Đọc dữ liệu đúng: tần số, tỉ lệ và xác suất
Phân biệt số lượng, tần số tương đối và xác suất; đọc ranh giới nhóm, kiểm tổng mẫu, nhận ra dữ liệu còn thiếu và chọn đúng không gian mẫu đồng khả năng.
TOÁN THCS · THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Đọc dữ liệu đúng: tần số, tỉ lệ và xác suất
Phân biệt số lượng, tần số tương đối và xác suất; đọc ranh giới nhóm, kiểm tổng mẫu, nhận ra dữ liệu còn thiếu và chọn đúng không gian mẫu đồng khả năng.
1. Cùng một con số, ba ý nghĩa khác nhau
“Có 30 củ thuộc một nhóm”, “nhóm đó chiếm 30\% mẫu” và “xác suất chọn vào nhóm là 30\%” không tự động là cùng một phát biểu. Phát biểu thứ nhất nói số lượng; phát biểu thứ hai cần biết tổng mẫu; phát biểu thứ ba còn cần mô tả cách chọn.
Bài học tách ba việc: đọc đúng dữ liệu theo nhóm; biến số lượng thành tỉ lệ có mẫu số rõ ràng; xây dựng xác suất từ một phép thử cụ thể. Mỗi kết luận cần nói rõ nó mô tả mẫu nào hoặc cơ chế ngẫu nhiên nào.
Một nhóm có 30 quan sát. Nếu tổng mẫu là 100, 200 hoặc chưa biết, kết luận về phần trăm có thay đổi không?
Đối chiếu dự đoán
Với tổng 100, tỉ lệ là 30/100=30\%. Với tổng 200, tỉ lệ là 30/200=15\%. Nếu chưa biết tổng, không thể xác định phần trăm chỉ từ số 30.
2. Đọc bảng nhóm trước khi tính tổng
Một nhóm học sinh đo chiều dài các củ trong một mẫu và ghi toàn bộ kết quả vào sáu nhóm sau. Đơn vị chiều dài là cm; mỗi củ được ghi đúng một lần, không có quan sát ngoài các nhóm đã nêu.
Nhóm chiều dài · Số củ
[15;16) · 8
[16;17) · 17
[17;18) · 30
[18;19) · 26
[19;20) · 14
[20;21) · 5
Kí hiệu [17;18) nghĩa là chiều dài L thỏa 17\le L<18. Dấu ngoặc vuông nhận đầu trái, dấu ngoặc tròn không nhận đầu phải. Một củ dài đúng 18 cm thuộc [18;19), không thuộc [17;18). Nhờ quy ước này, các nhóm liền kề không đếm trùng ranh giới.
Tổng số quan sát là
N=8+17+30+26+14+5=100.
Nhóm [17;18) có tần số 30. Nhóm này có tần số lớn nhất, nhưng điều đó không có nghĩa chiều dài xuất hiện nhiều nhất chính xác là 17, 17{,}5 hay một số cụ thể khác trong nhóm.
Độ dài thanh biểu thị tần số, không phải chiều dài của một củ cụ thể. Thanh xanh đậm là nhóm mục tiêu.
Biểu đồ dùng chung một thang số lượng cho mọi thanh, bắt đầu từ 0. Nhìn thanh giúp so sánh nhanh, còn bảng cho biết chính xác số liệu. Các nhóm có cùng độ rộng 1 cm; không tự dùng chiều dài thanh để suy ra dữ liệu bên trong mỗi nhóm.
Kiểm tra ranh giới nhóm
Giá trị 16 cm thuộc [16;17). Giá trị 17{,}99 cm thuộc [17;18). Giá trị 21 cm không thuộc nhóm cuối [20;21); nếu có một củ dài đúng 21 cm, cần bổ sung hoặc điều chỉnh nhóm chứ không tự nhét vào bảng hiện tại.
3. Tần số tương đối: số lượng chia cho đúng tổng
Với mẫu có N>0 quan sát và một nhóm có tần số n, tần số tương đối của nhóm là f=n/N. Có thể viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm. Trong dữ liệu này,
f_{[17;18)}=\frac{30}{100}=0{,}30=30\%.
Điều làm tần số 30 có cùng con số với phần trăm 30\% là tổng mẫu bằng 100. Đó là một trường hợp cụ thể, không phải quy tắc “tần số bao nhiêu thì phần trăm bấy nhiêu”.
Hai phép kiểm tra bắt buộc
Vì 0\le n\le N, luôn có 0\le f\le1, tương đương từ 0\% đến 100\%. Nếu các nhóm không trùng và phủ hết mẫu, tổng các tần số tương đối bằng
\frac8{100}+\frac{17}{100}+\frac{30}{100}+\frac{26}{100}+\frac{14}{100}+\frac5{100}=1.
Sáu tỉ lệ phần trăm lần lượt là 8\%,17\%,30\%,26\%,14\%,5\%, tổng 100\%. Nếu tổng khác hẳn 100\%, hãy kiểm số liệu hoặc mẫu số; nếu chỉ lệch rất nhỏ sau làm tròn, cần kiểm mức làm tròn trước khi kết luận sai.
Không chia tần số nhóm cho số nhóm 6, cũng không chia cho tổng các độ dài. Mẫu số của tần số tương đối là số quan sát. Với mẫu rỗng N=0, tần số tương đối không được định nghĩa bằng phép chia cho 0.
Chuyển giao: so sánh hai mẫu có cỡ khác nhau
Mẫu A có 30 củ mục tiêu trong 100 củ; mẫu B có 45 củ mục tiêu trong 200 củ. Mẫu B có nhiều củ mục tiêu hơn về số lượng, nhưng tỉ lệ 45/200=22{,}5\% nhỏ hơn 30\%. “Nhiều hơn” về số lượng và “chiếm tỉ lệ lớn hơn” là hai câu hỏi khác nhau.
4. Gộp nhóm và nhận ra giới hạn của dữ liệu
Khi nào được cộng tần số?
Các nhóm rời nhau nên có thể cộng để đếm một phạm vi gồm trọn nhiều nhóm:
- Chiều dài dưới 17 cm trong mẫu: 8+17=25 củ, chiếm 25\%.
- Chiều dài từ 18 cm trở lên trong mẫu: 26+14+5=45 củ, chiếm 45\%.
- Chiều dài từ 16 cm đến dưới 19 cm: 17+30+26=73 củ, chiếm 73\%.
Trong câu “từ 18 cm trở lên”, bảng đã đảm bảo không có quan sát ngoài các nhóm, nên có thể cộng ba nhóm cuối. Nếu bảng chỉ ghi một phần mẫu, phải biết còn thiếu những nhóm nào.
Có xác định chính xác bao nhiêu củ dài từ 17{,}5 cm trở lên không? Ranh giới mới có trùng ranh giới nhóm không?
Không đủ dữ liệu, nhưng vẫn tìm được khoảng
Ba nhóm cuối chắc chắn có 45 củ đạt yêu cầu. Trong nhóm [17;18), chưa biết có bao nhiêu củ dài ít nhất 17{,}5 cm; số đó có thể từ 0 đến 30. Vì thế số củ đạt yêu cầu nằm từ 45 đến 75, tỉ lệ nằm từ 45\% đến 75\%. Không có căn cứ để tự chia đôi 30 thành 15.
Hai khả năng đều khớp bảng: toàn bộ 30 củ của nhóm dài 17{,}2 cm thì không củ nào đạt mốc mới; toàn bộ dài 17{,}8 cm thì cả 30 củ đều đạt. Bảng nhóm không phân biệt hai trường hợp ấy.
Bảng nhóm không giữ toàn bộ dữ liệu gốc
Nếu trong mỗi nhóm, mọi giá trị đều bằng đầu trái, trung bình chiều dài sẽ là
\frac{8\cdot15+17\cdot16+30\cdot17+26\cdot18+14\cdot19+5\cdot20}{100}=17{,}36\ \text{cm}.
Nếu tăng từng giá trị ấy thêm 0{,}9 cm, tất cả vẫn ở đúng nhóm ban đầu, nhưng trung bình thành 18{,}26 cm. Vì vậy bảng nhóm này không xác định duy nhất trung bình chính xác của các chiều dài. Muốn tính chính xác phải có dữ liệu chi tiết hơn; không được trình bày một giá trị đại diện của nhóm như thể đó là số đo thật.
Chuyển giao: phát biểu nào được dữ liệu hỗ trợ?
“Nhóm [17;18) đông nhất” là kết luận đúng. “Có đúng 30 củ dài 17{,}5 cm” không được bảng hỗ trợ. “Củ dài nhất nhỏ hơn 21 cm và có ít nhất một củ dài từ 20 cm trở lên” là đúng vì nhóm cuối có 5 quan sát. Đọc dữ liệu tốt bao gồm cả biết điều chưa thể kết luận.
5. Khi mẫu thay đổi, tử và mẫu cùng thay đổi
Nếu thêm một củ thuộc [17;18), tần số nhóm tăng từ 30 lên 31, tổng mẫu tăng từ 100 lên 101. Tỉ lệ mới là 31/101, xấp xỉ 30{,}69\%, không phải 31\%.
Nếu thay vào đó thêm một củ ngoài nhóm mục tiêu nhưng vẫn thuộc một nhóm của bảng, tần số mục tiêu vẫn là 30, tổng thành 101. Tỉ lệ mới 30/101, xấp xỉ 29{,}70\%, giảm dù số củ mục tiêu không giảm.
Thêm 20 củ, trong đó 10 củ thuộc nhóm mục tiêu, thì tỉ lệ mới có vượt 30\% không? Hãy dự đoán từ tỉ lệ của phần được thêm.
Lời giải và cách kiểm
Phần thêm có tỉ lệ mục tiêu 10/20=50\%, lớn hơn tỉ lệ cũ. Sau khi thêm, có 40 củ mục tiêu trong 120 củ:
\frac{30+10}{100+20}=\frac13\approx33{,}33\%.
Tỉ lệ mới nằm giữa 30\% và 50\%, gần 30\% hơn vì mẫu cũ lớn hơn phần thêm. Không lấy trung bình cộng (30\%+50\%)/2=40\% khi hai cỡ mẫu không bằng nhau.
Chuyển giao: thêm một phần tử thuận lợi
Với 0\le n<N, N>0, thêm một quan sát mục tiêu làm tỉ lệ tăng vì
\frac{n+1}{N+1}-\frac nN=\frac{N-n}{N(N+1)}>0.
Nếu n=N, tỉ lệ đã bằng 1 và thêm một quan sát mục tiêu không làm nó tăng nữa. Điều kiện của một nhận xét tổng quát cần bao gồm cả trường hợp biên.
6. Xác suất bắt đầu bằng cách chọn
Có năm thẻ giống nhau về kích thước và hình dạng, ghi các số 1,2,3,4,5. Trộn đều và rút ngẫu nhiên một thẻ sao cho mỗi thẻ có khả năng được chọn như nhau. Các kết quả được phân biệt theo thẻ; trong ví dụ này mỗi thẻ cũng có một số riêng.
Hai thẻ thuận lợi trong tổng năm thẻ đồng khả năng. Giá trị ghi trên thẻ không phải số lượng kết quả.
Gọi E là biến cố “số trên thẻ rút được là số chẵn”. Hai kết quả thuận lợi là 2,4; do mỗi thẻ có xác suất 1/5, ta được
P(E)=\frac15+\frac15=\frac25.
Mẫu số là 5, không phải tổng nhãn 1+2+3+4+5=15. Nếu đổi nhãn thành 11,12,13,14,15, vẫn có năm thẻ và hai nhãn chẵn, nên xác suất vẫn 2/5, dù tổng nhãn đã đổi.
Với một không gian mẫu hữu hạn có N kết quả đồng khả năng, một biến cố gồm n kết quả có xác suất n/N. Điều kiện đồng khả năng là căn cứ của phép đếm này, không được bỏ đi.
Phản ví dụ: chọn màu trước làm đổi cơ chế
Tô thẻ 2,4 màu xanh, ba thẻ còn lại màu trắng. Nếu trước hết chọn một trong hai màu với xác suất 1/2, rồi chọn đều một thẻ trong màu đã chọn, xác suất rút số chẵn là 1/2, không phải 2/5. Mỗi thẻ xanh có xác suất 1/4, mỗi thẻ trắng có xác suất 1/6; năm thẻ không còn đồng khả năng.
7. Thẻ trùng nhãn và thay đổi không gian mẫu
Các thẻ khác nhau có thể mang cùng một số
Một hộp khác có năm thẻ giống nhau về khả năng được rút, ghi 1,2,2,3,4. Có năm thẻ vật lí, nhưng chỉ bốn giá trị số khác nhau. Biến cố số chẵn có ba thẻ thuận lợi, nên xác suất là 3/5. Biến cố rút được số 2 có xác suất 2/5, không phải 1/4.
Muốn đếm theo nhãn số thay vì từng thẻ, phải biết xác suất của từng nhãn. Không được tự coi bốn nhãn có cùng khả năng khi một nhãn xuất hiện trên hai thẻ.
Trở lại hộp ban đầu, thêm một thẻ
Hộp ban đầu ghi 1 đến 5. Nếu thêm thẻ 6 rồi rút đều một thẻ, xác suất số chẵn là bao nhiêu? Nếu thêm thẻ 7 thay vì 6, kết quả có giống không?
Lời giải
Thêm thẻ 6: có sáu thẻ, ba thẻ chẵn 2,4,6, xác suất 3/6=1/2. Thêm thẻ 7 thay vì 6: có sáu thẻ nhưng vẫn chỉ hai thẻ chẵn 2,4, xác suất 2/6=1/3. Tử số đếm thuận lợi, mẫu số đếm toàn bộ; mỗi số thay đổi theo đúng việc đã làm.
Rút có hoàn lại và không hoàn lại
Nếu từ hộp ban đầu rút được thẻ 2, bỏ ra ngoài rồi rút lần nữa, chỉ còn bốn thẻ 1,3,4,5. Lần tiếp theo, với các thẻ còn lại đồng khả năng, xác suất chẵn là 1/4. Nếu trả thẻ 2 vào hộp và trộn lại đúng cơ chế ban đầu, xác suất lại là 2/5. Cách xử lí sau mỗi lần rút quyết định không gian mẫu của lần kế tiếp.
8. Tần số quan sát và xác suất mô hình
Thực hiện mười lần rút có hoàn lại từ hộp 1 đến 5, đều theo cơ chế đồng khả năng. Các lần rút độc lập với nhau. Một dãy kết quả có thể ghi nhận là
2, 1, 4, 3, 5, 2, 2, 5, 1, 3.
Số chẵn xuất hiện 4 lần, nên tần số tương đối quan sát trong dãy này là 4/10=40\%. Xác suất theo mô hình của mỗi lần vẫn là 2/5=40\%. Hai con số trùng nhau trong ví dụ, nhưng không bắt buộc trùng trong mọi dãy mười lần.
Một dãy khác có thể có 3 hoặc 7 lần chẵn mà chưa đủ để kết luận mô hình sai. Tần số tương đối mô tả điều đã quan sát; xác suất mô tả cơ chế được giả thiết. Không biến một kết quả thực nghiệm ngắn thành bảo đảm chắc chắn về lần rút tiếp theo.
Khi nào bảng tần số cho ngay xác suất?
Nếu chọn ngẫu nhiên đều một củ từ đúng mẫu 100 củ đã thống kê ở phần 2, xác suất chọn trúng nhóm [17;18) bằng 30/100=30\%. Đây là xác suất của một phép chọn trên mẫu hữu hạn đã biết.
Nhưng bảng ấy, đứng riêng, không chứng minh 30\% mọi củ của một vùng trồng đều thuộc nhóm. Muốn suy rộng cần biết cách lấy mẫu có phù hợp và đại diện không. Bài học hiện tại chỉ kết luận chính xác về mẫu đã nêu.
Chuyển giao: phát biểu cẩn thận hơn
Thay câu “củ được thu hoạch có xác suất 30\% dài từ 17 đến dưới 18 cm” bằng câu xác định rõ phép thử: “Chọn đều một củ trong mẫu 100 củ này, xác suất thuộc nhóm [17;18) là 30\%.” Câu thứ hai nói đúng đối tượng và không suy rộng quá dữ liệu.
9. Sáu câu hỏi tự kiểm tra
- Mỗi quan sát đã thuộc đúng một nhóm chưa, nhất là tại các ranh giới?
- Tổng mẫu đã cộng đủ chưa, và mẫu số đang đếm quan sát hay một đại lượng khác?
- Câu hỏi có cắt ngang một nhóm khiến bảng không đủ chi tiết không?
- Khi thêm hoặc bớt dữ liệu, cả tử số và mẫu số thay đổi thế nào?
- Kết quả xác suất đang đếm theo thẻ, theo nhãn hay theo một bước chọn khác; chúng có đồng khả năng không?
- Tôi đang mô tả mẫu đã quan sát, một phép thử xác định, hay đang suy rộng vượt quá dữ liệu?
Đọc dữ liệu đúng không chỉ giúp tính đúng một tỉ lệ. Nó giúp biết kết luận nào có căn cứ, kết luận nào cần thêm điều kiện và điều gì vẫn chưa thể biết.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu