Hai vật cùng nhóm: cực trị nguyên và bài toán tìm ngược số lượng
Đếm cặp không hoàn lại, chứng minh ảnh hưởng của cách chia nhóm và kiểm tra chính xác số lượng có thể tạo ra một xác suất cho trước.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Hai vật cùng nhóm: cực trị nguyên và bài toán tìm ngược số lượng
Đếm cặp không hoàn lại, chứng minh ảnh hưởng của cách chia nhóm và kiểm tra chính xác số lượng có thể tạo ra một xác suất cho trước.
01. Biết xác suất có tìm lại được số lượng trong nhóm?
Khi chọn hai vật, xác suất chúng cùng nhóm phụ thuộc vào cách chia cả hộp. Một hộp cân bằng cho kết quả khác hộp lệch hẳn về một nhóm. Ta sẽ tìm xác suất ấy, xác định cách chia làm nó nhỏ nhất, rồi giải ngược để kiểm tra một xác suất cho trước có thể đến từ số lượng nguyên nào.
Mô hình: hộp có N vật phân biệt, N\ge2 nguyên. Có K vật được đánh dấu và N-K vật không đánh dấu, với K nguyên, 0\le K\le N. Chọn đều một cặp hai vật khác nhau, không hoàn lại. Các nhóm rỗng được cho phép trong mô hình chung; khi yêu cầu cả hai nhóm có mặt, ta sẽ thêm 1\le K\le N-1.
Biến cố “cùng nhóm” gồm hai khả năng không chồng nhau: cả hai được đánh dấu, hoặc cả hai không đánh dấu. Nó khác với chỉ yêu cầu “cả hai được đánh dấu”.
02. Vì sao đếm cặp không thứ tự vẫn đồng khả năng?
Tưởng tượng rút lần lượt: có N lựa chọn đầu, rồi N-1 lựa chọn thứ hai. Mỗi cặp có thứ tự có xác suất 1/[N(N-1)]. Một cặp không thứ tự gồm hai vật khác nhau xuất hiện qua đúng hai thứ tự, nên các cặp không thứ tự cũng đồng khả năng.
Số cặp là N(N-1)/2. Trong nhóm đánh dấu, số cặp là K(K-1)/2, vì cũng đếm hai thứ tự rồi chia hai. Khi K=0 hoặc 1, không có cặp trong nhóm và công thức vẫn bằng 0. Tương tự cho nhóm còn lại.
Vậy xác suất cùng nhóm là
P=\frac{K(K-1)+(N-K)(N-K-1)}{N(N-1)}.
Cách đếm qua biến cố đối giúp kiểm tra độc lập: một cặp khác nhóm được tạo bởi một vật đánh dấu và một vật không đánh dấu, có K(N-K) cặp. Không chia số này cho 2, vì hai vai trò nhóm đã xác định mỗi cặp đúng một lần. Do đó
\boxed{P=1-\frac{2K(N-K)}{N(N-1)}}.
Mẫu số dương vì N\ge2. Nếu N=1, không thể chọn hai vật khác nhau; không được áp công thức rồi diễn giải việc chia cho 0.
03. Ví dụ nguồn: chẵn, lẻ và hai biến cố khác nhau
Hộp nguồn có 6 quả bóng cùng loại, ghi các số khác nhau 1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 2 quả, mỗi cặp có cơ hội như nhau. Các quả chẵn là 2,4,6, nên N=6,K=3 nếu đánh dấu nhóm chẵn.
Biến cố nguồn “cả hai đều chẵn” có ba cặp \{2,4\},\{2,6\},\{4,6\}, trên tổng 6\cdot5/2=15 cặp. Xác suất là 3/15=1/5.
Câu hỏi mới “hai quả cùng tính chẵn lẻ” còn nhận cả ba cặp lẻ \{1,3\},\{1,5\},\{3,5\}, nên xác suất là 6/15=2/5. Công thức tổng quát cũng cho
P=1-\frac{2\cdot3\cdot3}{6\cdot5}=\frac25.
Đổi tên nhóm đánh dấu từ chẵn sang lẻ không đổi biến cố cùng nhóm. Đây là lí do công thức không đổi khi thay K bằng N-K, và cũng là nguồn gốc của hai đáp án trong bài toán ngược.
04. Cách chia nào làm xác suất cùng nhóm nhỏ nhất?
Viết tích số lượng theo bình phương độ lệch:
K(N-K)=\frac{N^2-(2K-N)^2}{4}.
Thay vào công thức xác suất:
\boxed{P=\frac{N(N-2)+(2K-N)^2}{2N(N-1)}}.
Mẫu dương và phần N(N-2) cố định. Muốn P nhỏ nhất, cần |2K-N| nhỏ nhất trong các K nguyên.
- Nếu N chẵn, K=N/2 được phép và cho 2K-N=0. Đây là cách chia duy nhất đạt nhỏ nhất, với P_{\min}=(N-2)/[2(N-1)].
- Nếu N lẻ, 2K-N là số nguyên lẻ nên trị tuyệt đối ít nhất bằng 1. Hai giá trị K=(N-1)/2,(N+1)/2 đều đạt, cho P_{\min}=(N-1)/(2N).
Vậy chia hai nhóm càng cân bằng càng làm việc lấy hai vật cùng nhóm khó hơn. Phải giữ điều kiện nguyên: khi N lẻ, không có nhóm chứa N/2 vật.
Nếu cho phép một nhóm rỗng, giá trị lớn nhất là 1, đạt đúng tại K=0 hoặc K=N, vì tích K(N-K) bằng 0 đúng ở hai đầu ấy.
Nếu bắt buộc cả hai nhóm có mặt, 1\le K\le N-1, nên |2K-N|\le N-2. Thay vào công thức bình phương cho
P\le\frac{N-2}{N},
dấu bằng đúng khi K=1 hoặc K=N-1. Với N=2, hai cách viết này cùng là K=1: luôn lấy hai nhóm khác nhau, nên cả giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đều bằng 0.
05. Đổi sang có hoàn lại làm xác suất thay đổi thế nào?
Mô hình mới: rút một vật đều, trả lại hộp, rồi rút đều lần nữa; hai lần chọn độc lập và mỗi vật vẫn có cơ hội 1/N. Có N^2 kết quả có thứ tự, bao gồm việc rút cùng một vật hai lần. Số kết quả cùng nhóm là K^2+(N-K)^2, nên
Q=\frac{K^2+(N-K)^2}{N^2}.
So sánh với xác suất không hoàn lại:
\boxed{Q-P=\frac{2K(N-K)}{N^2(N-1)}\ge0}.
Đẳng thức xảy ra đúng khi K=0 hoặc K=N. Nếu cả hai nhóm có mặt, hoàn lại làm xác suất cùng nhóm tăng nghiêm ngặt. Sau khi rút một vật mà không hoàn lại, số vật cùng nhóm với nó còn ít hơn trước; phép đếm trên lượng hóa đúng tác động ấy.
Với hộp nguồn N=6,K=3, không hoàn lại cho P=2/5, còn hoàn lại cho Q=1/2, chênh 1/10. Nếu chỉ xét “cả hai chẵn”, các xác suất tương ứng là (3\cdot2)/(6\cdot5)=1/5 và 3^2/6^2=1/4. Cần giữ cả quy trình rút lẫn định nghĩa biến cố khi so sánh.
06. Giải ngược: một xác suất lý thuyết có khả thi không?
Cho N\ge2 và yêu cầu xác suất cùng nhóm đúng bằng p, 0\le p\le1, trong phép chọn không hoàn lại. Đây là xác suất lý thuyết chính xác, không phải tỉ lệ ước lượng từ một số lần thử. Từ công thức,
(2K-N)^2=D,\qquad D=N^2-2N(N-1)(1-p).
Vì K nguyên, điều kiện cần là D=d^2 với d nguyên không âm, d\le N, và d cùng tính chẵn lẻ với N. Khi đó các ứng viên là
\boxed{K=\frac{N-d}{2}\quad\text{hoặc}\quad K=\frac{N+d}{2}}.
Các điều kiện cũng đủ: chúng làm hai ứng viên nguyên, trong [0,N]. Chia N vật thành nhóm có đúng K dấu và nhóm còn lại, rồi thay vào công thức bình phương sẽ cho đúng P=p. Như vậy đây là tiêu chuẩn tồn tại và cách dựng, không chỉ là phép tìm nghiệm.
Nếu d=0, chỉ có một số lượng K=N/2, và điều này đòi N chẵn. Nếu d>0, có hai số lượng khác nhau, cộng thành N. Xác suất cùng nhóm không phân biệt được nhóm nào là nhóm lớn hơn. Nếu yêu cầu cả hai nhóm đều có mặt, thay điều kiện d\le N bằng d\le N-2.
Kiểm tra dữ kiện trong hộp sáu vật
Với N=6, ta có D=36-60(1-p).
- p=2/5 cho D=0, nên duy nhất K=3, đúng hộp nguồn.
- p=7/15 cho D=4, nên K=2 hoặc 4. Hai cách chia đều dựng được.
- p=3/5 cho D=12, không phải bình phương số nguyên. Không có cách chia nguyên nào, dù 3/5 nằm giữa cận nhỏ nhất 2/5 và cận lớn nhất 2/3 khi cả hai nhóm có mặt.
Ngay cả bình phương nguyên vẫn chưa đủ: với p=5/12, ta có D=1, nhưng d=1 lẻ còn N=6 chẵn. Hai ứng viên là 5/2,7/2, không phải số vật. Đây là lí do phải kiểm tra cả tính chẵn lẻ.
Khoảng giữa hai cận không nhất thiết gồm toàn bộ xác suất đạt được: với số lượng nguyên, tập giá trị có thể rời rạc.
Chỉ các K nguyên là số lượng được phép. Bảy điểm được vẽ đúng giá trị, kể cả hai trường hợp một nhóm rỗng. Đường nét đứt mức 3/5 không đi qua điểm nào, nên không có thiết kế đạt mức ấy.
07. Tự kiểm tra và dựng chiều đảo
Thử 1. Hộp 7 vật nên chia thế nào để xác suất cùng nhóm nhỏ nhất? Có một hay hai số lượng cho nhóm đánh dấu?
Xem lời giải
N=7 lẻ, nên cần |2K-7|=1. Hai giá trị là K=3,4, đều cho P=(7-1)/(2\cdot7)=3/7. Chúng là hai số lượng khác nhau của nhóm đánh dấu, nhưng cùng một cách chia kích thước nếu không phân biệt tên hai nhóm.
Thử 2. Với N=6, có những nhóm đánh dấu nào về số lượng để xác suất cùng nhóm bằng 2/3?
Xem lời giải và kiểm tra ngược
D=36-60(1/3)=16, nên d=4, cùng chẵn với N. Suy ra K=1,5. Mỗi cách chia có một nhóm năm vật, tạo 5\cdot4/2=10 cặp cùng nhóm trên 15 cặp; nhóm một vật không tạo cặp. Xác suất đúng bằng 10/15=2/3.
Thử 3. Nếu chỉ biết P=1, có suy ra cả hộp được đánh dấu không?
Xem lời giải
Không. P=1 buộc K(N-K)=0, nên K=0 hoặc N. Cả hộp không có dấu cũng luôn cho hai vật cùng nhóm. Muốn chọn một trong hai khả năng, cần thêm dữ kiện về nhóm đánh dấu.
Thử 4. Với N=2,K=1, hãy liệt kê hai mô hình để kiểm tra tác động hoàn lại.
Xem lời giải
Gọi vật có dấu là A, vật không dấu là B. Không hoàn lại chỉ có cặp \{A,B\}, nên P=0. Có hoàn lại, bốn cặp có thứ tự (A,A),(A,B),(B,A),(B,B) đồng khả năng; hai cặp cùng nhóm, nên Q=1/2. Công thức chênh cho 2\cdot1\cdot1/(2^2\cdot1)=1/2, khớp phép đếm.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện