Lập hệ từ hai phép đếm: mức nền, phần vượt và điều kiện nguyên
Từ số người và số tờ giấy, xây dựng hệ hai ẩn, chứng minh cách đếm phần vượt, tìm điều kiện tồn tại đầy đủ và phân biệt dữ liệu thiếu với dữ liệu không thể…
Toán THCS · Hệ phương trình và mô hình đếm
Lập hệ từ hai phép đếm: mức nền, phần vượt và điều kiện nguyên
Từ số người và số tờ giấy, xây dựng hệ hai ẩn, chứng minh cách đếm phần vượt, tìm điều kiện tồn tại đầy đủ và phân biệt dữ liệu thiếu với dữ liệu không thể xảy ra.
1. Hai phép đếm của cùng một tập người
Một phòng có nhiều người, mỗi người nộp một số tờ giấy. Ta có thể đếm số người , hoặc đếm số tờ . Hai phép đếm dùng cùng các nhóm nhưng khác trọng số: một người luôn góp một vào số người, còn số tờ họ nộp có thể là một, hai hoặc ba.
Bài học dùng kiến thức hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở THCS. Cách “giả sử tất cả cùng một mức” ở phần đầu cũng có thể hiểu bằng số học. Mục tiêu không chỉ là tìm một cặp số: cần giải thích vì sao hai dữ kiện xác định được các nhóm, và nhận ra khi dữ liệu không thể xảy ra.
Dự đoán. Hai mươi mốt người, mỗi người nộp hai hoặc ba tờ. Nếu tất cả nộp hai tờ thì tổng là bao nhiêu? Mỗi lần đổi một người từ hai tờ sang ba tờ, tổng thay đổi thế nào?
Ý tưởng nền: phần vượt mức đếm nhóm nhiều hơn
Mức nền là 21\cdot2=42 tờ. Mỗi người nộp ba tờ thay vì hai làm tổng tăng đúng một tờ. Vì vậy nếu tổng là năm mươi tờ, phần vượt 50-42=8 cho biết có tám người nộp ba tờ. Tất cả phép tăng này diễn ra trên cùng nhóm hai mươi mốt người; không thêm người mới.
2. Tách nhóm đã biết, rồi lập hai điều kiện
Có 24 thí sinh nộp tổng cộng 53 tờ giấy. Đúng 3 người nộp một tờ mỗi người; mọi người còn lại nộp hai hoặc ba tờ. Giả sử mỗi tờ chỉ được tính một lần, không có người nộp số tờ khác ba mức đã nêu.
Ba người đã biết góp 3 người và 3\cdot1=3 tờ. Loại nhóm này khỏi cả hai phép đếm, ta còn 24-3=21 người và 53-3=50 tờ.
Gọi x là số người nộp hai tờ, y là số người nộp ba tờ. Điều kiện của ẩn là x,y\in\mathbb Z, x\ge0,y\ge0. Không cần đặt cả hai dương: câu “mỗi người còn lại nộp hai hoặc ba tờ” không tự bảo đảm cả hai nhóm đều xuất hiện.
Phương trình số người và phương trình số tờ lần lượt là
x+y=21,\qquad2x+3y=50.
Hệ số hai, ba trong phương trình thứ hai có nghĩa “tờ trên mỗi người”; nhân với số người cho số tờ. Không cộng số người với số tờ thành một tổng vì chúng đo hai đại lượng khác nhau.
Sơ đồ sau khi giải. Ba cột là các nhóm rời nhau; tổng dòng người là 24, tổng dòng tờ là 53. Kích thước ô không mã hóa số lượng, con số trong ô mới là dữ liệu.
3. Phép trừ hệ chính là lập luận phần vượt
Nhân phương trình số người với hai: 2x+2y=42. Giữ quan hệ số người, rồi trừ phương trình này khỏi phương trình số tờ:
(2x+3y)-(2x+2y)=50-42.
y=8,\qquad x=21-8=13.
Vì nhân với hai là phép có thể đảo bằng chia cho hai, và phép trừ vẫn giữ một phương trình gốc để khôi phục ẩn còn lại, hệ mới tương đương hệ ban đầu. Không được chỉ giữ y=8 rồi cho x tùy ý.
Ta có thể làm theo mức nền cao: nếu cả hai mươi mốt người nộp ba tờ thì tổng là 63. Thực tế thiếu 63-50=13 tờ. Mỗi người nộp hai thay vì ba làm hụt một tờ, nên có mười ba người nộp hai tờ. Hai cách độc lập cho cùng kết quả.
Kiểm tra cả hai phép đếm. Số người: 3+13+8=24. Số tờ: 3\cdot1+13\cdot2+8\cdot3=3+26+24=53. Các ẩn là số nguyên không âm. Vậy nhóm hai tờ có mười ba người, nhóm ba tờ có tám người.
Tại sao nghiệm là duy nhất?
Giữ số người là hai mươi mốt. Khi tăng y thêm một, x phải giảm một, và tổng giấy tăng 3-2=1. Hai giá trị khác nhau của y không thể cho cùng tổng giấy. Đại số thể hiện đúng điều ấy: từ hai dữ kiện, y bắt buộc bằng 50-2\cdot21=8, rồi x cũng bắt buộc bằng mười ba.
4. Công thức tổng quát và điều kiện đủ để dữ liệu tồn tại
Gọi n là tổng số người, a là số người đã biết nộp c tờ mỗi người. Những người còn lại chỉ nộp p hoặc q tờ, trong đó p,q,c là số nguyên không âm và p<q. Các nhóm phải được mô tả rõ, không chồng lên nhau. Đặt m=n-a là số người còn lại, S=T-ac là số tờ còn lại; T là tổng số tờ.
Điều kiện ban đầu là n,a,T nguyên không âm, 0\le a\le n. Với x,y là số người nộp mức p,q, ta có
x+y=m,\qquad px+qy=S.
Trừ p(x+y)=pm khỏi phương trình số tờ:
(q-p)y=S-pm.
Vì q-p>0, suy ra
y=\frac{S-pm}{q-p},\qquad x=\frac{qm-S}{q-p}.
Điều kiện tồn tại đầy đủ gồm hai phần:
- Khoảng cho phép: pm\le S\le qm, để hai số lượng không âm.
- Điều kiện nguyên: S-pm chia hết cho q-p, để y nguyên; khi đó x=m-y cũng nguyên.
Đây không chỉ là điều kiện cần. Nếu cả hai phần thỏa, công thức cho x,y nguyên không âm, tổng đúng m, và px+qy=p(m-y)+qy=pm+(q-p)y=S. Vì thế có thể dựng đúng hai nhóm với các số lượng này. Ta đã chứng minh cả chiều cần và chiều đủ.
Ở hai đầu S=pm và S=qm, một nhóm có số người bằng không. Nếu yêu cầu cả hai nhóm phải có người , thêm x\ge1,y\ge1; khi m\ge2, khoảng phải là pm+(q-p)\le S\le qm-(q-p), cùng điều kiện chia hết. Với m=0, chỉ có S=0, x=y=0; không tính trung bình bằng chia cho m.
Khi hai mức bằng nhau. Nếu p=q, không dùng công thức có mẫu q-p. Khi ấy tổng bắt buộc là S=pm. Nếu không bằng, vô nghiệm; nếu bằng và m>0, dữ liệu tổng không phân biệt được cách chia người giữa hai nhóm có cùng mức. Có m+1 cặp số nguyên không âm từ (m;0) đến (0;m). Khi m=0, chỉ có cặp (0;0).
5. Phản ví dụ: nằm trong khoảng chưa chắc thực hiện được
Có mười người, mỗi người nộp hai hoặc bốn tờ, tổng 25 tờ. Ta có 20\le25\le40, nên kiểm khoảng không phát hiện lỗi. Nhưng phần vượt mức nền là 25-20=5, trong khi mỗi người chuyển từ hai lên bốn góp thêm hai tờ. Số người nhóm nhiều phải bằng 5/2, không nguyên. Dữ liệu không thể xảy ra theo mô tả.
Các tổng có thể đạt được là 20,22,24,\ldots,40. Con số 25 ở trong khoảng nhưng không nằm trong dãy. Trục dùng cùng khoảng cách cho cùng chênh lệch số tờ.
Với bài gốc, p=2,q=3, chênh lệch là một nên mọi tổng nguyên từ 42 đến 63 của nhóm còn lại đều đạt được. Cộng ba tờ của nhóm cố định, tổng toàn phòng có thể là mọi số nguyên từ 45 đến 66. Nếu báo tổng 44 hoặc 67, dữ liệu mâu thuẫn ngay cả trước khi giải hệ.
Không phải nghiệm phân số nào cũng do lập hệ sai
Hệ của bài mười người, hai hoặc bốn tờ, tổng hai mươi lăm tờ được lập đúng. Nghiệm phân số chứng minh dữ liệu đầu vào không phù hợp ràng buộc đếm người. Cần kiểm cả cách lập lẫn độ tin cậy của dữ kiện; không tự làm tròn thành hai hoặc ba người, vì khi đó tổng giấy thay đổi.
6. Trung bình có trọng số: cùng ý tưởng dưới dạng tỉ lệ
Với m>0, chia phương trình số tờ cho số người:
\frac Sm=p+(q-p)\frac ym.
Số tờ trung bình S/m nằm giữa hai mức p,q. Khoảng cách từ trung bình đến mức thấp, chia cho khoảng cách giữa hai mức, là tỉ lệ người thuộc mức cao. Trong bài gốc:
\frac{50}{21}=2+\frac8{21}.
Phần vượt trung bình trên hai tờ là 8/21 tờ trên mỗi người; do mỗi người mức cao góp thêm đúng một tờ, tỉ lệ nhóm ba tờ là 8/21. Không cần trung bình là số nguyên: trung bình không phải số tờ mà mỗi cá nhân bắt buộc nộp.
Biết trung bình mà không biết số người có thể không tìm được số lượng tuyệt đối. Chẳng hạn trung bình 5/2 tờ giữa mức hai và ba nghĩa là hai nhóm bằng nhau; có thể là một người mỗi nhóm, mười người mỗi nhóm hoặc nhiều quy mô khác.
Dự đoán. Nếu số người không đổi và tổng giấy tăng thêm ba tờ trong bài gốc, số người nộp ba tờ tăng bao nhiêu? Điều gì có thể khiến kết quả không thực hiện được?
Phản hồi về mức tăng và giới hạn
Vì chênh lệch hai mức bằng một, y tăng ba, x giảm ba. Từ (13;8) thành (10;11), hợp lệ. Nhưng nếu tăng quá nhiều làm x<0, tổng vượt mức tối đa và không còn khả thi. Với chênh lệch hai mức bằng hai, tăng tổng ba tờ còn có thể vi phạm tính nguyên, dù chưa chạm biên.
7. Đổi dữ kiện để kiểm tra đã hiểu mô hình
Chuyển giao A: nhóm cố định vẫn là một tờ
Có ba mươi học sinh nộp sáu mươi tám tờ; bốn em nộp một tờ, còn lại nộp hai hoặc ba tờ. Hãy dự đoán mức nền trước khi lập hệ.
Gợi ý: còn m=26 người, S=64 tờ. Mức nền 2m=52, nên y=64-52=12, x=26-12=14. Kiểm 4+14+12=30, 4+28+36=68. Nếu dùng sáu mươi tám làm S, em đã quên trừ giấy của nhóm cố định.
Chuyển giao B: không phải lúc nào nhóm cố định cũng góp một tờ
Có mười sáu người nộp sáu mươi tờ. Bốn người nộp sáu tờ mỗi người; những người còn lại nộp hai hoặc bốn tờ. Tìm hai nhóm còn lại.
Gợi ý: nhóm cố định góp 4\cdot6=24 tờ, không phải bốn tờ. Còn m=12, S=36. Số người mức bốn là y=(36-2\cdot12)/(4-2)=6; nhóm mức hai cũng sáu. Kiểm số tờ 24+6\cdot2+6\cdot4=60. Tách số người và số tờ giúp tránh đúng lỗi này.
Chuyển giao C: hai phép đếm chưa đủ cho ba nhóm chưa biết
Có ba người, mỗi người nộp một, hai hoặc ba tờ, tổng sáu tờ, nhưng không biết trước nhóm một tờ. Liệu có xác định duy nhất số người mỗi nhóm không?
Phản ví dụ: cả ba người đều nộp hai tờ cho các số lượng (0;3;0). Một người ở mỗi mức cho (1;1;1). Cả hai đều có ba người và sáu tờ. Vậy hai tổng chưa đủ xác định ba nhóm trong tình huống này. Một dữ kiện độc lập bổ sung, chẳng hạn số người ở một mức, có thể đưa ta trở lại mô hình hai ẩn.
8. Một bản tự kiểm có thể dùng cho nhiều bài đếm
Trước khi tính, trả lời: các nhóm có rời nhau và phủ hết mọi người không; nhóm nào đã biết; mỗi phương trình đang đếm đại lượng gì; ẩn cần nguyên hay chỉ cần dương? Sau khi tính, kiểm riêng tổng người, tổng vật, miền giá trị và khả năng thực hiện.
Cùng cấu trúc xuất hiện khi đếm vé hai mức giá, xe hai loại số chỗ hoặc hàng đóng gói hai kích thước. Chỉ chuyển mô hình khi các mức thực sự cố định; có giảm giá riêng, ghế bỏ trống hoặc gói thiếu hàng thì phải diễn đạt lại dữ kiện trước. Phần vượt mức là một cách nhìn giúp hiểu phép khử ẩn, không phải quy tắc dùng bất chấp giả thiết.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu