Rút gọn có miền: từ căn thức đến hệ số parabol
Phân biệt công thức và miền xác định, tìm đúng tập giá trị sau rút gọn, rồi xác định parabol qua một điểm mà không bỏ qua trường hợp đặc biệt.
TOÁN THCS · CĂN THỨC, TẬP GIÁ TRỊ VÀ HÀM SỐ
Rút gọn có miền: từ căn thức đến hệ số parabol
Phân biệt công thức và miền xác định, tìm đúng tập giá trị sau rút gọn, rồi xác định parabol qua một điểm mà không bỏ qua trường hợp đặc biệt.
1. Một công thức gọn luôn đi cùng một miền
Bài học này nối hai việc tưởng khác nhau: rút gọn biểu thức chứa căn và tìm hệ số của parabol đi qua một điểm. Cả hai đều cần đọc đúng điều kiện trước khi chia, thay số hoặc bình phương.
Để có một biểu thức đầu vào hoàn chỉnh, ta xét ví dụ độc lập
B(x)=\frac{2(\sqrt x-2)}{x-4}.
Mục tiêu là rút gọn, xác định chính xác các giá trị của B, rồi dùng một giá trị hợp lệ làm hệ số của đồ thị. Các ví dụ hàm số y=ax^2 qua (2,6) và qua (-3,12) sẽ được xét riêng với điều kiện của từng bài.
Dự đoán: x=0 và x=4 có vai trò giống nhau không? Nếu công thức cuối cùng vẫn tính được ở 4, có thể xem B(4) là số đó không?
2. Đặt căn làm ẩn phụ nhưng giữ cả chiều ngược
Để \sqrt x có nghĩa trong số thực cần x\ge0; mẫu x-4\ne0 đòi hỏi x\ne4. Vì vậy miền là
D=\{x\in\mathbb R\mid x\ge0,\ x\ne4\}.
Đặt t=\sqrt x. Khi đó t\ge0, t\ne2, và x=t^2. Ngược lại, mỗi t\ge0,\ t\ne2 cho đúng một x=t^2\in D, vì \sqrt{t^2}=t khi t\ge0. Nếu quên điều kiện t\ge0, phép đặt ẩn phụ sẽ đưa thêm những giá trị không phải căn số học.
Phân tích mẫu:
x-4=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)=(t-2)(t+2).
Trên miền đã khóa, t-2\ne0, nên
B(x)=\frac{2(t-2)}{(t-2)(t+2)}=\frac2{t+2}=\frac2{\sqrt x+2},\qquad x\in D.
Mẫu cuối t+2 luôn dương; điều đó không xóa điều kiện t\ne2 đã đến từ biểu thức ban đầu.
3. Giá trị bằng nhau trên một miền khác với hai hàm hoàn toàn giống nhau
Đặt g(x)=2/(\sqrt x+2), với miền tự nhiên x\ge0. Ta có B(x)=g(x) tại mọi x\in D. Nhưng g(4)=1/2, trong khi B(4) không xác định vì biểu thức gốc có dạng 0/0. Hai công thức với hai miền này không mô tả cùng một hàm trên toàn bộ [0; +\infty).
Trái lại, x=0 được phép ngay từ đầu:
B(0)=\frac{2(0-2)}{0-4}=1,\qquad g(0)=\frac2{0+2}=1.
Không có mẫu \sqrt x trong biểu thức gốc, nên không được tự loại 0 chỉ vì thấy căn thức.
Chấm tại x=0 được tô kín vì đầu vào 0 hợp lệ. Chấm tại x=4 để trống: công thức g có giá trị ở đó, nhưng B không có. Hình chỉ hiển thị phần có 0\le x\le16; hàm vẫn được xét với x>16.
Một điểm bị loại ở biểu thức gốc vẫn bị loại sau rút gọn. Gán thêm giá trị tại đó là tạo một hàm mở rộng, cần nói rõ là một đối tượng khác.
4. Tập giá trị: chứng minh cả có cận và đạt được mọi giá trị cho phép
Vì t=\sqrt x\ge0, mẫu t+2\ge2, nên
0<B(x)\le1.
Dấu bằng B=1 xảy ra đúng khi t=0, tức x=0. Ngoài ra, B=1/2 sẽ cho t+2=4, tức t=2, bị loại. Vậy giá trị 1/2 bị khuyết ở giữa khoảng.
Để chứng minh không còn giá trị nào bị thiếu, lấy b thỏa 0<b\le1,\ b\ne1/2. Đặt
t=\frac2b-2,\qquad x=\left(\frac2b-2\right)^2.
Do b\le1, ta có t\ge0; do b\ne1/2, ta có t\ne2, nên x\in D. Thay vào công thức rút gọn cho B(x)=b. Tập giá trị chính xác là
\{b\in\mathbb R\mid 0<b\le1,\ b\ne1/2\}.
Vì sao mỗi giá trị chỉ đến từ một đầu vào?
Nếu x_1<x_2 và cả hai thuộc D, thì \sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}. Hai mẫu dương được sắp tăng, nên hai nghịch đảo được sắp giảm:
B(x_1)>B(x_2).
Do đó B giảm nghiêm ngặt trên miền của nó và không nhận cùng một giá trị ở hai đầu vào khác nhau. Giá trị lớn nhất là 1, đạt tại 0. Không có giá trị nhỏ nhất: chọn t lớn hơn nữa sẽ luôn cho một giá trị dương nhỏ hơn; 0 không bao giờ đạt.
5. Bình phương chỉ sau khi kiểm tra dấu
Tìm x để B(x)=2/3. Trên miền D:
\frac2{\sqrt x+2}=\frac23,\qquad \sqrt x+2=3,\qquad\sqrt x=1.
Vế phải không âm, nên bình phương tương đương với x=1. Giá trị này hợp lệ và biểu thức gốc cho B(1)=2/3.
Nếu yêu cầu B(x)=1/2, ta nhận ứng viên x=4, bị loại; phương trình vô nghiệm. Nếu yêu cầu B(x)=1, ta nhận x=0, được phép và là nghiệm duy nhất.
Phản ví dụ cho bình phương quá sớm: Yêu cầu B(x)=2 dẫn đến \sqrt x=-1, vô nghiệm. Nếu vẫn bình phương rồi nhận x=1, ta đã thêm nghiệm sai: B(1)=2/3\ne2. Tập giá trị ở phần trước cũng cho biết ngay số 2 không thể xuất hiện.
Một quy tắc đầy đủ cho phương trình B(x)=b
Có đúng một nghiệm x=(2/b-2)^2 khi 0<b\le1 và b\ne1/2. Với mọi b khác, vô nghiệm. Công thức riêng lẻ chưa đủ; điều kiện của nó bảo đảm căn số học không bị thay bằng một số âm và đầu vào không rơi vào 4.
6. Đi qua một điểm nghĩa là hai tọa độ cùng thỏa phương trình
Xét họ hàm số y=ax^2. Nếu a\ne0, đồ thị là parabol có đỉnh tại gốc tọa độ và trục đối xứng là trục tung. Nếu a=0, đồ thị là đường thẳng y=0, nên cần tách ra khi yêu cầu một parabol không suy biến.
Parabol đi qua M(2,6) khi
6=a\cdot2^2=4a,\qquad a=\frac32.
Vì hoành độ 2\ne0, được chia cho 4, nên hệ số được xác định duy nhất. Giá trị a=3/2>0, đồ thị mở lên: y\ge0, với giá trị nhỏ nhất 0 tại x=0. Thay lại x=2 cho y=6.
Điểm (-2,6) cũng thuộc đồ thị vì (-2)^2=2^2. Khác với hàm B giảm nghiêm ngặt ở trên, hàm y=ax^2 trên toàn trục số có thể nhận cùng một tung độ tại hai hoành độ đối nhau.
Hai trục có thang đo riêng: một đơn vị ngang và một đơn vị dọc không cần có cùng độ dài trên bản vẽ. Cả M và N đều thỏa cùng phương trình y=3x^2/2.
7. Khi nào một điểm xác định được hệ số?
Cho một điểm (u,v). Điều kiện thuộc đồ thị là v=au^2. Có ba trường hợp cơ bản:
- u\ne0: hệ số duy nhất a=v/u^2. Nếu còn yêu cầu parabol không suy biến, cần v\ne0; nếu v=0, chỉ có a=0, là đường thẳng.
- u=0,\ v=0: phương trình 0=a\cdot0 đúng với mọi a. Chỉ biết đồ thị qua gốc không xác định hệ số.
- u=0,\ v\ne0: phương trình v=0 vô lí, không có hệ số nào.
Ví dụ hai parabol y=x^2 và y=-2x^2 đều qua (0,0), nhưng mở khác hướng. Đây là phản ví dụ cho câu “một điểm bất kì luôn xác định được a”.
Hai điểm có thể đưa ra hai hệ số mâu thuẫn
Nếu hai điểm có hoành độ khác 0, chúng cùng nằm trên một đồ thị dạng y=ax^2 khi và chỉ khi hai tỉ số v_1/u_1^2 và v_2/u_2^2 bằng nhau. Nếu muốn parabol, giá trị chung phải khác 0. Chiều thuận do cả hai tỉ số đều bằng a; chiều ngược lấy giá trị chung làm a và thế lại hai điểm.
8. Chuyển giao: một điểm mới có thể xác định một parabol mới
Tìm a để một parabol y=ax^2 đi qua (-3,12), rồi xác định hướng mở. Đây là một bài toán mới, chưa buộc đồ thị phải đi qua (2,6) của phần trước.
Gợi ý và lời giải
Phải bình phương cả hoành độ âm:
12=a(-3)^2=9a,\qquad a=\frac43>0.
Vậy parabol mở lên. Nếu thay điểm thành (-3,-12), hệ số là -4/3<0, đồ thị mở xuống; khi đó y\le0, lớn nhất bằng 0 tại gốc.
Không có một parabol dạng y=ax^2 vừa đi qua (2,6) vừa đi qua (-3,12), bởi 6/4=3/2 khác 12/9=4/3. Thật vậy, đồ thị đầu cho tung độ (3/2)\cdot9=27/2 ở hoành độ -3, không phải 12.
Hoành độ âm không làm hệ số âm: dấu của a=v/u^2 theo dấu tung độ v, vì u^2>0. Nhầm (-3)^2 thành -9 sẽ đảo hướng mở của parabol.
9. Ghép hai ý tưởng thành một bài toán có miền tham số
Ví dụ độc lập: chọn c\in D, rồi lấy hệ số a=B(c) để dựng đồ thị
y=B(c)z^2.
Ở đây c là tham số cố định, còn z là biến ngang trên đồ thị. Tập giá trị của B cho biết 0<a\le1, a\ne1/2; do đó mọi đồ thị trong họ này đều là parabol mở lên, nhưng không phải mọi parabol mở lên đều thuộc họ.
Muốn đồ thị qua (2,8/3), cần 4B(c)=8/3, tức B(c)=2/3. Phần trước cho nghiệm duy nhất c=1, hợp lệ. Muốn qua (2,2), phải có B(c)=1/2, không thể. Muốn qua (2,4), cần B(c)=1, đạt được tại c=0.
Tổng quát hóa điểm có hoành độ 2
Điểm (2,v) thuộc đúng một đồ thị trong họ trên khi và chỉ khi 0<v\le4 và v\ne2. Khi đó B(c)=v/4, nên
c=\left(\frac8v-2\right)^2.
Điều kiện v\le4 bảo đảm 8/v-2\ge0; loại v=2 bảo đảm c\ne4. Ví dụ điểm (2,6) xác định một parabol trong họ tự do y=az^2, nhưng không thuộc họ có hệ số bị giới hạn a=B(c), vì cần a=3/2>1.
10. Ba câu phải trả lời trước khi chốt kết quả
- Công thức đang dùng có miền nào? Điểm bị loại là do căn hay do mẫu số?
- Phép đổi ẩn hoặc bình phương có thể đảo ngược không, và điều kiện dấu nằm ở đâu?
- Hệ số hàm số được tự do chọn hay bị ràng buộc bởi một biểu thức có tập giá trị riêng?
Giữ được ba thông tin này giúp một công thức ngắn gọn vẫn mang đầy đủ ý nghĩa của biểu thức và bài toán ban đầu.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu