Biến đổi một cặp nghiệm: lập phương trình mới và nhận ra nghiệm kép
Dùng Viète và hạ bậc để theo dõi dấu, thứ tự, tính phân biệt và khả năng khôi phục một cặp giá trị sau biến đổi.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Biến đổi một cặp nghiệm: lập phương trình mới và nhận ra nghiệm kép
Dùng Viète và hạ bậc để theo dõi dấu, thứ tự, tính phân biệt và khả năng khôi phục một cặp giá trị sau biến đổi.
01. Hai giá trị mới cũng có thể được xem là nghiệm
Viète thường được dùng để tính một tổng. Nhưng tổng và tích còn giúp trả lời câu hỏi rộng hơn: sau khi biến đổi hai nghiệm, ta nhận được hai số nào, chúng có phân biệt không, có cùng dấu không, và có thể tìm lại cặp ban đầu không?
Trong bài này, ta không cần viết công thức riêng của từng nghiệm để tìm phương trình của cặp mới. Công cụ chính là hạ bậc một biểu thức theo nghiệm thành biểu thức bậc nhất , rồi dùng tổng và tích để mô tả đầy đủ ảnh của cả cặp.
Giả sử x_1,x_2 là hai nghiệm thực, tính cả nghiệm kép, của
x^2-Sx+P=0,\qquad P\ne0.
Với hai số thực cố định a,b, đặt
y_1=\frac{ax_1+b}{x_2},\qquad y_2=\frac{ax_2+b}{x_1}.
Ta sẽ lập phương trình có hai nghiệm y_1,y_2, đồng thời kiểm tra khi nào phép biến đổi làm hai giá trị trùng nhau.
02. Điều kiện của cặp gốc đi trước mọi phép chia
Từ phân tích (x-x_1)(x-x_2)=x^2-Sx+P, so sánh hệ số được x_1+x_2=S, x_1x_2=P. Để có nghiệm thực, cần và đủ
D=S^2-4P\ge0,
vì phương trình tương đương (2x-S)^2=D. Khi D>0, có hai nghiệm phân biệt; khi D=0, chỉ một giá trị S/2 được tính hai lần. Với phương trình Ax^2+Bx+C=0, phải có A\ne0 rồi mới chia cho A để lấy S=-B/A,P=C/A.
Điều kiện P\ne0 tương đương cả x_1,x_2 khác 0, nên cả hai phân thức đều xác định. Nếu P=0, ít nhất một mẫu bằng 0. Kể cả tử tương ứng cũng bằng 0, phân thức ban đầu vẫn không xác định; không được cứu nó bằng một biểu thức đã rút gọn.
Mỗi nghiệm thỏa x_i^2=Sx_i-P. Đây là đẳng thức đúng tại nghiệm, không phải đồng nhất thức với mọi số thực. Chẳng hạn với S=-2,P=-5/2, thay x=0 vào x^2=Sx-P sẽ cho hai vế khác nhau.
03. Phân thức theo hai nghiệm trở thành một phép đổi bậc nhất
Vì x_1x_2=P\ne0, ta có 1/x_2=x_1/P. Do đó
y_1=\frac{ax_1^2+bx_1}{P}
=\frac{a(Sx_1-P)+bx_1}{P}
=\frac{aS+b}{P}x_1-a.
Tương tự, công thức ấy đúng với chỉ số 2. Đặt k=(aS+b)/P, ta được
\boxed{y_i=kx_i-a\quad(i=1,2).}
Như vậy hai phân thức ban đầu được tạo bằng cùng một quy tắc: nhân mỗi nghiệm với k, rồi trừ a. Ta vẫn giữ điều kiện P\ne0 của biểu thức gốc.
Độ lớn và dấu của k quyết định điều gì?
y_2-y_1=k(x_2-x_1).
Nếu quy ước x_1<x_2, khi k>0 thứ tự được giữ, khi k<0 thứ tự đảo, còn khi k=0 cả hai ảnh bằng -a. Vì vậy hai nghiệm phân biệt không tự bảo đảm hai giá trị sau biến đổi cũng phân biệt.
Với D>0, hai ảnh trùng nhau khi và chỉ khi aS+b=0. Với D=0, hai ảnh luôn trùng vì ngay từ đầu hai nghiệm đã bằng nhau. Hai nguyên nhân này cần được tách rõ.
04. Lập phương trình mới và chứng minh không thêm nghiệm
Đặt U=y_1+y_2, V=y_1y_2. Cộng hai biểu thức bậc nhất, rồi nhân trực tiếp hai phân thức gốc:
U=kS-2a,\qquad
V=\frac{(ax_1+b)(ax_2+b)}{P}
=\frac{a^2P+abS+b^2}{P}.
Vậy (y-y_1)(y-y_2) bằng
\boxed{y^2-Uy+V.}
Phương trình y^2-Uy+V=0 có đúng hai ảnh làm nghiệm, tính cả bội. Có thể kiểm tra bằng cách nhân hai biểu thức kx_i-a: V=k^2P-akS+a^2. Hai dạng của V bằng nhau vì kP=aS+b.
Chiều đảo khi k khác không
Giả sử y là một nghiệm của phương trình mới và k\ne0. Đặt x=(y+a)/k. Ta có đẳng thức
k^2(x^2-Sx+P)=(y+a)^2-kS(y+a)+k^2P=y^2-Uy+V.
Vế phải bằng 0, còn k^2>0, nên x là một nghiệm gốc. Nghiệm kia là P/x, vì x\ne0. Thay cặp ấy vào phân thức ban đầu cho đúng y=kx-a. Do đó mọi nghiệm mới đều đến từ một nghiệm gốc; phép đổi không thêm nghiệm và có công thức khôi phục duy nhất.
Trường hợp k bằng không
Khi k=0, hai ảnh đều bằng -a, phương trình mới là (y+a)^2=0. Không được chia cho k để khôi phục. Nếu cặp gốc có hai nghiệm phân biệt, việc chỉ biết một ảnh không phân biệt được nó đến từ nghiệm nào. Nếu cặp gốc là nghiệm kép, nó vốn chỉ có một giá trị, nhưng công thức chia cho k vẫn không hợp lệ.
Biệt thức mới được kiểm tra độc lập bằng hiệu hai ảnh:
U^2-4V=(y_2-y_1)^2=k^2D.
Nó luôn không âm trong miền giả thiết. Với D>0, phương trình mới có nghiệm kép đúng ở k=0; không cần tìm từng ảnh để nhận ra thời điểm này.
05. Ví dụ nguồn: từ tổng cần tính đến cả cặp giá trị
Cho phương trình 2x^2+4x-5=0, với hai nghiệm x_1,x_2. Biểu thức được chọn từ bài nguồn là
T=\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}+2026.
Biệt thức của phương trình gốc bằng 56>0. Chia phương trình cho 2, ta có S=-2,P=-5/2, nên các mẫu khác 0. Hai nghiệm gốc trái dấu vì tích âm.
Đặt a=2,b=-1. Khi ấy k=(-4-1)/(-5/2)=2. Hai phân thức lần lượt bằng y_i=2x_i-2. Tổng và tích mới:
U=2(-2)-4=-8,\qquad
V=\frac{4(-5/2)+2(-1)(-2)+1}{-5/2}=2.
Vì vậy hai phân thức là hai nghiệm của
y^2+8y+2=0,\qquad T=U+2026=2018.
Ta còn biết nhiều hơn tổng: tích V=2>0 cho hai ảnh cùng dấu, tổng U=-8<0 cho cả hai ảnh âm. Chúng phân biệt vì biệt thức mới bằng 64-8=56>0. Dù cặp gốc trái dấu, cặp ảnh lại cùng âm; dấu của một nghiệm riêng không được suy từ dấu của mẫu riêng.
Sau khi đã chứng minh, có thể kiểm tra bằng y=-4\pm\sqrt{14}. Hai số đều âm vì 14<16. Công thức đảo x=(y+2)/2 trả lại đúng hai nghiệm của phương trình nguồn.
Hai trục dùng cùng tỉ lệ, mỗi đơn vị dài 25 điểm ảnh, nhưng gốc 0 được đặt ở hai vị trí ngang khác nhau để hình vừa khung. Với x_1<x_2, ảnh tương ứng vẫn theo thứ tự ấy vì k=2>0; độ dài thật thỏa y_2-y_1=2(x_2-x_1).
06. Đổi một hệ số: cùng âm, trái dấu hay trùng nhau?
Đây là mô hình chuyển giao mới: giữ nguyên phương trình nguồn nhưng thay số -1 trong hai tử bằng một số thực m:
z_1=\frac{2x_1+m}{x_2},\qquad z_2=\frac{2x_2+m}{x_1}.
Mọi m thực đều được phép vì mẫu không đổi. Công thức chung cho
k=\frac{8-2m}{5},\qquad
U=\frac{4m-36}{5},\qquad V=-\frac25(m^2-4m-10).
Phương trình mới có biệt thức k^2D=56(m-4)^2/25, vì D=14. Nó có hai nghiệm phân biệt khi m\ne4. Tại m=4, cả hai ảnh bằng -2. Thứ tự được giữ khi m<4, đảo khi m>4.
Đặt m_-=2-\sqrt{14}, m_+=2+\sqrt{14}. Ta có m^2-4m-10=(m-m_-)(m-m_+). Vì \sqrt{14}<4, cả khoảng [m_-;m_+] nằm phía dưới 9, nên tổng U âm trên khoảng ấy.
- Nếu m_-<m<m_+, tích V>0, tổng U<0: cả hai ảnh âm, kể cả trường hợp chúng trùng nhau ở m=4.
- Nếu m=m_- hoặc m=m_+, tích bằng 0, tổng âm: đúng một ảnh bằng 0, ảnh kia âm. Không có hai ảnh cùng bằng 0.
- Nếu m<m_- hoặc m>m_+, tích V<0: hai ảnh trái dấu. Trong họ này không có cặp ảnh cùng dương.
Đây là phân loại đầy đủ vì các miền vừa nêu phủ toàn bộ trục số và không chồng lên nhau. Điều kiện dấu của tích chỉ được dùng sau khi biết các ảnh là số thực. Ví dụ m=9 cho tổng 0, tích -14, nên hai ảnh là -\sqrt{14},\sqrt{14}, không phải cả hai bằng 0.
07. Tự kiểm tra và phản ví dụ
Thử 1. Với cặp nghiệm nguồn, đặt u=x_1/x_2,v=x_2/x_1. Lập phương trình của u,v, rồi kiểm tra quan hệ nghịch đảo.
Xem lời giải đầy đủ
Chọn a=1,b=0. Khi ấy k=S/P=4/5, U=kS-2=-18/5, V=1. Phương trình là y^2+(18/5)y+1=0, hay 5y^2+18y+5=0. Hai ảnh khác 0 và có tích 1, nên nghịch đảo nhau. Chúng đều âm, không thể suy từ tích 1 rằng chúng đều dương.
Thử 2. Cho cặp nghiệm kép của x^2-2x+1=0, chọn a=2,b=1. Hai ảnh bằng nhau có buộc k=0 không?
Xem lời giải
Không. S=2,P=1,D=0,k=5. Hai nghiệm gốc đều bằng 1, hai ảnh đều bằng 3; phương trình mới là (y-3)^2=0. Điều kiện “ảnh trùng khi và chỉ khi k=0” chỉ đúng khi cặp gốc phân biệt.
Thử 3. Nếu phương trình gốc là x^2-x=0, chọn a=b=0, có thể kết luận hai phân thức đều bằng 0 không?
Xem lời giải
Không. Hai nghiệm là 0,1; một trong hai phân thức có dạng 0/0, không xác định. Điều kiện P\ne0 là điều kiện của bài toán ban đầu, nên phải kiểm tra trước mọi phép rút gọn.
Thử 4. Trong họ có tham số m, muốn tổng hai ảnh bằng -4 thì có tồn tại không, và hai ảnh có phân biệt không?
Xem lời giải và chiều đảo
Giải (4m-36)/5=-4 được duy nhất m=4. Giá trị này được phép vì hai mẫu khác 0; thay vào thật sự cho hai ảnh -2,-2, tổng -4. Vậy yêu cầu chỉ về tổng có một nghiệm tham số, nhưng thêm yêu cầu hai ảnh phân biệt thì không có nghiệm.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện