Viète không giải nghiệm: hạ bậc, phân thức và dấu căn
Dùng tổng và tích nghiệm để hạ bậc biểu thức, định vị nghiệm, kiểm tra mẫu số và xử lí căn bậc hai đúng dấu qua các chứng minh đầy đủ.
TOÁN 9 · VIÈTE VÀ TƯ DUY ĐẠI SỐ
Viète không giải nghiệm: hạ bậc, phân thức và dấu căn
Dùng tổng và tích nghiệm để hạ bậc biểu thức, định vị nghiệm, kiểm tra mẫu số và xử lí căn bậc hai đúng dấu qua các chứng minh đầy đủ.
1. Không giải nghiệm nghĩa là biết đủ để biến đổi
Cho phương trình
x^2-5x+1=0.
Ta sẽ tính các biểu thức được định nghĩa đầy đủ trong bài mà không dùng công thức nghiệm để tìm riêng từng nghiệm. Hai công cụ chính là tổng, tích của hai nghiệm và chính phương trình mà mỗi nghiệm thỏa mãn. Khi xuất hiện căn bậc hai hoặc mẫu số, còn cần biết dấu và vị trí của nghiệm.
Quy trình: kiểm tra có nghiệm thực; đặt tổng và tích; kiểm tra miền xác định; hạ bậc hoặc tạo biểu thức đối xứng; xử lí dấu; cuối cùng kiểm tra kết quả. Một giá trị số chỉ có ý nghĩa khi biểu thức cần tính đã được nêu rõ.
Ta có \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot1=21>0, nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Trong toàn bài quy ước x_1<x_2. Quy ước thứ tự đặc biệt cần thiết khi dùng x_2-x_1 hoặc bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
2. Viète là hệ quả của phép nhân hai nhân tử
Vì x_1,x_2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số đầu bằng 1, ta có
x^2-5x+1=(x-x_1)(x-x_2).
Khai triển vế phải được x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. So sánh hệ số, đặt
s=x_1+x_2=5,\qquad p=x_1x_2=1.
Với phương trình tổng quát ax^2+bx+c=0, a\ne0, nếu có hai nghiệm thực tính cả trường hợp nghiệm kép, ta phân tích a(x-x_1)(x-x_2) để suy ra s=-b/a, p=c/a. Điều kiện có nghiệm thực phải được xét trước khi nói về căn, dấu hoặc thứ tự của nghiệm.
Tổng bình phương không phải bình phương tổng
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=s^2-2p=23.
Hạng 2x_1x_2 không tự mất đi. Phản ví dụ đơn giản: với u=v=1, u^2+v^2=2 nhưng (u+v)^2=4.
Không tìm từng nghiệm, tính (x_2-x_1)^2, rồi giải thích vì sao x_2-x_1 là căn dương.
Gợi ý và lời giải
(x_2-x_1)^2=s^2-4p=25-4=21.
Vì đã quy ước x_2>x_1, hiệu dương. Do đó x_2-x_1=\sqrt{21}. Nếu chưa quy ước thứ tự, chỉ được kết luận |x_2-x_1|=\sqrt{21}.
Chuyển giao. Biểu thức không đổi khi hoán vị x_1,x_2 được gọi là đối xứng. Tổng, tích, tổng bình phương đều đối xứng; hiệu x_2-x_1 thì đổi dấu. Khi một đề không đánh thứ tự nghiệm, hãy cảnh giác với kết quả phụ thuộc thứ tự.
3. Định vị nghiệm mà không viết công thức nghiệm
Bước 1: hai nghiệm đều dương
Tích p=1>0 cho biết hai nghiệm khác 0 và cùng dấu. Tổng s=5>0 loại khả năng cả hai âm. Vậy x_1,x_2>0. Chỉ biết tổng dương chưa đủ: hai số -1,6 có tổng 5 nhưng một số âm.
Bước 2: số 1 nằm giữa hai nghiệm
(x_1-1)(x_2-1)=p-s+1=-3<0.
Hai thừa số trái dấu. Do x_1<x_2, bắt buộc x_1-1<0<x_2-1, nên x_1<1<x_2. Kết hợp với tính dương, rồi dùng x_2=5-x_1, ta có
0<x_1<1,\qquad4<x_2<5.
Vị trí đánh dấu phù hợp với phương trình. Các khoảng được chứng minh bằng tổng và tích, không lấy từ việc đo trên hình.
Nhờ các khoảng này, ta kiểm tra được nhiều điều kiện cùng lúc: x_i\ne0, x_i+1>0, x_i-1\ne0. Đồng thời |x_1-1|=1-x_1 nhưng |x_2-1|=x_2-1.
Chuyển giao: kiểm tra vị trí so với một số t
Với hai nghiệm thực của x^2-sx+p=0,
(x_1-t)(x_2-t)=t^2-st+p.
Nếu vế phải âm, t nằm giữa hai nghiệm. Nếu bằng 0, t là một nghiệm. Nếu dương, t nằm ngoài đoạn nối hai nghiệm, nhưng muốn biết nằm bên trái hay bên phải cần thêm thông tin. Ví dụ t=0 và t=6 đều cho tích dương trong bài này, nhưng ở hai phía khác nhau.
4. Hạ bậc bằng phương trình của từng nghiệm
Vì x_i là nghiệm, với i=1,2 ta có
x_i^2-5x_i+1=0\quad\Rightarrow\quad x_i^2=5x_i-1.
Đây là đẳng thức đúng tại các nghiệm, không phải đồng nhất thức đúng với mọi số thực. Chẳng hạn x=0 không thỏa x^2=5x-1. Khi biến đổi biểu thức theo nghiệm, ta có quyền thay vì đã có giả thiết tương ứng.
Ví dụ: đưa lập phương về bậc nhất
x_i^3=x_i(5x_i-1)=5x_i^2-x_i=24x_i-5.
Cộng cho hai nghiệm:
x_1^3+x_2^3=24(x_1+x_2)-10=110.
Có thể kiểm tra bằng cách khác: x_1^3+x_2^3=s^3-3ps=125-15=110. Hai cách độc lập cho cùng kết quả giúp phát hiện lỗi hệ số.
Ví dụ: phân thức theo một nghiệm
Xét F_i=(x_i^2+1)/x_i. Mẫu khác 0 vì p=1. Phương trình cho x_i^2+1=5x_i, nên F_i=5, không phụ thuộc việc chọn nghiệm nào. Tương đương, mỗi nghiệm thỏa x_i+1/x_i=5.
Hạ bậc không có nghĩa mọi biểu thức theo một nghiệm đều bằng nhau. Ví dụ x_i^2-4x_i=x_i-1; hai nghiệm khác nhau nên hai giá trị này khác nhau. Chỉ khi hệ số của x_i biến mất, hoặc có thêm cấu trúc đặc biệt, mới có thể kết luận giá trị chung.
Chuyển giao: công thức cho tổng lũy thừa
Đặt S_n=x_1^n+x_2^n, với n nguyên không âm. Ta có S_0=2, S_1=5. Nhân x_i^2=5x_i-1 với x_i^{n-2}, rồi cộng theo hai nghiệm, được với n\ge2:
S_n=5S_{n-1}-S_{n-2}.
Do đó S_2=23, S_3=110, S_4=527. Công thức này xuất phát từ phương trình nghiệm; không phải một dãy số được đoán qua vài giá trị.
5. Phân thức đối xứng: điều kiện trước, quy đồng sau
Tính biểu thức được định nghĩa
R=\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}.
Vì cả hai nghiệm dương, các mẫu x_1+1,x_2+1 đều dương. Quy đồng giữ đúng cặp tử và mẫu:
R=\frac{x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}.
Tử số là x_1^2+x_2^2+x_1+x_2=23+5=28. Mẫu số là p+s+1=7. Vậy R=4.
Nếu đổi tử số thành 1 trong cả hai phân số, kết quả là bao nhiêu? Vì sao không thể cộng tử rồi cộng mẫu?
Lời giải và phản ví dụ
\frac1{x_1+1}+\frac1{x_2+1}=\frac{s+2}{p+s+1}=\frac77=1.
Quy tắc cộng tử rồi cộng mẫu không đúng: 1/2+1/3=5/6, không phải 2/5. Khi quy đồng, mỗi tử phải được nhân với mẫu của phân số còn lại.
Mẫu có thể âm nhưng không được bằng không
Xét
Q=\frac1{x_1-1}+\frac1{x_2-1}.
Vì (x_1-1)(x_2-1)=-3\ne0, cả hai phân số xác định. Do đó
Q=\frac{s-2}{p-s+1}=\frac3{-3}=-1.
Một mẫu âm không làm phân thức vô nghĩa. Điều cần kiểm tra là mẫu khác 0; nếu còn căn bậc hai thì phải xét thêm điều kiện của biểu thức dưới căn.
Chuyển giao: một mẫu chung có tham số
Với số thực t, hai mẫu x_1+t,x_2+t đều khác 0 khi và chỉ khi
p+st+t^2\ne0.
Trong điều kiện đó,
\frac1{x_1+t}+\frac1{x_2+t}=\frac{s+2t}{p+st+t^2}.
Không được dùng công thức ở những t làm mẫu bằng 0. Điều kiện này được kiểm tra trên biểu thức ban đầu, trước khi có thể xảy ra việc rút gọn một nhân tử.
6. Căn bậc hai: dấu giá trị tuyệt đối là bắt buộc
Với mọi số thực u, căn bậc hai số học luôn không âm, nên
\sqrt{u^2}=|u|=\begin{cases}u,&u\ge0,\\-u,&u<0.\end{cases}
Ví dụ \sqrt{(-3)^2}=3, không phải -3. Việc nhận ra một bình phương dưới căn mới là nửa đầu của lời giải; nửa sau là xác định dấu của biểu thức được bình phương.
Trường hợp dấu đã biết: căn của bình phương nghiệm
Phương trình cho 5x_i-1=x_i^2\ge0, nên các căn \sqrt{5x_i-1} xác định. Vì x_i>0,
\sqrt{5x_1-1}+\sqrt{5x_2-1}=|x_1|+|x_2|=x_1+x_2=5.
Trường hợp hai dấu trái nhau
Tính
H=\sqrt{(x_1-1)^2}+\sqrt{(x_2-1)^2}.
Ta đã chứng minh x_1<1<x_2, vì thế
H=(1-x_1)+(x_2-1)=x_2-x_1=\sqrt{21}.
Nếu bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở cả hai hạng, sẽ thu được x_1+x_2-2=3, sai vì hạng đầu thực chất là 1-x_1. Không thể sửa lỗi này bằng cách chỉ kiểm tra tổng cuối cùng có dương hay không.
Chuyển giao: tổng khoảng cách đến một điểm t
Biểu thức |x_1-t|+|x_2-t| là tổng khoảng cách từ t đến hai nghiệm trên trục số. Với x_1\le t\le x_2, tổng luôn bằng x_2-x_1. Nếu t<x_1, tổng bằng x_1+x_2-2t; nếu t>x_2, tổng bằng 2t-x_1-x_2. Vì vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách bằng \sqrt{21}, đạt tại mọi t trong đoạn [x_1;x_2], không chỉ tại trung điểm.
7. Một ví dụ phối hợp: hạ bậc, xét dấu, rồi quy đồng
Vẫn với hai nghiệm đã quy ước, xét biểu thức mới được định nghĩa rõ:
B=\frac{\sqrt{3x_1}}{1+x_1}+\frac{\sqrt{3x_2}}{1+x_2}.
Các căn và mẫu đã xác định chưa? Từ x_i^2=5x_i-1, làm sao biến 3x_i thành bình phương?
Gợi ý từng bước
- Hai nghiệm dương, nên 3x_i>0 và 1+x_i>0.
- Ta có (x_i-1)^2=x_i^2-2x_i+1=3x_i.
- Vì x_1<1<x_2, hai căn lần lượt bằng 1-x_1 và x_2-1.
- Quy đồng hai phân thức rồi dùng s,p và hiệu dương của hai nghiệm.
Lời giải đầy đủ
Từ các điều kiện và đẳng thức trên,
B=\frac{1-x_1}{1+x_1}+\frac{x_2-1}{1+x_2}.
Mẫu chung bằng (1+x_1)(1+x_2)=1+s+p=7. Tử số bằng
\begin{aligned}&(1-x_1)(1+x_2)+(x_2-1)(1+x_1)\\&=1+x_2-x_1-p+x_2-1+p-x_1\\&=2(x_2-x_1)=2\sqrt{21}.\end{aligned}
Vậy
\boxed{B=\frac{2\sqrt{21}}7}.
Kiểm tra định tính: các hạng ban đầu đều dương, nên B>0. Hơn nữa |x_i-1|<x_i+1 do x_i>0, nên mỗi phân số nhỏ hơn 1 và B<2. Kết quả vừa tìm thỏa cả hai điều kiện.
Nếu sai lầm lấy \sqrt{3x_i}=x_i-1 cho cả hai nghiệm, tổng sẽ rút gọn thành 0. Điều này mâu thuẫn ngay với việc hai hạng ban đầu dương. Kiểm tra dấu không thay chứng minh, nhưng có thể phát hiện nhanh một kết quả không thể đúng.
8. Luyện chuyển giao, có gợi ý trước lời giải
Bài A: nhận ra nghịch đảo
Tính 1/x_1^2+1/x_2^2 mà không tìm từng nghiệm.
Gợi ý
Tích hai nghiệm bằng 1. Có thể đổi mỗi nghịch đảo thành nghiệm còn lại, hoặc quy đồng trực tiếp.
Lời giải
Vì x_1x_2=1, ta có 1/x_1=x_2, 1/x_2=x_1. Do đó tổng cần tìm bằng x_2^2+x_1^2=23. Cách quy đồng cũng cho (s^2-2p)/p^2=23.
Bài B: thay phương trình, giữ phương pháp
Cho hai nghiệm u<v của x^2-4x+1=0. Tính \sqrt{(u-1)^2}+\sqrt{(v-1)^2}.
Gợi ý
Kiểm tra nghiệm thực, lấy tổng và tích; xét (u-1)(v-1) để biết có được bỏ căn cùng dấu hay không.
Lời giải
Biệt thức bằng 12>0. Viète cho u+v=4, uv=1. Vì (u-1)(v-1)=1-4+1=-2<0, ta có u<1<v. Tổng căn bằng 1-u+v-1=v-u. Hiệu dương thỏa (v-u)^2=4^2-4=12, nên kết quả là \sqrt{12}=2\sqrt3.
Bài C: khi nào một căn theo tham số xác định?
Với hai nghiệm x_1,x_2 của phương trình đầu bài và một số thực t, xét C(t)=\sqrt{x_1^2-2tx_1+t^2}+\sqrt{x_2^2-2tx_2+t^2}. Tìm giá trị nhỏ nhất của C(t).
Gợi ý
Mỗi biểu thức dưới căn là một bình phương. Diễn giải các căn thành khoảng cách trên trục số.
Lời giải
Cả hai căn xác định với mọi t thực vì các biểu thức dưới căn là (x_i-t)^2. Ta có C(t)=|x_1-t|+|x_2-t|\ge|x_2-x_1|=\sqrt{21}. Có thể chứng minh bất đẳng thức bằng ba trường hợp vị trí của t như phần 6. Dấu bằng xảy ra đúng khi x_1\le t\le x_2, nên giá trị nhỏ nhất là \sqrt{21}.
9. Bảng kiểm trước khi kết luận
- Nghiệm có tồn tại không? Kiểm tra hệ số đầu khác 0 và biệt thức phù hợp.
- Thứ tự có quan trọng không? Nếu dùng hiệu nghiệm hoặc xét dấu, ghi rõ quy ước.
- Biểu thức đã xác định chưa? Kiểm tra mọi mẫu khác 0, mọi căn có biểu thức dưới căn không âm.
- Phép thay có căn cứ không? Đẳng thức x_i^2=5x_i-1 chỉ dùng vì x_i là nghiệm.
- Đã giữ dấu giá trị tuyệt đối chưa? \sqrt{U^2}=|U|, sau đó mới xét dấu U.
- Có cách kiểm tra độc lập không? Dùng dấu, khoảng giá trị, phép biến đổi thứ hai hoặc thay gần đúng để phát hiện sai; phép thử số không thay thế chứng minh.
Mục tiêu của Viète là khai thác đúng lượng thông tin cần thiết. Ta không biết riêng từng nghiệm bằng công thức nhưng vẫn kiểm soát được tổng, tích, hiệu, dấu, mẫu số và căn bậc hai.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu