Tách căn lồng: điều kiện cần, cách dựng và miền giá trị
Chứng minh tiêu chuẩn tách một căn lồng thành hiệu hai căn, xử lí ngoại lệ số chính phương và theo dõi dấu trong mô hình có tham số.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Tách căn lồng: điều kiện cần, cách dựng và miền giá trị
Chứng minh tiêu chuẩn tách một căn lồng thành hiệu hai căn, xử lí ngoại lệ số chính phương và theo dõi dấu trong mô hình có tham số.
01. Nhận một bình phương và biết khi nào nên dừng
Thấy một căn lồng, ta có thể thử ghép nó thành bình phương của hiệu hai căn. Nhưng thử mãi các cặp số không phải một phương pháp đầy đủ. Một tiêu chuẩn theo tổng và tích sẽ cho biết khi nào cách tách ấy thực hiện được, đồng thời giải thích vì sao có những căn dương vẫn không tách được theo dạng đang tìm.
Ta xét trước A,B là các số nguyên không âm, với B không phải số chính phương , và biểu thức
X=\sqrt{A-2\sqrt B}.
Mục tiêu cụ thể là tìm u,v hữu tỉ, u\ge v\ge0, sao cho X=\sqrt u-\sqrt v. Giới hạn “hữu tỉ” là một phần của câu hỏi; nếu cho phép các số dưới căn mới cũng chứa căn lồng thì đó là một yêu cầu khác.
Hai bước phải tách biệt: kiểm tra X có là số thực không, rồi mới kiểm tra nó có viết được theo dạng mong muốn không.
02. Miền thực và hệ tổng, tích
Vì A\ge0, điều kiện A-2\sqrt B\ge0 tương đương A\ge2\sqrt B, rồi tương đương A^2\ge4B. Đặt
D=A^2-4B.
Nếu D<0, biểu thức X không có giá trị thực. Nếu D\ge0, căn xác định. Trong trường hợp B không chính phương, không thể có A=2\sqrt B, nên thực ra X>0.
Nếu tìm được hai số u\ge v\ge0 thỏa
u+v=A,\qquad uv=B,
thì (\sqrt u-\sqrt v)^2=A-2\sqrt B. Vì hiệu \sqrt u-\sqrt v không âm, nó đúng là căn bậc hai số học:
X=\sqrt u-\sqrt v.
Hai số có tổng A, tích B là nghiệm của z^2-Az+B=0, nên nếu tồn tại thì
u=\frac{A+\sqrt D}{2},\qquad v=\frac{A-\sqrt D}{2}.
Đến đây mới có một cách dựng đủ. Để biết rằng không bỏ sót cách tách nào khác, phải chứng minh cả điều kiện cần.
03. Vì sao mọi cách tách hữu tỉ đều phải theo tổng và tích?
Giả sử X=\sqrt u-\sqrt v, với u,v hữu tỉ, u\ge v\ge0. Bình phương hai vế:
u+v-2\sqrt{uv}=A-2\sqrt B.
Đặt c=(u+v-A)/2, là một số hữu tỉ. Ta có \sqrt{uv}=\sqrt B+c. Bình phương đẳng thức này được
uv=B+c^2+2c\sqrt B.
Nếu c\ne0, ta suy ra \sqrt B=(uv-B-c^2)/(2c) là số hữu tỉ, mâu thuẫn với việc B không chính phương. Vậy c=0, nên bắt buộc u+v=A, uv=B. Không thể chọn một tổng khác để né điều kiện.
Một bổ đề số học dùng ở đây
Nếu căn bậc hai của một số nguyên không âm là số hữu tỉ, nó phải là số nguyên. Thật vậy, viết \sqrt N=m/n dưới dạng tối giản, n>0, ta có m^2=Nn^2. Nếu n>1, lấy một số nguyên tố p là ước của n; khi ấy p là ước của m^2, nên cũng là ước của m, trái với phân số tối giản. Do đó n=1. Vì thế \sqrt B vô tỉ khi B không chính phương.
Từ hệ tổng, tích, (u-v)^2=D. Nếu u,v hữu tỉ thì \sqrt D=u-v hữu tỉ. Theo bổ đề, vì D nguyên không âm, \sqrt D phải là số nguyên. Vậy D phải là số chính phương.
04. Tiêu chuẩn hai chiều và tính duy nhất
Với A,B nguyên không âm, B không chính phương và D=A^2-4B\ge0, biểu thức \sqrt{A-2\sqrt B} viết được thành \sqrt u-\sqrt v, u\ge v\ge0 hữu tỉ, khi và chỉ khi D là số chính phương.
Chiều cần đã chứng minh. Với chiều đủ, viết D=d^2, d\ge0 nguyên. Chọn u=(A+d)/2, v=(A-d)/2. Vì D\le A^2, nên d\le A, do đó u\ge v\ge0. Hai số này có tổng A, tích (A^2-d^2)/4=B, nên tạo đúng bình phương cần tìm.
Hơn nữa, A,d cùng tính chẵn lẻ: hiệu A^2-d^2=4B chia hết cho 4, trong khi bình phương số chẵn chia hết cho 4, bình phương số lẻ chia 4 dư 1. Vậy u,v còn là số nguyên. Trong phạm vi này, cho phép các số dưới căn là hữu tỉ cũng không tạo thêm nghiệm phân số nào.
Cặp có thứ tự u\ge v là duy nhất vì công thức tổng, hiệu đã xác định nó. Nếu đổi thứ tự, hiệu căn âm, không bằng căn bậc hai số học dương. Nếu viết dưới dạng \sqrt{(\sqrt u-\sqrt v)^2}, trước hết phải lấy |\sqrt u-\sqrt v|, rồi mới dùng thứ tự để bỏ trị tuyệt đối.
Vì sao phải tách riêng B chính phương?
Ví dụ A=3,B=1 cho \sqrt{3-2\sqrt1}=1=\sqrt1-\sqrt0, dù D=5 không chính phương. Không có mâu thuẫn: \sqrt B hữu tỉ, nên lập luận buộc c=0 ở mục 03 không áp dụng.
Nếu B=b^2 với b\ge0 nguyên, hãy tính ngay A-2b. Nếu số này âm, căn không thực; nếu không âm, ta chỉ còn căn thường \sqrt{A-2b}, có thể viết dưới dạng \sqrt{A-2b}-\sqrt0. Không dùng tiêu chuẩn của trường hợp vô tỉ để bác bỏ nó.
05. Ví dụ nguồn và một căn không tách được
Chọn đầy đủ biểu thức từ bài nguồn:
E=\sqrt{8-2\sqrt7}-\frac6{\sqrt7-1}.
Ở phần căn lồng, A=8,B=7, D=64-28=36=6^2. Tiêu chuẩn cho u=7,v=1, nên \sqrt{8-2\sqrt7}=\sqrt7-1, vì 7>1. Mẫu \sqrt7-1 dương, và
(\sqrt7-1)(\sqrt7+1)=6\quad\Rightarrow\quad
\frac6{\sqrt7-1}=\sqrt7+1.
Do đó E=(\sqrt7-1)-(\sqrt7+1)=-2. Phép dùng liên hợp và phép tách căn đều dựa vào hiệu hai bình phương, nhưng mỗi phép có điều kiện riêng: mẫu khác 0 và hiệu căn có đúng dấu.
Xét ví dụ mới Y=\sqrt{5-2\sqrt3}. Vì 25>12, căn xác định và dương. Tuy nhiên D=13 không chính phương: 3^2<13<4^2. Vậy không có u\ge v\ge0 hữu tỉ để Y=\sqrt u-\sqrt v.
Kết luận chỉ bác bỏ dạng tách cụ thể đang xét. Nó không nói biểu thức vô nghĩa, không nói không thể tính gần đúng, và không bác bỏ mọi kiểu biểu diễn khác.
Ngược lại, với \sqrt{10-2\sqrt{21}}, ta có D=16, nên cặp duy nhất là u=7,v=3. Căn bằng \sqrt7-\sqrt3. Căn có dấu cộng tương ứng bằng \sqrt7+\sqrt3; tích hai căn là 7-3=4, cho một cách kiểm tra độc lập.
06. Chuyển sang tham số thực: dấu thay đổi ở đâu?
Mô hình mới sau đây cho tham số n thực, không còn giới hạn A,B nguyên như tiêu chuẩn trên:
F(n)=\sqrt{n+1-2\sqrt n}-\frac{n-1}{\sqrt n-1}.
Điều kiện chính xác là n\ge0,n\ne1: căn \sqrt n cần n\ge0, mẫu cần khác 0; còn n+1-2\sqrt n=(\sqrt n-1)^2 tự không âm. Trên miền ấy,
F(n)=|\sqrt n-1|-(\sqrt n+1).
Việc khử \sqrt n-1 dùng n\ne1. Tách hai miền dấu cho kết quả
\boxed{F(n)=\begin{cases}
-2\sqrt n,&0\le n<1,\\
-2,&n>1.
\end{cases}}
Với n=7, ta trở lại ví dụ nguồn. Nhưng nếu 0\le n<1, đáp số không còn luôn bằng -2. Chẳng hạn n=1/4 cho F(n)=-1. Còn n=1 vẫn bị loại dù biểu thức đã rút gọn có thể viết ra một giá trị ở đó.
Tỉ lệ ngang là 100 điểm ảnh cho một đơn vị n, tỉ lệ đứng 60 điểm ảnh cho một đơn vị giá trị. Nhánh cong được dựng chính xác bằng tham số n=t^2,F=-2t, 0\le t<1. Vòng tròn rỗng đánh dấu điểm bị loại.
07. Một điểm bị loại có luôn làm mất một giá trị?
Trên 0\le n<1, ta có -2<F(n)\le0. Mọi số c thỏa -2<c\le0 đạt được bằng lựa chọn duy nhất n=c^2/4: khi ấy 0\le n<1 và -2\sqrt n=-|c|=c.
Trên n>1, mọi tham số đều cho F(n)=-2. Vậy miền giá trị của toàn biểu thức là đoạn đóng
\boxed{-2\le F(n)\le0}.
Giá trị lớn nhất 0 đạt duy nhất tại n=0. Giá trị nhỏ nhất -2 đạt tại mọi n>1, dù điểm n=1 bị loại. Một lỗ trong miền xác định không nhất thiết tạo lỗ trong miền giá trị; cần xem có tham số khác cho cùng giá trị hay không.
Toàn bộ bài toán ngược F(n)=c đã được phân loại: không có nghiệm nếu c<-2 hoặc c>0; có đúng một nghiệm n=c^2/4 nếu -2<c\le0; có vô số nghiệm, đúng là tất cả n>1, nếu c=-2. Đây là bước kiểm tra chiều đủ của miền giá trị, không chỉ tìm một bất đẳng thức.
08. Tự kiểm tra
Thử 1. Tách \sqrt{9-2\sqrt{14}} theo tiêu chuẩn. Vì sao hiệu có đúng dấu?
Xem lời giải
D=81-56=25, nên u=(9+5)/2=7, v=(9-5)/2=2. Do 7>2, căn bằng \sqrt7-\sqrt2>0. Cặp có tổng 9, tích 14, xác nhận đúng bình phương.
Thử 2. Có thể viết \sqrt{4-2\sqrt2}=\sqrt u-\sqrt v với u\ge v\ge0 hữu tỉ không?
Xem lời giải
Căn dương vì 16>8, nhưng D=8 không chính phương. Vì B=2 không chính phương, tiêu chuẩn áp dụng và cho câu trả lời không. Việc D\ge0 chỉ bảo đảm căn thực, chưa bảo đảm các số mới dưới căn là hữu tỉ.
Thử 3. Tại sao không áp dụng tiêu chuẩn vừa học để bác bỏ \sqrt{6-2\sqrt4} khi D=20?
Xem lời giải
Vì B=4 là số chính phương. Tính trực tiếp được \sqrt{6-4}=\sqrt2=\sqrt2-\sqrt0. Giả thiết vô tỉ trong chứng minh điều kiện cần đã mất, nên tiêu chuẩn ấy không được dùng.
Thử 4. Giải F(n)=-3/2, rồi so với phương trình F(n)=-2.
Xem lời giải
Với -3/2\in(-2,0], nghiệm duy nhất là n=(9/4)/4=9/16, đúng miền [0,1). Với -2, mọi n>1 đều là nghiệm, và không có nghiệm nào ở [0,1). Điểm n=1 không được bổ sung.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện