Máy, thời gian và chi phí: giải phương trình hay tìm tối ưu?
Lập đúng chi phí theo giờ và theo máy, lọc nghiệm nguyên, rồi chứng minh số máy tối ưu và kiểm tra mô hình khi sản phẩm phải được làm trọn vẹn.
TOÁN THCS · MÔ HÌNH CHI PHÍ VÀ TỐI ƯU TRÊN SỐ NGUYÊN
Máy, thời gian và chi phí: giải phương trình hay tìm tối ưu?
Lập đúng chi phí theo giờ và theo máy, lọc nghiệm nguyên, rồi chứng minh số máy tối ưu và kiểm tra mô hình khi sản phẩm phải được làm trọn vẹn.
1. Chi phí tăng theo số máy, nhưng cũng giảm theo thời gian
Một đơn hàng cần 4000 sản phẩm. Mỗi máy có năng suất 50 sản phẩm mỗi giờ; các máy hoạt động song song. Chi phí lao động cho toàn bộ ca sản xuất là 600 nghìn đồng mỗi giờ. Bảo trì cho mỗi máy được dùng trong đơn hàng là 400 nghìn đồng, tính một lần. Tổng chi phí bằng 11\,920 nghìn đồng. Hỏi dùng bao nhiêu máy?
Mô hình ban đầu giả sử năng suất cộng được, không có thời gian chuẩn bị, không có chi phí khác; tiền công tính theo thời gian thực, chưa làm tròn giờ. Ta trước hết dùng mô hình sản lượng liên tục, có thể phân chia khối lượng công việc linh hoạt. Ở cuối bài sẽ kiểm tra riêng trường hợp mỗi sản phẩm phải được một máy làm trọn vẹn.
Dự đoán: Thêm máy làm đơn hàng xong nhanh hơn. Điều đó có buộc tổng chi phí giảm không, khi mỗi máy thêm vào cũng phải bảo trì?
2. Mỗi hạng chi phí phải nhân với đúng đại lượng
Gọi n là số máy, n nguyên dương. Năng suất chung là 50n sản phẩm mỗi giờ, nên thời gian hoàn thành theo mô hình là
t=\frac{4000}{50n}=\frac{80}{n}\text{ giờ}.
Chi phí lao động tính cho cả ca: 600t nghìn đồng. Chi phí bảo trì tính theo số máy: 400n nghìn đồng. Tổng là
C(n)=600\cdot\frac{80}{n}+400n=\frac{48\,000}{n}+400n,\qquad n\in\mathbb N,\ n\ge1.
Hạng 48\,000/n giảm khi tăng số máy, còn hạng 400n tăng. Cả hai đều có đơn vị nghìn đồng.
Nhân chi phí lao động thêm với n sẽ đổi giả thiết thành “600 nghìn cho mỗi máy mỗi giờ”. Nhân chi phí bảo trì với thời gian sẽ đổi giả thiết thành “400 nghìn cho mỗi máy mỗi giờ”. Đây là những mô hình khác, không phải những cách biến đổi tương đương của bài đang xét.
3. Tìm số máy khi tổng tiền đã được cho
Điều kiện tổng tiền cho phương trình
\frac{48\,000}{n}+400n=11\,920.
Vì n>0, nhân hai vế với n không làm thay đổi tập nghiệm trong miền này. Chia cả phương trình thu được cho 80:
5n^2-149n+600=0,(n-25)(5n-24)=0.
Hai nghiệm đại số là n=25 và n=24/5=4{,}8. Cả hai đều dương, nhưng số máy phải nguyên, nên chỉ nhận 25 máy .
Kiểm tra bằng câu chuyện sản xuất
t=\frac{80}{25}=\frac{16}{5}=3{,}2\text{ giờ}=3\text{ giờ }12\text{ phút}.C_{\text{lao động}}=600\cdot3{,}2=1920,\qquad C_{\text{bảo trì}}=400\cdot25=10\,000.
Tổng 1920+10\,000=11\,920 nghìn đồng, tức 11\,920\,000 đồng. Mỗi máy làm 4000/25=160 sản phẩm, nên kết quả này còn phù hợp cả khi sản phẩm không được chia nhỏ giữa máy.
Nghiệm 4{,}8 không bị loại vì tiền hoặc thời gian âm. Nó bị loại duy nhất ở đây vì không phải số nguyên máy. Thay vào mô hình liên tục, chi phí lao động là 10\,000, bảo trì 1920, tổng vẫn đúng; hai thành phần đổi vai trò.
4. Một mức chi phí có thể ứng với hai số máy
Với hai số máy dương u,v, hiệu chi phí có dạng
C(v)-C(u)=400(v-u)\left(1-\frac{120}{uv}\right).
Nếu u\ne v, hai giá trị chi phí bằng nhau khi và chỉ khi uv=120. Hai nghiệm liên tục 25 và 4{,}8 có tích đúng 120. Có cả ví dụ hai số nguyên:
C(10)=4800+4000=8800,C(12)=4000+4800=8800.
Vì vậy không thể kết luận “biết tổng tiền thì luôn biết duy nhất số máy” nếu chưa giải phương trình và lọc miền. Trong bài gốc, duy nhất là kết quả của điều kiện nguyên kết hợp với mức tiền cụ thể.
Trục đứng được cắt từ 8000 nghìn đồng; hình chỉ hiển thị số máy từ 4 đến 30. Đường cong dùng biến thực để nhìn cấu trúc, còn các chấm nhỏ ứng với số máy nguyên. Điểm 4,8 để trống vì không phải số máy hợp lệ.
5. Tìm đúng chi phí không phải tìm chi phí nhỏ nhất
Đổi câu hỏi: bỏ điều kiện tổng tiền 11\,920, hãy chọn số máy nguyên dương để C(n) nhỏ nhất trong cùng mô hình. Không có giới hạn số máy hoặc hạn giao hàng thêm trong câu hỏi mới.
Nếu tạm cho số máy là một biến thực dương, bất đẳng thức
\frac{(n-\sqrt{120})^2}{n}\ge0
cho n+120/n\ge2\sqrt{120}, nên
C(n)=400\left(n+\frac{120}{n}\right)\ge1600\sqrt{30}.
Dấu bằng đòi hỏi n=\sqrt{120}=2\sqrt{30}\approx10{,}95. Đây là một mốc so sánh liên tục, không phải số máy hợp lệ.
Chứng minh cực tiểu trên các số nguyên
So sánh hai số máy liên tiếp:
C(n+1)-C(n)=400-\frac{48\,000}{n(n+1)}.
- Với 1\le n\le10, ta có n(n+1)\le110<120, nên hiệu âm: thêm một máy làm chi phí giảm.
- Với n\ge11, ta có n(n+1)\ge132>120, nên hiệu dương: thêm một máy làm chi phí tăng.
Do đó chi phí giảm đến n=11, rồi tăng; 11 máy là lựa chọn duy nhất có chi phí nhỏ nhất trong mô hình này. Không chỉ so hai con số gần nhau rồi mặc nhiên kết luận toàn cục.
C(11)=\frac{48\,000}{11}+4400=\frac{96\,400}{11}\text{ nghìn đồng}\approx8763{,}64\text{ nghìn đồng}.
Trong khi C(10)=C(12)=8800, mức tại 11 nhỏ hơn cả hai. Chi phí ở 25 máy cao hơn, nhưng thời gian 3{,}2 giờ ngắn hơn thời gian 80/11 giờ tại 11 máy. “Rẻ nhất” và “nhanh nhất” là hai mục tiêu khác nhau.
Các thanh dùng cùng tỉ lệ độ dài. Phần lao động tại 11 máy được ghi gần đúng; tổng chi phí trong lời giải vẫn giữ dưới dạng phân số đến khi cần làm tròn.
6. “Bằng ngân sách” khác “không vượt ngân sách”
Nếu thay yêu cầu tổng tiền bằng 11\,920 bằng yêu cầu không vượt quá 11\,920, ta giải bất phương trình:
\frac{48\,000}{n}+400n\le11\,920,\qquad n>0.
Nhân với n>0 giữ chiều bất đẳng thức, rồi phân tích như trước:
(n-25)(5n-24)\le0,\qquad\frac{24}{5}\le n\le25.
Vì n nguyên, các lựa chọn là 5,6,\ldots,25. Hai biên kiểm tra được: C(4)=13\,600 vượt ngân sách; C(5)=11\,600 không vượt; C(25)=11\,920 vừa đủ; C(26)>11\,920.
Nếu mục tiêu thêm là hoàn thành nhanh nhất trong ngân sách này, chọn 25 máy vì 80/n giảm theo n. Nếu mục tiêu chỉ là rẻ nhất, chọn 11 máy. Miền hợp lệ giống nhau không có nghĩa mục tiêu giống nhau.
7. Hạn giao hàng hoặc số máy có sẵn thay đổi miền lựa chọn
Phải xong trong 4 giờ
Thời gian 80/n\le4 tương đương n\ge20. Trên miền này, chi phí tăng theo số máy, nên chi phí nhỏ nhất tại n=20:
t=4\text{ giờ},\qquad C(20)=2400+8000=10\,400\text{ nghìn đồng}.
Nếu đồng thời có ngân sách 11\,920, những số máy hợp lệ là từ 20 đến 25. Trong số đó, 20 máy rẻ nhất, 25 máy nhanh nhất.
Chỉ có tối đa K máy
Với K nguyên dương, không thêm hạn thời gian, ta xét 1\le n\le K. Nếu K\le10, chi phí còn giảm trên toàn miền, nên tối ưu tại n=K. Nếu K\ge11, lựa chọn 11 vẫn có sẵn và vẫn tối ưu. Không cần giải lại toàn bộ bài khi đã hiểu chiều thay đổi của chi phí.
8. Nếu sản phẩm không được chia nhỏ giữa các máy?
Ví dụ điều chỉnh mô hình: mỗi sản phẩm phải được làm trọn trên một máy, mỗi máy hoàn thành một sản phẩm trong 1/50 giờ; các máy bắt đầu cùng lúc, sản phẩm được phân đều nhất có thể. Ca chỉ kết thúc khi tất cả 4000 sản phẩm hoàn thành; vẫn trả công theo thời gian thực.
Xét 1\le n\le4000 để mỗi máy được dùng có thể nhận ít nhất một sản phẩm. Gọi q là số nguyên nhỏ nhất sao cho nq\ge4000. Ít nhất một máy phải làm q sản phẩm; đồng thời có thể chia đơn hàng để mỗi máy làm không quá q. Vậy thời gian tối thiểu của ca là q/50 giờ, và
C_{\text{nguyên sản phẩm}}(n)=600\cdot\frac q{50}+400n=12q+400n.
Với n=11, ta có 11\cdot363=3993<4000\le4004=11\cdot364, nên q=364. Phân chia cụ thể: 7 máy làm 364 sản phẩm, 4 máy làm 363. Tổng đúng 4000, ca kéo dài 364/50=7{,}28 giờ, chi phí
C_{\text{nguyên sản phẩm}}(11)=12\cdot364+4400=8768\text{ nghìn đồng}.
Con số này khác 96\,400/11 vì không thể để mỗi máy hoàn thành 4000/11 sản phẩm nguyên.
11 máy có còn tối ưu trong mô hình mới?
Vì q\ge4000/n, ta luôn có C_{\text{nguyên sản phẩm}}(n)\ge C(n). Với n\le10 hoặc n\ge12, chứng minh phần trước cho C(n)\ge8800. Trong khi chi phí mới tại 11 là 8768<8800. Vậy 11 vẫn là số máy tối ưu duy nhất, nhưng giá trị chi phí tối thiểu đã thay đổi .
Với 25 máy, 4000/25=160 là số nguyên nên cả hai mô hình cho cùng thời gian 3{,}2 giờ và cùng tổng 11\,920. Điều này giải thích vì sao đáp số ban đầu vẫn phù hợp dù bài chuyển giao tối ưu cần nói rõ cách chia sản phẩm.
9. Tự kiểm tra một lời giải chi phí
- Tiền công tính cho toàn ca hay cho từng máy? Bảo trì tính theo đơn hàng hay theo giờ?
- Thời gian sản xuất có đang được tính bằng năng suất chung của các máy hoạt động song song không?
- Câu hỏi yêu cầu đạt đúng một mức tiền, không vượt ngân sách hay tìm mức nhỏ nhất?
- Đã kiểm tra số máy nguyên và các giới hạn thời gian, số máy sẵn có chưa?
- Sản phẩm có thể chia nhỏ trong mô hình không? Nếu không, đã dựng được cách phân chia sản phẩm nguyên chưa?
Một hàm chi phí chỉ có ý nghĩa cùng với cách tính từng khoản, miền số máy và mục tiêu ra quyết định. Kiểm tra những điều đó giúp phương trình và bài toán tối ưu không bị trộn lẫn.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu