV}+\frac{(V-W)^2}{VW}+\frac{(W-U)^2}{WU}\ge0.
Suy ra 1/U+1/V+1/W\ge9/(U+V+W), với dấu bằng khi và chỉ khi U=V=W. Áp dụng vào U=1+dq_1,V=1+dq_2,W=1+dq_3:
\frac1{1+dq_1}+\frac1{1+dq_2}+\frac1{1+dq_3}\ge\frac9{3+dQ}.
Vì q_i/(1+dq_i)=(1-1/(1+dq_i))/d, lấy 3 trừ hai vế rồi chia d>0 đổi chặn dưới thành chặn trên:
P_k\le\frac1d\left(3-\frac9{3+dQ}\right)=\frac{3Q}{3+dQ}.
Hàm cuối tăng theo Q>0. Không cần đạo hàm: với 0<Q_1<Q_2, hiệu hai giá trị là
\frac{3Q_2}{3+dQ_2}-\frac{3Q_1}{3+dQ_1}
=\frac{9(Q_2-Q_1)}{(3+dQ_1)(3+dQ_2)}>0.
Do Q\le9/4,
P_k\le\frac{3\cdot(9/4)}{3+d(9/4)}=\frac9{3k-2}.
Dấu bằng của bước cuối buộc Q=9/4, nên x=y=z=\pm\sqrt{2/3}. Ở các bộ ấy, q_1=q_2=q_3=3/4, công cụ ba mẫu cũng đạt dấu bằng. Vậy đây thật sự là giá trị lớn nhất cho mọi k\ge2, không chỉ là một cận trên.
Đường cong biểu diễn giá trị lớn nhất 9/(3k-2) trong miền k\ge2 đã chứng minh. Mọi điểm trên đường đều đạt tại bộ ba bằng nhau; hình không mở rộng kết luận sang 1<k<2.
7. Mẫu dương chưa đủ để giữ nguyên công thức cực đại
Điều kiện k>1 đã đủ làm ba mẫu k-xy,k-yz,k-zx dương. Nhưng chứng minh phần 6 dùng d=k-2>0. Không được áp dụng nguyên chuỗi ấy khi 1<k<2.
Một phản ví dụ chính xác: chọn k=6/5 và (x,y,z)=(1,1,0). Điều kiện tổng bình phương vẫn bằng 2, các mẫu đều dương, nhưng
P_{6/5}=\frac1{1/5}+\frac2{6/5}=\frac{20}{3}>\frac{45}{8}=\frac9{3(6/5)-2}.
Vì thế công thức cận ở phần 6 không đúng cho mọi k>1. Bài học chỉ khẳng định và chứng minh trọn miền k\ge2; xác định cực đại trong toàn miền còn lại là một bài toán khác.
Nếu chỉ cho ba biến dương thì phản ví dụ còn tồn tại không?
Có. Vẫn k=6/5, chọn
x=y=\sqrt{\frac{99}{100}},\qquad z=\sqrt{\frac1{50}}.
Tổng bình phương là 99/100+99/100+1/50=2, và xy=99/100, nên phân thức đầu bằng 100/21. Hai tích còn lại dương, làm mỗi mẫu nhỏ hơn 6/5 nhưng vẫn dương. Vì thế mỗi phân thức còn lại lớn hơn 5/6, và
P_{6/5}>\frac{100}{21}+\frac53=\frac{45}{7}>\frac{45}{8}.
Không thể sửa khẳng định sai bằng cách chỉ loại các bộ có biến bằng không.
8. Chuyển công cụ sang điều kiện mới
Thử trước. Mẫu phụ có dương không? Những cặp nào cộng thành một? Dấu bằng của mọi bước có cùng xảy ra được không? Tham số thay đổi có làm đổi dấu thừa số dùng trong chứng minh không?
Tổng bình phương bằng 12, mẫu là 12 trừ tích từng cặp
Với x^2+y^2+z^2=12, kết quả tổng quát cho
\frac1{12-xy}+\frac1{12-yz}+\frac1{12-zx}\le\frac9{24}=\frac38.
Dấu bằng khi x=y=z=2 hoặc cả ba bằng -2. Mỗi mẫu là 8, nên tổng đúng 3/8. Đây không phải thay số 2 ở một chỗ riêng lẻ: điều kiện và cả ba mẫu cùng dùng S=12.
Giữ tổng bình phương bằng 2, thay mẫu bằng 3 trừ tích
Đây là k=3\ge2, nên giá trị lớn nhất là 9/7. Ở bộ bằng nhau, mỗi tích 2/3, mỗi mẫu 7/3, mỗi phân thức 3/7; tổng bằng 9/7. Điều kiện đẳng thức không thay đổi khi k thay đổi trong miền đã chứng minh.
Nếu hai biến bằng không, tại sao không ghép phân thức phụ?
Chẳng hạn x=\sqrt2,y=z=0, tổng nguồn bằng 3/2. Nhưng phân thức phụ y^2/(y^2+z^2) không xác định. Phải tính trực tiếp trường hợp ấy như phần 4; không đặt giá trị bằng không cho một phân thức có mẫu bằng không.
Phóng cả ba biến lên cùng một hệ số khác không
Nếu thay (x,y,z) bằng (cx,cy,cz), với c\ne0, thì S và mỗi tích đôi cùng nhân c^2. Tổng ba nghịch đảo chia cho c^2, cận 9/(2S) cũng chia cho c^2. Sự đồng nhất về tỉ lệ này giải thích vì sao công cụ có dạng tổng quát theo S.
Một cận sắc cần nhiều hơn việc cộng các cận riêng: hãy tìm cách ghép để dùng chung điều kiện, chứng minh các mẫu hợp lệ, và theo dõi dấu bằng qua toàn bộ chuỗi. Khi thay tham số, kiểm tra lại phép biến đổi đã dựa vào dấu nào trước khi giữ nguyên kết luận.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu