Đuổi kịp trên đường hay gặp ở đích: phải xét lúc xe dừng
Lập mô hình chuyển động trên quãng đường hữu hạn, chứng minh vận tốc ngưỡng, thời gian gặp theo từng trường hợp và hai vận tốc có thể cho cùng một thời gian…
TOÁN 9 · CHUYỂN ĐỘNG VÀ GIỚI HẠN CỦA MÔ HÌNH
Đuổi kịp trên đường hay gặp ở đích: phải xét lúc xe dừng
Lập mô hình chuyển động trên quãng đường hữu hạn, chứng minh vận tốc ngưỡng, thời gian gặp theo từng trường hợp và hai vận tốc có thể cho cùng một thời gian gặp.
1. Đuổi kịp khi đang chạy khác với gặp xe đã dừng
Hai xe cùng đi từ A đến B, quãng đường L>0. Xe tải xuất phát trước, chạy đều với vận tốc x>0. Xe con xuất phát sau \delta>0 giờ, chạy đều với vận tốc x+c, trong đó c>0 là phần vận tốc hơn. Cả hai xe dừng lại và chờ khi tới B .
Ta tìm lần gặp đầu tiên kể từ khi xe con xuất phát. Vị trí chung lúc ban đầu, trước khi xe tải rời A, không được tính. Đặt \tau\ge0 là thời gian tính từ lúc xe con xuất phát, còn thời gian tính từ lúc xe tải xuất phát là \delta+\tau.
Câu hỏi không chỉ là “xe con nhanh hơn có gặp xe tải không?”. Trên một tuyến đường hữu hạn, xe con có thể đuổi kịp khi cả hai đang chạy, tới đích cùng lúc, hoặc gặp xe tải đã đứng chờ ở đích. Ba trường hợp cần được mô tả bằng cùng các giả thiết rõ ràng.
Dự đoán. Nếu tăng x nhưng giữ nguyên phần hơn c, khoảng cách xe tải đi trước tăng. Thời gian gặp có luôn tăng theo không, khi đường kết thúc tại B?
Trong bài, độ dài tính bằng km, thời gian bằng giờ và vận tốc bằng km/h. Các công thức cũng dùng được với một bộ đơn vị nhất quán khác.
2. Trước hết giả sử hai xe tiếp tục chạy
Nếu chưa xe nào dừng, tại thời gian \tau sau lúc xe con xuất phát, vị trí tính từ A là
s_{\text{tải}}=x(\delta+\tau),\qquad s_{\text{con}}=(x+c)\tau.
Hiệu hai vị trí là x\delta-c\tau: khoảng đi trước ban đầu giảm đều với vận tốc tương đối c. Hai xe gặp khi
x\delta=c\tau\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\tau_0=\frac{x\delta}{c}.}
Thời gian \tau_0 dương và duy nhất. Vị trí gặp giả định là
\boxed{s_0=(x+c)\tau_0=\frac{\delta x(x+c)}c.}
Nhưng nếu s_0>L, điểm gặp ấy nằm sau đích và không thuộc hành trình khi hai xe đều dừng tại B. Công thức vị trí chạy đều cần được kiểm tra trên miền thời gian nó còn mô tả chuyển động thật.
3. Một vận tốc ngưỡng quyết định nơi gặp
Điểm gặp giả định không vượt đích khi và chỉ khi
s_0\le L\quad\Longleftrightarrow\quad x(x+c)\le\frac{Lc}{\delta}.
Phương trình tại mốc có đúng một nghiệm dương:
\boxed{x_*=\frac{-c+\sqrt{c^2+4Lc/\delta}}2>0.}
Căn lớn hơn c, nên nghiệm ghi trên dương; nghiệm còn lại (-c-\sqrt{c^2+4Lc/\delta})/2 âm, không phải vận tốc trong mô hình. Tính duy nhất cũng thấy từ
v(v+c)-u(u+c)=(v-u)(u+v+c)>0\qquad(0<u<v).
Vì vậy x(x+c) tăng nghiêm ngặt trên miền dương, và:
- 0<x<x_*: xe con đuổi kịp trước B, khi cả hai còn chạy.
- x=x_*: hai xe tới B cùng lúc.
- x>x_*: công thức chạy mãi cho điểm gặp sau B; trong mô hình thật, xe tải tới B trước và chờ.
Kiểm tra thứ tự đến đích
Thời điểm tới B, tính từ lúc xe tải xuất phát, lần lượt là
T_{\text{tải}}=\frac Lx,\qquad T_{\text{con}}=\delta+\frac L{x+c}.
Hiệu là
T_{\text{con}}-T_{\text{tải}}=\delta-\frac{Lc}{x(x+c)}.
Dấu của hiệu đúng với ba trường hợp trên: xe con tới đích sớm hơn khi x<x_*, cùng lúc tại ngưỡng, muộn hơn khi x>x_*. Ở trường hợp đầu, chúng đã gặp và xe con vượt lên trước đó.
4. Công thức đúng cho lần gặp đầu tiên trên tuyến đường
Thời gian từ lúc xe con xuất phát đến lần gặp đầu là
\boxed{\tau(x)=
\begin{cases}
\dfrac{x\delta}{c},&0<x\le x_*,\\
\dfrac{L}{x+c},&x\ge x_*.
\end{cases}}
Hai công thức cho cùng giá trị tại x_*, vì x_*(x_*+c)=Lc/\delta. Ta cũng có thể viết gọn
\boxed{\tau(x)=\min\left\{\frac{x\delta}{c},\frac L{x+c}\right\}.}
Thời gian tính từ xe tải xuất phát là T(x)=\delta+\tau(x). Vị trí gặp là
\boxed{s(x)=\min\left\{\frac{\delta x(x+c)}c,L\right\}.}
Vì sao đó thật sự là lần gặp đầu?
Khi x<x_*, điểm s_0<L. Cả hai xe vẫn đang chạy tại \tau_0, và hiệu vị trí x\delta-c\tau dương với mọi 0\le\tau<\tau_0, nên chưa gặp trước đó.
Khi x>x_*, xe tải đến đích trước xe con. Trong mọi khoảng mà cả hai còn chạy, thời gian gặp giả định \tau_0 vẫn chưa tới. Sau khi xe tải dừng tại B, xe con còn ở trước B, nên cũng chưa gặp; lần đầu là lúc xe con đến B, sau L/(x+c) giờ tính từ lúc nó xuất phát. Nếu xe tải đã tới B trước cả lúc xe con khởi hành, lập luận “xe tải chờ ở B” vẫn áp dụng.
Tại x=x_*, cả hai nhánh gặp đúng ở đích. Công thức không bỏ sót trường hợp xe tải kết thúc hành trình sớm, cũng không tiếp tục kéo dài chuyển động của xe đã dừng.
5. Dữ kiện nguồn nằm đúng ở ngưỡng
Bài nguồn cho quãng đường 154 km, xe con nhanh hơn 15 km/h, xuất phát trễ 36 phút, nhưng hai xe tới đích cùng lúc. Đổi 36 phút thành 3/5 giờ. Điều kiện cùng đến là
x(x+15)=\frac{154\cdot15}{3/5}=3850.
x^2+15x-3850=(x-55)(x+70)=0.
Chỉ nhận x=55 km/h; xe con chạy 70 km/h. Thời gian xe con chạy là 154/70=11/5 giờ; xe tải chạy 154/55=14/5 giờ, chênh đúng 3/5 giờ. Hai xe gặp ở B, chính là trường hợp x=x_*.
Một thay đổi độc lập: xe tải chạy 50 km/h
Giữ L=154,c=15,\delta=3/5, nhưng lấy x=50. Vì 50<55, xe con đuổi kịp khi đang chạy:
\tau=\frac{50\cdot(3/5)}{15}=2\text{ giờ},\qquad s=65\cdot2=130\text{ km}.
Lúc ấy xe tải đã chạy 3/5+2=13/5 giờ, đi 50\cdot13/5=130 km. Cả hai còn cách đích 24 km.
Trục ngang là thời gian T tính từ xe tải xuất phát, đơn vị giờ. Điểm P có T=13/5, vị trí 130 km. Các đoạn nằm ngang ở 154 km biểu diễn việc dừng tại đích.
Đồ thị giữ các đoạn nằm ngang sau khi xe đã tới đích. Nó cũng cho thấy hai xe có thể gặp lại ở B sau lần đuổi kịp trên đường; câu hỏi của bài chỉ chọn lần gặp đầu sau khi xe con xuất phát.
6. Tăng vận tốc không làm thời gian gặp tăng mãi
Trên miền 0<x\le x_*, công thức \tau=x\delta/c tăng nghiêm ngặt theo x. Trên miền x\ge x_*, công thức \tau=L/(x+c) giảm nghiêm ngặt: mẫu dương lớn hơn cho phân thức nhỏ hơn.
Vì hai nhánh bằng nhau tại ngưỡng, thời gian gặp lớn nhất đạt duy nhất tại x=x_*:
\boxed{\tau_* =\frac{x_*\delta}{c}=\frac L{x_*+c}.}
Đây là sự so sánh khi L,c,\delta giữ nguyên, còn cả hai vận tốc x,x+c thay đổi cùng nhau. Không phải chỉ tăng tốc xe tải mà giữ nguyên vận tốc xe con.
Trong dữ kiện nguồn, \tau_*=11/5 giờ sau khi xe con xuất phát, tương ứng T_*=14/5 giờ sau lúc xe tải xuất phát. Vận tốc ngưỡng 55 làm hai xe gặp muộn nhất trong mô hình đã nêu.
Với các dữ kiện nguồn, nhánh nâu là x\delta/c, nhánh xanh là L/(x+c). Hình chỉ vẽ phần 0<x\le90, còn công thức áp dụng cho mọi x>0. Hai điểm ở mức 2 giờ minh họa việc thời gian gặp chưa xác định duy nhất vận tốc.
Biết thời gian gặp có xác định được vận tốc không?
Cho thời gian 0<\tau<\tau_*, có đúng hai vận tốc xe tải phù hợp:
\boxed{x_1=\frac{c\tau}{\delta}<x_*,\qquad x_2=\frac L\tau-c>x_*.}
Công thức thứ nhất giải nhánh đuổi kịp trên đường, công thức thứ hai giải nhánh gặp xe đã dừng. Các bất đẳng thức theo sau đến trực tiếp từ \tau<\tau_*, và chứng minh cả hai vận tốc dương, đúng nhánh. Thế lại trả đúng thời gian \tau. Mỗi nhánh đơn điệu nghiêm ngặt nên không còn vận tốc khác.
Tại \tau=\tau_*, hai công thức cho cùng x_*, chỉ có một vận tốc. Nếu \tau>\tau_*, không có vận tốc phù hợp. Nếu \tau\le0, cũng không có lần gặp theo quy ước chính của bài, vì xe tải đã rời A, x,\delta>0 và mọi vận tốc đều hữu hạn. Như vậy mọi thời gian trong (0,\tau_*] đều đạt được, còn đầu 0 bị loại.
7. Hai cách cùng gặp sau hai giờ
Vẫn giữ các dữ kiện nguồn L=154,c=15,\delta=3/5, nhưng chỉ biết hai xe gặp lần đầu sau 2 giờ kể từ xe con xuất phát. Vì 2<11/5, có hai khả năng:
x_1=\frac{15\cdot2}{3/5}=50,\qquad x_2=\frac{154}{2}-15=62.
Với x_1=50, chúng gặp ở km 130, như phần 5. Với x_2=62, xe con chạy 77 km/h và tới B sau đúng 154/77=2 giờ. Xe tải đến B lúc 154/62=77/31 giờ tính từ lúc nó xuất phát, sớm hơn thời điểm xe con đến là 13/5 giờ. Chênh lệch chờ là
\frac{13}{5}-\frac{77}{31}=\frac{18}{155}>0\text{ giờ}.
Hai vận tốc khác nhau cho cùng thời gian gặp, nhưng khác địa điểm và trạng thái xe tải. Nếu đề bổ sung “cả hai còn đang chạy”, chỉ nhận 50; nếu nói “gặp xe tải đã dừng ở đích”, chỉ nhận 62. Điều kiện nguồn “tới đích cùng lúc” lại chọn mốc 55, không phải một trong hai biến thể vừa xét.
8. Những thay đổi làm công thức đổi nghĩa
Nếu hai xe không dừng ở B mà cứ chạy tiếp?
Khi cả hai tiếp tục chạy cùng vận tốc trên một đường thẳng không giới hạn, thời gian đuổi kịp luôn là x\delta/c. Công thức nhánh dừng không áp dụng. Khi x tăng, thời gian ấy tăng không bị chặn trên. Cực đại ở phần 6 đến từ hành trình có đích và quy tắc dừng, không phải từ riêng việc xe con nhanh hơn.
Nếu hai xe có cùng vận tốc?
Đây là c=0, ngoài giả thiết chính. Khi cả hai còn chạy, khoảng đi trước x\delta giữ nguyên, nên không đuổi kịp trên đường. Với quy tắc dừng chờ, chúng gặp ở B khi xe con đến, sau L/x giờ kể từ lúc xe con xuất phát. Không chia cho c=0 trong công thức cũ.
Nếu hai xe xuất phát cùng lúc?
Với \delta=0,c>0, chúng đã cùng ở A lúc xuất phát. Nếu tính cả lần gặp đó, đáp số thời gian là 0. Nếu chỉ hỏi lần gặp tiếp theo với thời gian dương và vẫn dừng tại B, xe con đến trước rồi chờ; chúng gặp khi xe tải tới đích, lúc L/x. Phải xác định lại quy ước “lần gặp” trước khi dùng công thức của trường hợp xuất phát trễ.
Chuyển giao. Giữ quãng đường 154 km và phần vận tốc hơn 15 km/h, đổi độ trễ thành 30 phút. Nếu vẫn tới B cùng lúc, vận tốc xe tải tăng hay giảm?
Lời giải có kiểm tra hướng thay đổi
Độ trễ mới là 1/2 giờ. Phương trình mốc trở thành x(x+15)=4620, lớn hơn 3850. Vì x(x+15) tăng nghiêm ngặt trên miền dương, nghiệm mới lớn hơn 55. Cụ thể,
x=\frac{-15+\sqrt{18705}}2\text{ km/h}.
Nghiệm còn lại âm nên loại. Giảm độ trễ nhưng vẫn yêu cầu hai xe tới cùng lúc làm vận tốc ngưỡng tăng; kết luận được kiểm tra trước khi tính gần đúng.
Một phương trình chuyển động chỉ đúng khi vật còn tuân theo quy tắc đã dùng để lập nó. Hành trình hữu hạn tạo ra các nhánh khác nhau; xác định đúng nhánh giúp tìm cả lần gặp đầu, vị trí gặp và những vận tốc có thể sinh ra cùng một dữ kiện.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu