Đọc bảng và đồ thị: tần số, tỉ lệ và hàm số bình phương
Chuyên đề Toán 9 với dữ liệu tự biên soạn đầy đủ, tần số và tần số tương đối, mốt, giới hạn của mẫu; đồ thị hàm số bình phương, điều kiện xác định hệ số và…
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 · ĐỌC BẢNG VÀ ĐỒ THỊ
Đọc bảng và đồ thị: tần số, tỉ lệ và hàm số bình phương
Trục ngang, trục dọc và con số trên hình chỉ có nghĩa khi em biết chúng đại diện cho điều gì. Chuyên đề gồm hai mô-đun: dữ liệu thống kê và hàm số y=ax^2. Chúng dùng chung thói quen kiểm tra nhãn, đơn vị và quan hệ, nhưng biểu đồ dữ liệu không tự trở thành đồ thị của một hàm số.
Chuẩn bị: biết đếm số lần xuất hiện, tính phân số và phần trăm, đọc cặp tọa độ, bình phương và căn bậc hai. Hãy dự đoán trước, thử bằng bảng hoặc hình, rồi kiểm tra bằng phép tính. Dữ liệu và ví dụ dưới đây tự biên soạn; không phải kết quả một khảo sát thật hoặc một đề thi.
1. Từ dữ liệu đầy đủ đến bảng tần số
Trong một tình huống giả định , số cuốn sách 20 bạn đọc xong trong một tháng được ghi như sau. Mỗi số ứng với một bạn; giá trị 0 vẫn là một quan sát hợp lệ.
0, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 3,
1, 2, 4, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2
Dự đoán: giá trị nào có vẻ xuất hiện nhiều nhất? Đừng kết luận chỉ bằng nhìn lướt. Với từng giá trị, đánh dấu mỗi lần xuất hiện và cộng số dấu. Tần số là số quan sát mang giá trị ấy, không phải giá trị đang đo.
Số sách đọc xong · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · Tổng
Tần số: số bạn · 2 · 5 · 7 · 4 · 2 · 20
2+5+7+4+2=20.
Kiểm tra tổng giúp phát hiện bỏ sót hoặc đếm trùng. Nhưng tổng đúng chưa bảo đảm từng ô đúng: nếu chuyển nhầm một bạn từ nhóm 1 sang nhóm 2, tổng vẫn là 20. Vì vậy cần đối chiếu từng nhóm với dãy gốc.
Nhóm 0 có hai bạn, không được bỏ đi vì số sách bằng không. Khi bỏ nhóm ấy, em đã đổi mẫu dữ liệu và đổi mẫu số của mọi tỉ lệ.
2. Tần số tương đối: phần của toàn bộ nào?
Với mẫu có N>0 quan sát và một giá trị có tần số n, tần số tương đối là n/N. Muốn biểu diễn bằng phần trăm, nhân với 100\%.
f=\frac nN,\qquad f_{\%}=\frac nN\cdot100\%.
Trong mẫu giả định, nhóm đọc 2 cuốn có 7 bạn trên 20, nên chiếm 35\%. Con số 35\% nói về tỉ lệ bạn, không nói rằng mỗi bạn đọc 35\% của một cuốn sách.
Số sách · 0 · 1 · 2 · 3 · 4
Tần số tương đối · 10% · 25% · 35% · 20% · 10%
Các nhóm bao quát toàn bộ mẫu và không chồng lấn nên tổng tỉ lệ đúng bằng 100\%. Khi các tỉ lệ được làm tròn, tổng hiển thị có thể lệch một chút; cần phân biệt sai do làm tròn với sai do đếm.
Tại sao phải biết mẫu số? Nhóm có 7 người trong mẫu 20 lớn hơn về tỉ lệ so với nhóm có 9 người trong mẫu 30: 35\%>30\%. Tần số lớn hơn chưa có nghĩa tần số tương đối lớn hơn khi kích thước mẫu khác nhau.
Thử trước: “đọc ít nhất 3 cuốn” gồm những nhóm nào?
Gồm nhóm 3 và 4, tổng 4+2=6 bạn, chiếm 30\%. “Ít nhất” bao gồm đúng 3; “hơn 3” chỉ gồm nhóm 4 trong dãy này. Cách đọc điều kiện quyết định nhóm được cộng.
3. Biểu đồ cột: chiều cao phải đúng với thang đo
Biểu đồ dưới biểu diễn tần số . Trục ngang là số sách; trục dọc là số bạn. Mỗi đơn vị tần số tương ứng 14 điểm ảnh chiều cao; các cột bắt đầu từ mức 0. Đây là minh họa chính xác cho bảng ở phần 1.
Nhóm 2 có cột cao nhất, nhưng độ cao của cột là 7, không phải 2. Khi đọc, hãy nói đủ hai đại lượng: “7 bạn đọc xong 2 cuốn”. Câu “nhóm 2 có tần số 2” nhầm nhãn ngang với chiều cao.
Một biểu đồ cột tốt có tên đại lượng trên hai trục, thang đo rõ, cột cùng bề rộng và khoảng cách hợp lí. Nếu cắt trục dọc phía dưới, độ chênh nhìn thấy dễ bị phóng đại; cần đọc số liệu và chỉ rõ việc cắt trục, thay vì chỉ so diện tích phần tô.
Không nối đỉnh các cột rồi tuyên bố đó là hàm số mô tả mọi số sách thực. Các giá trị ở đây là nhóm dữ liệu rời rạc; đường nối, nếu được dùng cho một mục đích khác, không tạo thêm quan sát ở giữa các nhóm.
4. Mốt và giới hạn của một mẫu
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Trong dãy giả định, mốt là 2 cuốn vì tần số của nó là 7, lớn hơn các tần số khác. Mốt là giá trị 2, không phải số lần 7.
Một mẫu có thể có nhiều mốt khi nhiều giá trị cùng đạt tần số lớn nhất. Ví dụ, các giá trị 1,2,3 có tần số 4,6,6 thì 2 và 3 đều là mốt. Không chọn tùy ý một giá trị rồi bỏ giá trị còn lại.
Mẫu nói được gì? Trong tình huống giả định, 35\% của 20 bạn đọc 2 cuốn. Chưa có dữ kiện rằng 20 bạn đại diện cho toàn trường; càng không có căn cứ suy mọi học sinh đều có cùng phân bố. Cần biết cách chọn mẫu và phạm vi muốn mô tả.
Biểu đồ đúng tỉ lệ không làm một mẫu tự nhiên trở thành đại diện. Tách hai câu hỏi: hình có biểu diễn đúng số đã thu được không; số đã thu được có đủ để hỗ trợ kết luận rộng hơn không?
Tự kiểm tra: thêm một quan sát mới có thể làm đổi mốt không?
Có thể, tùy bảng ban đầu. Nếu một nhóm chỉ kém nhóm cao nhất một quan sát, thêm vào nhóm ấy có thể tạo hai mốt. Nếu mẫu đang có nhiều mốt, thêm vào một nhóm đồng mốt có thể khiến chỉ nhóm ấy còn là mốt. Với mẫu hiện tại, thêm một bạn đọc 1 cuốn làm tần số nhóm ấy thành 6, vẫn nhỏ hơn 7, nên mốt chưa đổi. Không nói “luôn đổi” hay “không bao giờ đổi”.
5. Đồ thị hàm số: mỗi điểm phải thỏa một quy tắc
Chuyển sang mô-đun thứ hai, xét y=ax^2 với a\ne0 và x là số thực. Mỗi giá trị x xác định đúng một giá trị y. Điểm P(x_0,y_0) thuộc đồ thị khi và chỉ khi y_0=ax_0^2.
Nếu đồ thị đi qua một điểm có x_0\ne0, hệ số được xác định bởi:
a=\frac{y_0}{x_0^2}.
Nếu chỉ cho P(0,0), không xác định riêng được a, vì mọi đồ thị trong họ này đều đi qua gốc tọa độ. Nếu cho P(0,3), không có đồ thị nào thuộc họ đi qua điểm ấy. Điều kiện chia cho x_0^2 cần được kiểm tra trước.
Ví dụ tự biên soạn: điểm (2,2) thuộc đồ thị, nên a=2/4=1/2. Bảng giá trị của y=\frac12x^2:
x · -4 · -2 · 0 · 2 · 4
y · 8 · 2 · 0 · 2 · 8
Tính x^2 trước rồi nhân với a. Trong \frac12(-4)^2, giá trị là 8, không phải -8. Dấu âm của x mất khi bình phương, còn dấu của a quyết định dấu của y khi x\ne0.
6. Đối xứng và giao điểm: không phải lúc nào cũng có hai nghiệm
Vì (-x)^2=x^2, hai hoành độ đối nhau cho cùng tung độ. Do đó đồ thị đối xứng qua trục Oy. Với a>0, parabol mở lên; với a<0, parabol mở xuống. Đỉnh là O(0,0) trong họ hàm số đang xét, không áp dụng nguyên xi cho mọi hàm bậc hai có thêm hạng tử.
Hình dùng đúng quy tắc y=\frac12x^2; hai trục có thang đo khác nhau và được ghi rõ. Đường ngang y=2 cắt parabol tại x=-2 và x=2. Đường cong là mô hình liên tục của một hàm số, không phải đường nối các cột thống kê ở phần 3.
Tổng quát, tìm điểm có tung độ k nghĩa là giải ax^2=k, hay x^2=k/a:
Điều kiện · Số hoành độ thực · Lí do
k/a>0 · Hai · x=\pm\sqrt{k/a}
k/a=0 · Một · x=0; hai dấu cho cùng một giá trị
k/a<0 · Không có · Bình phương số thực không âm
Tính đối xứng không bảo đảm mọi đường ngang đều cắt đồ thị ở hai điểm. Phải kiểm tra dấu của k/a, và nếu một mô hình thực tế giới hạn x\ge0, phải lọc nghiệm theo miền ấy.
7. Bảng, cột, đường cong: kiểm tra quan hệ trước khi so hình
Hai mô-đun có một thói quen chung: đọc đại lượng và quan hệ. Tuy nhiên, ta không suy bảng tần số của số sách từ phương trình parabol hoặc suy phương trình parabol từ tần số nhóm sách.
Biểu diễn · Một vị trí trên hình nói gì? · Kiểm tra độc lập
Cột ở nhóm 2 cao 7 · 7 quan sát có giá trị số sách là 2 · Đếm lại dãy gốc; cộng các tần số
Điểm (2,2) trên parabol · Giá trị hàm tại x=2 bằng 2 · Thay vào y=\frac12x^2
Hai điểm cùng tung độ trên parabol · Hai hoành độ có thể đối nhau theo quy tắc bình phương · Giải phương trình, xét dấu và miền
Ba lỗi cùng nguồn: đọc nhầm tần số thành giá trị; đổi chỗ hoành độ và tung độ; dùng tỉ lệ mà không biết mẫu số. Cách tránh là viết một câu đầy đủ về ý nghĩa con số trước khi tính.
Hình đẹp không thay thế căn cứ. Với biểu đồ, căn cứ là dữ liệu và cách đếm; với đồ thị, căn cứ là phương trình và miền xác định. Nếu thiếu căn cứ ấy, cần bổ sung trước khi kết luận.
8. Tự luyện theo chu trình dự đoán → gợi ý → kiểm tra
A. Trong mẫu ở phần 1, tỉ lệ bạn đọc dưới 2 cuốn là bao nhiêu? Hãy nêu nhóm được cộng trước.
Gợi ý A
“Dưới 2” gồm 0,1, không gồm 2. Đừng bỏ nhóm 0.
Kiểm tra A
Có 2+5=7 bạn trên 20, tức 35\%. Con số trùng tỉ lệ nhóm đọc đúng 2, nhưng hai tập quan sát khác nhau; trùng kết quả không có nghĩa cùng điều kiện.
B. Hai lớp có lần lượt 8/20 và 10/25 bạn tham gia câu lạc bộ. Có thể nói lớp thứ hai có tỉ lệ tham gia cao hơn chỉ vì 10>8 không?
Kiểm tra B
Không. Hai tỉ lệ đều bằng 40\%. Lớp thứ hai có số người tham gia lớn hơn, nhưng tỉ lệ bằng nhau. Cần nói đúng đại lượng đang so.
C. Với y=-2x^2, dự đoán số điểm trên đồ thị có tung độ 8,0,-8 trước khi giải.
Kiểm tra C
Tung độ 8: không có, vì x^2=-4. Tung độ 0: một điểm tại x=0. Tung độ -8: hai điểm với x=\pm2. Nếu giới hạn x\ge0, trường hợp cuối chỉ giữ x=2. Mỗi kết luận đi cùng miền xét.
D. Một bạn dùng điểm (0,0) để kết luận a=0 trong họ y=ax^2,\ a\ne0.
Kiểm tra D
Thay điểm vào chỉ được 0=a\cdot0, đúng với mọi hệ số trong họ. Không được chia cho 0. Cần một điểm có hoành độ khác 0 để xác định riêng a.
Phiếu rà: dữ liệu đã đủ chưa? Tổng tần số có khớp từng nhóm không? Mẫu số là gì? Cột bắt đầu từ mức nào? Điểm có đúng thứ tự tọa độ không? Hệ số và miền có được giữ không? Hai dấu căn cho hai giá trị khác nhau hay cùng một giá trị?
Mục tiêu là biết một con số đang nói về đối tượng nào và quan hệ nào. Khi gặp bảng hay đồ thị mới, hãy đọc nhãn, xác lập căn cứ rồi mới tính.