Tối ưu có giới hạn: tìm miền thiết kế trước khi chọn kích thước
Biến các giới hạn bán kính và chiều cao thành một miền khả thi, chứng minh quy tắc chọn cực đại và phân biệt cận đạt được với cận chỉ có thể tiến gần.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Tối ưu có giới hạn: tìm miền thiết kế trước khi chọn kích thước
Biến các giới hạn bán kính và chiều cao thành một miền khả thi, chứng minh quy tắc chọn cực đại và phân biệt cận đạt được với cận chỉ có thể tiến gần.
01 · Một thiết kế tốt phải tồn tại trước đã
Một công thức cực đại được chứng minh trên miền rộng có thể mất dấu bằng khi thêm giới hạn chế tạo. Muốn chọn kích thước tốt nhất, ta cần trả lời ba câu theo đúng thứ tự: có thiết kế nào thỏa mọi yêu cầu không, những thiết kế đó nằm trong miền nào, rồi điểm tốt nhất của miền ấy ở đâu?
Xét hình trụ tròn xoay bán kính r>0, chiều cao h>0. Một hình nón có đáy trùng đáy dưới của trụ và đỉnh là tâm đáy trên. Đường sinh nón được giữ cố định bằng L>0. Ta tối đa hóa thể tích toàn hình trụ . Nón và trụ cùng bán kính, cùng chiều cao; đường sinh nón là cạnh huyền của tam giác kích thước.
Ràng buộc và mục tiêu là hai biểu thức khác nhau: r^2+h^2=L^2,\qquad V=\pi r^2h. Không thay đường sinh nón bằng chiều cao trụ, cũng không dùng hệ số 1/3 nếu vật cần đo là toàn hình trụ.
02 · Đổi mọi điều kiện thành điều kiện của một biến
Chọn h, ta có r=\sqrt{L^2-h^2}. Một hình khối thật tồn tại khi và chỉ khi 0<h<L. Mỗi chiều cao trong khoảng ấy xác định đúng một bán kính dương. Vì vậy phép chuyển sang một biến không làm mất hay thêm thiết kế.
Giả sử xưởng yêu cầu 0<A\le h\le B<L, đồng thời 0<r_0\le r\le r_1<L. Các số này là độ dài cùng đơn vị. Do các vế không âm, điều kiện bán kính tương đương:
r_0^2\le L^2-h^2\le r_1^2\iff \sqrt{L^2-r_1^2}\le h\le\sqrt{L^2-r_0^2}.
Đặt u=\max\{A,\sqrt{L^2-r_1^2}\}, v=\min\{B,\sqrt{L^2-r_0^2}\}. Miền cho phép chính xác là đoạn [u;v] nếu u\le v. Nếu u>v, không có thiết kế. Nếu u=v, chỉ có một thiết kế; tối ưu lúc này chỉ là tính thể tích của nó.
Chiều đảo cần được giữ: chọn bất kỳ h\in[u;v], dựng r=\sqrt{L^2-h^2}>0. Các bất đẳng thức vừa biến đổi trả lại đúng hai giới hạn bán kính và hai giới hạn chiều cao. Ta đã mô tả đủ toàn bộ thiết kế khả thi.
Giới hạn bán kính trên trở thành giới hạn chiều cao dưới. Với đường sinh cố định, đáy càng hẹp thì hình càng cao. Đây là chỗ dễ đảo sai chiều bất đẳng thức.
03 · Chứng minh thể tích tăng rồi giảm, không cần đạo hàm
Bỏ hệ số dương \pi, xét f(h)=L^2h-h^3. Đặt a=L/\sqrt3. Với 0<x<y<L, hiệu hai giá trị là
f(y)-f(x)=(y-x)\bigl(L^2-x^2-xy-y^2\bigr).
Nếu 0<x<y\le a, ta có x^2<a^2, xy<a^2, y^2\le a^2. Tổng ba số nhỏ hơn 3a^2=L^2, nên hiệu dương. Vậy thể tích tăng nghiêm ngặt trên (0;a].
Nếu a\le x<y<L, thì x^2\ge a^2, xy>a^2, y^2>a^2. Tổng lớn hơn L^2, nên hiệu âm. Vậy thể tích giảm nghiêm ngặt trên [a;L).
Hai kết luận này đủ để so sánh mọi thiết kế trong từng phía của a. Trên toàn miền, còn có chứng minh trực tiếp bằng bình phương:
f(a)-f(h)=(h-a)^2(h+2a)\ge0.
Ở đây f(a)=2a^3 vì L^2=3a^2. Thừa số h+2a>0, nên dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi h=a. Giá trị a nằm trong (0;L), vì thế cực đại không bị suy biến.
04 · Quy tắc chọn điểm trên đoạn khả thi
Giả sử đã tìm được đoạn không rỗng [u;v]\subset(0;L). Kết quả có ba trường hợp:
- Nếu v<a, chọn h=v: thể tích tăng trên cả đoạn.
- Nếu u\le a\le v, chọn h=a: bình phương ở trên cho cận đạt được.
- Nếu u>a, chọn h=u: thể tích giảm trên cả đoạn.
Trường hợp v=a hoặc u=a đã được bao gồm trong trường hợp giữa. Nếu đoạn chỉ có một điểm, quy tắc vẫn chọn đúng điểm ấy. Mọi trường hợp đều cho một chiều cao tối ưu duy nhất; bán kính tương ứng cũng duy nhất vì là căn dương.
Có thể nhớ quy tắc bằng lời: nếu đoạn chứa đỉnh a, chọn đỉnh; nếu đoạn nằm hoàn toàn một phía, chọn đầu đoạn hướng về đỉnh. Đây là hệ quả của tính tăng, giảm vừa chứng minh, không phải nguyên tắc đúng cho mọi hàm số.
Trên đoạn này, giá trị nhỏ nhất nằm ở một trong hai đầu: \min\{V(u),V(v)\}. Nếu đoạn cắt qua a, mỗi nửa đều có giá trị thấp nhất ở đầu ngoài tương ứng. Nếu không cắt qua a, tính đơn điệu cho ngay kết luận. Hai đầu khác nhau có thể cho cùng thể tích, dù chiều cao cực đại vẫn duy nhất.
05 · Từ mẫu gốc đến các giới hạn chế tạo
Mẫu được chọn có đường sinh nón L=6\,\mathrm{cm}, nón và trụ cùng đáy, cùng chiều cao như mô hình trên. Nếu không có giới hạn bổ sung,
h=2\sqrt3,\quad r=2\sqrt6,\quad V_{\max}=48\pi\sqrt3\,\mathrm{cm}^3.
Kiểm tra: h^2+r^2=12+24=36; thể tích trụ là \pi\cdot24\cdot2\sqrt3. Đó là giá trị của trụ, còn nón tương ứng có thể tích 16\pi\sqrt3.
Giới hạn chiều cao: h\le3\,\mathrm{cm}
Miền là 0<h\le3. Vì 3<2\sqrt3, thể tích tăng trên cả miền; chọn h=3, r=3\sqrt3, được V=81\pi\,\mathrm{cm}^3. Cận 48\pi\sqrt3 vẫn đúng nhưng dấu bằng của cận ấy đã bị loại.
Giới hạn bán kính: r\le4\,\mathrm{cm}
Ta có h\ge\sqrt{36-16}=2\sqrt5, nên miền là [2\sqrt5;6). Vì 2\sqrt5>2\sqrt3, thể tích giảm trên cả miền; chọn h=2\sqrt5, r=4, được V=32\pi\sqrt5\,\mathrm{cm}^3. Đầu h=6 không thuộc miền vì làm r=0.
Hình dựng cùng tỉ lệ 27 đơn vị hình cho 1\,\mathrm{cm}: OB=108, AO=54\sqrt5, AB=162 đơn vị hình. Chiều cao là 2\sqrt5\,\mathrm{cm}, không phải 6-4.
Nếu đồng thời áp dụng cả h\le3 và r\le4, thì r^2+h^2\le16+9=25<36, trái ràng buộc. Từng yêu cầu riêng đều khả thi; giao của chúng lại rỗng. Không có thể tích lớn nhất vì không có thiết kế nào.
06 · Dấu bằng và đầu mút quyết định khả năng đạt tới
Đổi giới hạn h\le3 thành h<3, giữ L=6. Mọi thiết kế có V<81\pi. Tuy nhiên, không có thiết kế tốt nhất: với mỗi 0<h<3, chọn h'=(h+3)/2. Khi đó h<h'<3, nên V(h')>V(h), và bán kính mới vẫn dương.
Số 81\pi là cận trên có thể tiến gần tùy ý. Đặt h=3-\varepsilon với 0<\varepsilon<1. Ta tính chính xác:
81\pi-V(3-\varepsilon)=\pi(9\varepsilon+9\varepsilon^2-\varepsilon^3),
nằm giữa 0 và 18\pi\varepsilon. Muốn khoảng thiếu nhỏ hơn bất kỳ \delta>0, chỉ cần chọn 0<\varepsilon<\min\{1,\delta/(18\pi)\}. Nhưng h=3 bị cấm, nên cận không đạt.
Ngược lại, nếu điều kiện là h<4, chiều cao 2\sqrt3<4 vẫn nằm trong miền và cực đại toàn cục vẫn đạt. Một đầu mút mở không tự động làm mất cực đại; cần biết điểm tốt nhất có bị loại hay không.
07 · Chuyển mô hình và tự kiểm chứng
Nếu đo nón hoặc phần trụ ở ngoài nón, mục tiêu lần lượt bằng V/3 hoặc 2V/3. Các hệ số dương cố định giữ nguyên thứ tự các thiết kế và cùng điểm tối ưu, miễn là mọi ràng buộc cũng giữ nguyên. Nếu giữ bán kính cố định nhưng bỏ giới hạn đường sinh, ta đã đổi miền; quy tắc vừa chứng minh không còn áp dụng.
Thêm yêu cầu bán kính ít nhất 5 cm khi L bằng 6
Miền 0<h\le\sqrt{11} nằm dưới a=\sqrt{12}, nên chọn h=\sqrt{11}, r=5. Thể tích lớn nhất là 25\pi\sqrt{11}\,\mathrm{cm}^3. Cận đạt vì dấu r\ge5 cho phép r=5.
Cùng mô hình, yêu cầu 3 cm không vượt quá h và h không vượt quá 4 cm
Đoạn [3;4] chứa 2\sqrt3, nên cực đại vẫn là 48\pi\sqrt3. Tại hai đầu, V(3)=81\pi và V(4)=80\pi; nhỏ nhất là 80\pi tại h=4. Không chọn chiều cao lớn nhất để tối đa thể tích.
Có thể có một thiết kế duy nhất không?
Có. Với L=6, yêu cầu h\le3 và r\le3\sqrt3 cho h\ge3. Vậy chỉ còn h=3, r=3\sqrt3, thể tích 81\pi. Đây đồng thời là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miền một điểm.
Phóng mọi giới hạn lên gấp đôi thì điều gì giữ nguyên?
Nếu L,A,B,r_0,r_1 cùng nhân 2, đoạn khả thi và chiều cao a cùng nhân 2; quan hệ vị trí không đổi. Kích thước tối ưu nhân 2, thể tích nhân 8. Chỉ nhân một giới hạn không tạo ra phép đồng dạng này.
Một lời giải thiết kế hoàn chỉnh phải chỉ ra miền không rỗng, chứng minh cách chọn điểm tốt nhất trên chính miền ấy và dựng lại đủ kích thước tại dấu bằng. Khi điều kiện thay đổi, hãy làm lại bước tìm miền trước khi dùng tỉ lệ tối ưu.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện