Giảm giá hai mặt hàng: từ hệ phương trình đến kiểm tra dữ kiện
Hiểu phần trăm theo giá gốc, giải hệ bằng giỏ hàng giả định và chứng minh khi nào hai mức giảm xác định được hai giá dương.
TOÁN THCS · MÔ HÌNH PHẦN TRĂM VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Giảm giá hai mặt hàng: từ hệ phương trình đến kiểm tra dữ kiện
Hiểu phần trăm theo giá gốc, giải hệ bằng giỏ hàng giả định và chứng minh khi nào hai mức giảm xác định được hai giá dương.
1. Hai giá khác nhau cần hai câu hỏi khác nhau
Một vali giảm 25\%, một balô giảm 20\%. Tổng giá niêm yết là 1\,280\,000 đồng; tổng tiền thanh toán sau giảm là 981\,000 đồng. Hãy xác định tiền thực trả cho từng món.
Ta coi các số tiền đã cho là chính xác; mỗi mức giảm chỉ áp dụng một lần lên giá niêm yết của đúng mặt hàng, không có phí thêm, thuế thêm hay làm tròn trung gian. Hai món đều có giá niêm yết dương. Đây là các điều kiện giúp lời văn trở thành một mô hình xác định.
Dự đoán trước khi giải: Nếu toàn bộ giỏ hàng được giảm 20\%, ta sẽ trả bao nhiêu? Vali được giảm nhiều hơn mức đó nên tiền thật phải lớn hơn hay nhỏ hơn con số vừa dự đoán?
Bài học xoay quanh ba việc: gắn một đại lượng cụ thể cho mỗi ẩn, dùng mức giảm làm hệ số, rồi kiểm tra xem nghiệm đại số có thể là giá hàng thật hay không.
2. Phần trăm phải có một số làm gốc
Nếu một món niêm yết x đồng và giảm 25\%, tiền được giảm là \frac{25}{100}x; tiền còn trả là
x-\frac{25}{100}x=\frac34x=0{,}75x.
Tương tự, giảm 20\% để lại 0{,}8 lần giá ban đầu. Hai hệ số này đều nhân với giá trước giảm .
Ta chọn đơn vị nghìn đồng : gọi x là giá niêm yết vali, y là giá niêm yết balô. Khi đó x>0,\ y>0 và
\begin{cases}x+y=1280,\\0{,}75x+0{,}8y=981.\end{cases}
Dòng đầu cộng hai giá gốc. Dòng sau cộng hai số tiền thực trả. Chẳng hạn 0{,}25x+0{,}2y là tổng tiền được giảm, không thể đặt bằng 981.
Phản ví dụ cho cách cộng mức giảm: Hai món cùng giá 100 nghìn đồng, giảm lần lượt 25\% và 20\%, thì tiết kiệm 25+20=45 nghìn trên tổng 200 nghìn. Tỉ lệ giảm cả giỏ là 22{,}5\%, không phải 45\%.
3. Khử một ẩn bằng một giỏ hàng giả định
Nếu cả hai món đều chỉ giảm 20\%, tổng thanh toán sẽ là
0{,}8(x+y)=0{,}8\cdot1280=1024.
Giỏ thật ít hơn giỏ giả định 1024-981=43 nghìn đồng. Phần chênh chỉ đến từ vali: vali được giảm thêm 5 điểm phần trăm trên chính giá gốc của nó. Vì vậy
0{,}8x+0{,}8y-(0{,}75x+0{,}8y)=0{,}05x=43.x=860,\qquad y=1280-860=420.
Đây chính là phép khử trong hệ phương trình, nhưng mỗi dòng có một ý nghĩa tiền bạc. Có thể dùng giỏ giả định giảm cả hai món 25\%: tổng giả định 960, chênh 981-960=21=0{,}05y, cũng cho y=420.
Gợi ý khi không biết nên nhân phương trình nào
Muốn mất y, hãy làm hệ số của y bằng nhau ở hai dòng. Vì dòng thanh toán có 0{,}8y, hãy nhân dòng tổng giá với 0{,}8. Viết rõ “dòng nào trừ dòng nào” để dấu của số tiền chênh khớp với dấu của hệ số.
4. Trả lời đúng đại lượng, rồi kiểm tra cả hai dữ kiện
Giá gốc tìm được chưa phải đại lượng được hỏi. Tiền thực trả là
\begin{aligned}\text{Vali: }&0{,}75\cdot860=645,\\\text{Balô: }&0{,}8\cdot420=336.\end{aligned}
Vậy trả 645 nghìn đồng cho vali, 336 nghìn đồng cho balô . Kiểm tra: giá gốc 860+420=1280; tiền trả 645+336=981. Tiền được giảm 215+84=299, đúng bằng 1280-981.
Hai thanh dùng cùng một tỉ lệ độ dài. Phần balô trả tiền ngắn hơn phần vali trả tiền, dù balô có tỉ lệ phải trả cao hơn.
Cũng có thể đặt ngay u,v là tiền thực trả, đơn vị nghìn đồng. Khi đó giá niêm yết tương ứng là u/0{,}75 và v/0{,}8, nên
\begin{cases}u+v=981,\\\frac{u}{0{,}75}+\frac{v}{0{,}8}=1280.\end{cases}
Cách đặt này hợp lệ vì các hệ số phải trả đều khác 0. Nó cho cùng kết quả (u,v)=(645,336), nhưng dùng giá gốc làm ẩn thường giúp hệ đơn giản hơn. Nếu một món giảm 100\%, không được chia tiền trả cho hệ số 0 để suy ra giá gốc.
5. Nghiệm duy nhất chưa chắc là một giá hàng hợp lí
Giữ tổng giá 1280, nhưng tạm cho tổng thanh toán là T, vẫn tính bằng nghìn đồng. Thay y=1280-x:
T=0{,}75x+0{,}8(1280-x)=1024-0{,}05x.
Điều kiện cả hai giá dương tương đương 0<x<1280. Do đó
960<T<1024.
Ngược lại, nếu 960<T<1024, công thức x=(1024-T)/0{,}05 cho 0<x<1280, và y=1280-x>0. Vậy bất đẳng thức trên là điều kiện cần và đủ để có hai giá gốc dương trong mô hình số thực này.
Trục đứng chỉ hiển thị vùng giá trị gần các số tiền đang xét; điểm đầu và cuối là điểm trống vì yêu cầu cả hai món có giá dương. Mỗi trục tính bằng nghìn đồng.
Kiểm tra một dữ kiện không thể xảy ra: Nếu ghi T=950, hệ vẫn có nghiệm đại số x=1480,\ y=-200. Giá âm vi phạm giả thiết. Khi ấy cần kiểm tra lại dữ kiện hoặc mô hình, không diễn giải -200 thành giá của balô.
Nếu cho phép một món có giá 0, hai dấu bất đẳng thức trở thành 960\le T\le1024. Nếu bắt buộc giá là số nguyên đồng hoặc bội của một mức tiền cụ thể, cần kiểm tra điều kiện rời rạc đó thêm; khoảng trên chỉ bảo đảm nghiệm thực dương.
6. Giảm trung bình là trung bình có trọng số
Đặt S=x+y>0, các tỉ lệ giảm viết dưới dạng số thập phân là p,q, với 0\le p,q\le1. Tổng tiền trả là
T=(1-p)x+(1-q)y.
Tỉ lệ giảm cả giỏ là
d=\frac{S-T}{S}=p\frac{x}{S}+q\frac{y}{S}.
Hai trọng số x/S và y/S dương, tổng bằng 1. Nếu p>q, viết d=q+(p-q)x/S cho thấy q<d<p. Với giỏ vali và balô:
d=\frac{299}{1280}=0{,}23359375,
tức giảm 23{,}359375\% tổng giá. Con số này gần 25\% hơn 20\%, vì giá gốc vali lớn hơn giá gốc balô.
Khi nào trung bình giản đơn (p+q)/2 lại đúng? Từ
d-\frac{p+q}{2}=\frac{(p-q)(x-y)}{2(x+y)},
ta có câu trả lời đầy đủ: đúng khi p=q hoặc x=y. Nếu hai mức giảm khác nhau và hai giá khác nhau, không được lấy trung bình cộng hai phần trăm.
7. Một công thức giải, ba trường hợp dữ kiện
Với S>0 và p\ne q, khử y=S-x trong mô hình tổng quát được
T=(1-q)S+(q-p)x,x=\frac{(1-q)S-T}{p-q},\qquad y=\frac{T-(1-p)S}{p-q}.
Nếu p>q, hai giá dương khi và chỉ khi (1-p)S<T<(1-q)S. Nếu p<q, đổi thứ tự hai cận. Lập luận “cần và đủ” giống phần trước: chiều thuận dùng 0<x<S; chiều ngược thay công thức rồi kiểm tra hai giá dương.
Nếu p=q, dòng thanh toán chỉ còn T=(1-p)S:
- Khi đẳng thức này đúng, mọi cặp x>0,\ y>0,\ x+y=S đều phù hợp. Ví dụ cùng giảm 20\%, S=1000,\ T=800: các cặp (400,600) và (700,300) đều đúng.
- Khi đẳng thức sai, không có cặp giá nào phù hợp; chẳng hạn S=1000,\ T=810 với cùng giảm 20\%.
Hai mức giảm khác nhau giúp tách hai giá bằng hệ tuyến tính. Điều đó không tự bảo đảm giá dương, giá nguyên đồng hay số liệu thực tế chính xác.
8. Chuyển giao: đổi câu hỏi và đổi độ chính xác
Áo và giày
Một áo giảm 10\%, một đôi giày giảm 20\%. Tổng giá niêm yết là 1000 nghìn đồng, tổng thanh toán 860 nghìn đồng. Tìm giá niêm yết từng món, rồi tiền trả từng món.
Gợi ý và lời giải
Giỏ giả định giảm cả hai món 20\% có giá 800. Áo được giảm ít hơn nên làm tổng thật tăng 60, bằng 0{,}1 giá áo. Cụ thể, với x,y lần lượt là giá gốc áo và giày:
\begin{cases}x+y=1000,\\0{,}9x+0{,}8y=860.\end{cases}
Lấy dòng thứ hai trừ 0{,}8 lần dòng thứ nhất:
0{,}1x=60,\qquad x=600,\quad y=400.
Tiền thanh toán: áo 540, giày 320, cộng lại 860 nghìn đồng. Viết ngược thứ tự phép trừ mà giữ nguyên dấu dương là một lỗi lập luận, dù tình cờ ghi được đáp số đúng.
Nếu hóa đơn được làm tròn?
Công thức giải dùng tổng thanh toán chính xác . Tính theo đồng, giữ tổng niêm yết 1\,280\,000, đổi giá vali từ 860\,000 thành 860\,004 và giá balô từ 420\,000 thành 419\,996. Tiền trả thật trở thành 980\,999{,}8 đồng, cũng làm tròn đến đồng thành 981\,000. Một tổng đã làm tròn có thể tương ứng nhiều cặp giá gốc.
Trong mô hình vali, khi giữ S cố định, hai dữ kiện chính xác chênh nhau \Delta T làm nghiệm giá vali chênh
\Delta x=-\frac{\Delta T}{0{,}05}=-20\Delta T.
Vì vậy không nên báo giá gốc “chính xác đến đồng” nếu chỉ biết tổng thanh toán đã làm tròn đến nghìn đồng.
Hai món giảm riêng khác một món giảm hai lần
Một món giảm liên tiếp 25\%, rồi 20\% trên giá đã giảm, còn 0{,}75\cdot0{,}8=0{,}6 giá gốc, tức giảm 40\%. Đây là phép nhân hệ số qua hai giai đoạn; không phải phép cộng tiền của hai món và cũng không phải giảm 45\%.
9. Tự giải thích để biết mình đã hiểu
- Hãy nói bằng lời vì sao 0{,}05x=43, trước khi thực hiện phép chia.
- Không giải hệ, hãy giải thích vì sao tổng trả 1030 nghìn đồng không thể phù hợp với giỏ ban đầu.
- Vì sao dữ kiện hai món cùng giảm 20\% không tách được hai giá gốc, ngay cả khi biết tổng thanh toán chính xác?
- Nếu đổi ẩn sang tiền thực trả, cần đổi phương trình tổng giá thế nào? Khi nào phép đổi này không đảo ngược được?
Điểm tự đối chiếu
Chênh 43 là khoản giảm thêm riêng của vali; 1030>1024 vượt mức trả lớn nhất cho phép; hai mức giảm bằng nhau làm hai phương trình phụ thuộc; dùng tổng u/0{,}75+v/0{,}8 để trở về giá gốc và không chia cho 0.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu