Một điểm trong góc vuông: có bao nhiêu đường tròn tiếp xúc?
Dựng đầy đủ họ đường tròn trong một góc vuông, đếm các bán kính đi qua một điểm và chứng minh khi nào hai đường tròn của họ có điểm chung.
TOÁN 9 · TIẾP TUYẾN VÀ BÀI TOÁN DỰNG NGƯỢC
Một điểm trong góc vuông: có bao nhiêu đường tròn tiếp xúc?
Dựng đầy đủ họ đường tròn trong một góc vuông, đếm các bán kính đi qua một điểm và chứng minh khi nào hai đường tròn của họ có điểm chung.
1. Hai tiếp tuyến định hướng tâm, nhưng chưa chọn được bán kính
Cho đường tròn tâm O, bán kính R>0, và điểm C ở ngoài đường tròn. Hai tiếp tuyến từ C tiếp xúc tại hai điểm phân biệt A,M. Các bán kính tới tiếp điểm vuông góc tiếp tuyến: OA\perp CA, OM\perp CM.
Hai tam giác vuông COA,COM có cạnh huyền chung CO, một cạnh góc vuông bằng nhau OA=OM=R, nên bằng nhau. Suy ra CA=CM và \angle ACO=\angle OCM. Tâm nằm trong góc tạo bởi hai tia tiếp tuyến, nên CO là tia phân giác trong của \angle ACM. Đây là nguyên tắc hai tiếp tuyến được dùng trong cấu hình nguồn.
Đổi chiều câu hỏi: nếu giữ hai tia mà chưa biết đường tròn, tâm có thể nằm ở nhiều vị trí trên phân giác. Một điểm cần đi qua liệu có chọn được đúng một đường tròn không? Bài học giải trọn câu hỏi đó trong một cấu hình độc lập có góc vuông , với mọi điểm và điều kiện được xác định dưới đây.
Dự đoán. Một đường tròn nằm trong góc vuông, tiếp xúc cả hai cạnh của góc và đi qua một điểm ở trong góc. Có thể có hai đường tròn khác nhau cùng đáp ứng không?
2. Mô tả tất cả đường tròn được phép
Trên hệ trục vuông góc, lấy hai tia dương Ox,Oy. Miền góc vuông gồm các điểm có x\ge0,y\ge0. Ta chỉ xét đường tròn bán kính r>0 sao cho cả hình tròn nằm trong miền ấy và tiếp xúc với cả hai tia. Tâm gọi là I.
Gọi tọa độ tâm là I=(u,v). Do hình tròn nằm trong miền, tâm ở phía không âm của mỗi trục. Khoảng cách từ tâm đến trục hoành là v, đến trục tung là u. Tiếp xúc với mỗi trục buộc khoảng cách bằng bán kính, nên
\boxed{I=(r,r),\qquad r>0.}
Hai tiếp điểm là A=(r,0), B=(0,r), thật sự nằm trên các tia dương. Tâm thuộc phân giác y=x, và OA=OB=r.
Chiều đảo: mọi bán kính dương đều dựng được
Với bất kì r>0, dựng đường tròn tâm (r,r), bán kính r. Một điểm (x,y) trong hình tròn thỏa
(x-r)^2+(y-r)^2\le r^2.
Suy ra |x-r|\le r, |y-r|\le r, nên x,y\ge0. Hình tròn nằm trọn trong góc. Trên trục hoành, phương trình đường tròn trở thành (x-r)^2=0, chỉ có tiếp điểm (r,0); tương tự cho trục tung. Vì thế cách mô tả trên vừa cần vừa đủ.
Chỉ nói “tiếp xúc hai đường thẳng” sẽ cho thêm các đường tròn ở những góc khác. Chẳng hạn tâm (-r,r), bán kính r>0, tiếp xúc cả hai trục nhưng không nằm trong góc đang chọn. Điều kiện về miền và về tia là một phần của bài toán.
3. Thêm một điểm: phương trình nào phải thỏa?
Cho điểm cố định P=(p,q). Đường tròn trong họ đi qua P khi và chỉ khi khoảng cách từ I=(r,r) tới P bằng r. Dùng Pythagore:
(p-r)^2+(q-r)^2=r^2.
Khai triển và thu gọn cho
r^2-2(p+q)r+p^2+q^2=0,
hay
\boxed{(r-p-q)^2=2pq.}
Đây là điều kiện đi qua điểm. Sau khi giải, vẫn phải giữ r>0 và kiểm tra miền của P. Ngược lại, mỗi nghiệm r>0 của phương trình tạo một đường tròn hợp lệ theo phần 2, và phép biến đổi ngược cho IP=r. Không có nghiệm đại số hợp lệ nào bị bỏ sót, cũng không có một đường tròn khác ngoài danh sách bán kính ấy.
4. Đếm đủ: không, một hay hai đường tròn?
Điểm ở trong góc
Nếu p>0,q>0, hai nghiệm là
\boxed{r_-=p+q-\sqrt{2pq},\qquad r_+=p+q+\sqrt{2pq}.}
Chúng khác nhau vì 2pq>0. Cả hai đều dương: p+q>0 và
(p+q)^2-2pq=p^2+q^2>0,
nên p+q>\sqrt{2pq}. Mỗi nghiệm tạo một đường tròn khác nhau. Vậy mỗi điểm ở trong góc thuộc đúng hai đường tròn của họ .
Điểm trên một cạnh, khác đỉnh
Nếu p>0,q=0, phương trình là (r-p)^2=0. Có đúng một bán kính r=p>0, và P=(p,0) chính là tiếp điểm với trục hoành. Tương tự, nếu p=0,q>0, có đúng một đường tròn bán kính q.
Đỉnh góc và điểm ngoài miền
Tại P=O=(0,0), phương trình chỉ cho r=0, trái với yêu cầu bán kính dương. Không có đường tròn nào của họ đi qua đỉnh. Nếu p<0 hoặc q<0, điểm nằm ngoài miền chứa toàn bộ mỗi hình tròn, nên cũng không có đường tròn nào.
Hai đường tròn khi p,q>0; một khi đúng một tọa độ bằng không và tọa độ kia dương; không khi ở đỉnh hoặc ngoài miền. Đây là phân loại đầy đủ cho mọi điểm thực (p,q).
Vì sao tâm thuộc phân giác vẫn chưa xác định được đường tròn?
Mọi r>0 cho một tâm (r,r) trên phân giác và một đường tròn hợp lệ. Thêm điểm P ở trong góc thường vẫn cho hai bán kính. Phân giác xác định hướng của tâm; điều kiện đi qua điểm mới tạo phương trình chọn bán kính.
5. Hai đường tròn ấy còn gặp nhau ở đâu?
Ví dụ độc lập: P=(1,2). Công thức cho
r_-=3-\sqrt4=1,\qquad r_+=3+\sqrt4=5.
Hai tâm là S=(1,1), L=(5,5). Với đường tròn nhỏ, SP=1; với đường tròn lớn, LP=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5. Cả hai thật sự đi qua điểm đã cho.
Hai trục dùng cùng tỉ lệ. Các tiếp điểm nằm trên hai tia; P=(1,2),Q=(2,1). Hai tâm S,L thuộc đường phân giác nét đứt.
Do tâm của mọi đường tròn trong họ thuộc đường y=x, đổi chỗ hai tọa độ trong phương trình không làm thay đổi nó. Vì thế, nếu P=(p,q) là điểm chung thì P'=(q,p) cũng là điểm chung. Có còn điểm chung nào khác không?
Gọi hai bán kính là r_-<r_+, và (x,y) là điểm chung. Trừ hai phương trình đường tròn, rồi chia cho r_+-r_-\ne0, được
x+y=\frac{r_-+r_+}{2}=p+q.
Thay lại một phương trình cho x^2+y^2=r_-r_+=p^2+q^2. Do đó xy=pq. Thay y=p+q-x vào tích cho
x^2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q)=0.
Vậy điểm chung chỉ có thể là (p,q) hoặc (q,p). Cả hai đã được kiểm tra bằng tính đối xứng, nên danh sách đầy đủ.
Khi điểm nằm trên phân giác
Nếu p=q>0, hai điểm chung vừa nêu trùng nhau, nhưng hai đường tròn vẫn khác nhau . Lúc này
r_\pm=(2\pm\sqrt2)p.
Khoảng cách hai tâm là \sqrt2(r_+-r_-)=4p, bằng r_-+r_+=4p. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại P. Một điểm chung duy nhất không đồng nghĩa với chỉ một đường tròn thỏa yêu cầu.
6. Đổi chiều: hai bán kính nào có một điểm chung?
Giữ hai đường tròn trong họ với bán kính 0<r<R. Ta muốn biết có điểm P cùng thuộc cả hai hay không. Lập luận trừ phương trình cho mọi điểm chung:
p+q=\frac{r+R}{2},\qquad p^2+q^2=rR.
Suy ra
(p-q)^2=2rR-\frac{(r+R)^2}{4}=\frac{6rR-r^2-R^2}{4}.
Vế trái không âm, nên điều kiện cần là 6rR-r^2-R^2\ge0. Điều kiện này cũng đủ. Đặt D=6rR-r^2-R^2\ge0, rồi dựng
\boxed{p=\frac{r+R+\sqrt D}{4},\qquad q=\frac{r+R-\sqrt D}{4}.}
Hai số dương: r+R>0 và (r+R)^2-D=2(R-r)^2>0, nên r+R>\sqrt D. Tính lại cho đúng tổng và tổng bình phương phía trên. Vì thế
(p-r)^2+(q-r)^2=rR-r(r+R)+2r^2=r^2,
và tương tự với R. Điểm dựng được thuộc cả hai đường tròn. Đổi chỗ p,q cho điểm thứ hai nếu D>0; nếu D=0, chỉ có một điểm trên phân giác.
Một giới hạn chỉ phụ thuộc tỉ số bán kính
Chia điều kiện cho r^2>0, đặt t=R/r>1. Ta được
t^2-6t+1\le0\quad\Longleftrightarrow\quad(t-3)^2\le8.
Vì 3-2\sqrt2<1<t, điều kiện tương đương
\boxed{1<\frac Rr\le3+2\sqrt2.}
Nhỏ hơn cận trên cho hai điểm chung; bằng cận cho một điểm tiếp xúc; vượt cận thì không có điểm chung. Với r=1,R=5, D=4, công thức dựng cho (p,q)=(2,1) và (1,2), khớp ví dụ trước.
Ví dụ độc lập với r=1,R=9, cùng tỉ lệ hai trục. Khoảng cách tâm là 8\sqrt2, lớn hơn tổng bán kính 10 vì 128>100. Đoạn màu cam chỉ khoảng hở thật giữa hai đường tròn.
Trường hợp r=R đã bị loại khỏi phép chia cho hiệu bán kính. Khi hai bán kính bằng nhau, hai tâm cũng bằng nhau, nên hai đường tròn trùng nhau và có toàn bộ đường tròn chung. Không áp dụng kết luận “một hoặc hai điểm” cho trường hợp đó.
7. Kiểm tra bằng hình học, không chỉ bằng nghiệm
Hai tâm (r,r), (R,R) cách nhau d=\sqrt2(R-r). Nếu hai đường tròn có điểm chung P, bất đẳng thức tam giác cho d\le r+R. Bình phương hai vế không âm cho
2(R-r)^2\le(R+r)^2\quad\Longleftrightarrow\quad R^2-6rR+r^2\le0.
Đó chính là điều kiện vừa tìm bằng tọa độ. Chiều tồn tại không chỉ dựa vào hình vẽ: phần trước đã dựng rõ điểm chung khi điều kiện thỏa. Khi bằng nhau, đường gấp khúc qua điểm chung có độ dài bằng đoạn nối tâm, nên các điểm thẳng hàng và hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
Ví dụ r=1,R=6 cho d=5\sqrt2>7=r+R, vì 50>49. Cả hai đường tròn đều tiếp xúc hai cạnh góc, nhưng không gặp nhau. Tính chất cùng tiếp xúc hai đường thẳng không bảo đảm hai đường tròn có điểm chung.
8. Dựng ngược và kiểm tra trường hợp biên
Thử trước. Đừng chỉ viết hai nghiệm có dấu cộng, trừ. Hãy kiểm tra chúng dương, khác nhau và tạo đúng hình trong miền đã chọn.
Điểm có tọa độ 3 và 6 cho các bán kính nào?
Ta có p+q=9, \sqrt{2pq}=6, nên bán kính là 3 và 15. Đây cũng là hình P=(1,2) được phóng đại ba lần: tâm, bán kính và mọi khoảng cách đều nhân ba. Điểm chung còn lại là (6,3).
Một điểm trên cạnh cách đỉnh 4 có hai nghiệm trùng nhau: đếm thế nào?
Chọn P=(4,0). Phương trình (r-4)^2=0 chỉ cho một bán kính 4, tâm (4,4). Hai dấu trong công thức cùng cho một giá trị; chỉ có một đường tròn. Điều này khác với điểm (p,p), p>0, nơi hai bán kính vẫn khác nhau nhưng hai đường tròn chỉ chung một điểm.
Hai bán kính 2 và 10 có những điểm chung nào?
Ở đây D=6\cdot2\cdot10-2^2-10^2=16, nên hai điểm là ((12+4)/4,(12-4)/4)=(4,2) và (2,4). Kiểm tra với tâm nhỏ (2,2) cho khoảng cách 2; với tâm lớn (10,10), khoảng cách là \sqrt{6^2+8^2}=10.
Vì sao không nhận bán kính bằng không tại đỉnh?
Với P=(0,0), phương trình cho r=0, nhưng hình co thành một điểm, không còn đường tròn bán kính dương hay hai tiếp điểm như đã định nghĩa. Điều kiện ban đầu loại nghiệm này. Một nghiệm đại số không tự động tạo một cấu hình hình học hợp lệ.
Giải bài dựng hình ngược cần cả hai chiều: từ hình hợp lệ suy ra phương trình, rồi từ nghiệm thỏa điều kiện dựng lại hình. Việc đếm hình còn đòi hỏi phân biệt nghiệm trùng, điểm trùng, đường tròn trùng và bán kính bằng không.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu