Qua hai điểm: khi nào xác định được đường tròn?
Mô tả mọi tâm qua một dây cố định, phân loại dữ kiện bán kính và dựng ngược đường tròn từ một tiếp điểm để tìm quỹ tích chính xác.
TOÁN 9 · TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ QUỸ TÍCH
Qua hai điểm: khi nào xác định được đường tròn?
Mô tả mọi tâm qua một dây cố định, phân loại dữ kiện bán kính và dựng ngược đường tròn từ một tiếp điểm để tìm quỹ tích chính xác.
1. Hai điểm xác định một dây, chưa xác định cả đường tròn
Hai điểm phân biệt E,F có thể nằm trên nhiều đường tròn. Chúng xác định được đường trung trực của đoạn EF, và tâm của mọi đường tròn đi qua chúng phải nằm trên đường ấy. Nhưng tâm có thể thay đổi dọc theo đường trung trực.
Ta nghiên cứu một mô hình độc lập có dữ kiện cố định rõ ràng. Trên một trục ngang, lấy
M=(0,0),\qquad E=(e,0),\qquad F=(f,0),\qquad0<e<f.
Giữ nguyên ba điểm này và cho đường tròn đi qua E,F thay đổi. Đặt
k=\frac{e+f}{2},\qquad u=\frac{f-e}{2},\qquad K=(k,0).
Điểm K là trung điểm EF, u=EF/2>0, và k>u. Câu hỏi chính là: thêm dữ kiện nào sẽ xác định được tâm? Một tiếp điểm đã biết có thể xác định được đường tròn hay không?
Dự đoán. Biết thêm bán kính thường thu hẹp số tâm có thể có, nhưng có nhất thiết chỉ còn một tâm? Hãy nghĩ đến hai tâm đối xứng qua đường thẳng EF.
2. Mô tả toàn bộ họ đường tròn bằng một tham số
Gọi tâm một đường tròn qua E,F là O=(a,h). Hai bán kính bằng nhau cho
(a-e)^2+h^2=(a-f)^2+h^2.
Khai triển và thu gọn:
(f-e)(2a-e-f)=0.
Vì f-e>0, suy ra a=(e+f)/2=k. Do đó mọi tâm đều có dạng O_h=(k,h), nằm trên đường trung trực của EF.
Khoảng cách tới E cho bán kính:
R_h^2=(k-e)^2+h^2=u^2+h^2,\qquad\boxed{R_h=\sqrt{u^2+h^2}}.
Chiều đảo cũng quan trọng: với bất kì số thực h, chọn O_h=(k,h) và bán kính trên thì O_hE=O_hF=R_h>0. Ta thật sự có một đường tròn đi qua hai điểm đã cho. Vậy công thức mô tả tất cả các đường tròn phù hợp.
Vì R_h^2=u^2+h^2\ge u^2, bán kính nhỏ nhất là u=EF/2, đạt duy nhất khi h=0, tức tâm là K và EF là đường kính. Không có bán kính lớn nhất nếu không giới hạn vị trí tâm: chọn |h| lớn hơn sẽ làm R_h lớn hơn.
3. Biết thêm bán kính: không, một hoặc hai đường tròn
Giả sử biết bán kính cần tìm là r>0. Từ r^2=u^2+h^2, ta phải giải
h^2=r^2-u^2.
Nếu r<u, vế phải âm: không có đường tròn nào. Nếu r=u, chỉ có h=0: duy nhất đường tròn đường kính EF. Nếu r>u, có đúng hai tâm
\boxed{O_1=(k,\sqrt{r^2-u^2}),\qquad O_2=(k,-\sqrt{r^2-u^2})}.
Hai tâm nằm ở hai phía của đường EF, đối xứng qua đường này. Mỗi tâm cho một đường tròn bán kính r qua E,F; công thức ở phần 2 bảo đảm không còn tâm nào khác.
Ví dụ độc lập: nếu EF=8, bán kính 3 là không thể; bán kính 4 cho một tâm ở trung điểm dây; bán kính 5 cho hai tâm, mỗi tâm cách trung điểm dây \sqrt{25-16}=3.
Trong ví dụ EF=8,r=5, hai tâm O_1,O_2 cách trung điểm K một khoảng bằng 3. Biết dây và bán kính chưa luôn cho một tâm duy nhất.
Nếu còn biết “tâm ở phía trên EF” theo hệ trục đã chọn, nghĩa là h>0, thì với r>u chỉ còn tâm có tung độ dương. Nhưng với r=u, tâm duy nhất nằm ngay trên đường EF, không thỏa điều kiện ở phía trên. Phải phân biệt dấu > với dấu \ge.
4. Đường tròn thay đổi nhưng độ dài tiếp tuyến giữ nguyên
Với mỗi thành viên của họ,
MO_h^2=k^2+h^2,\qquad R_h^2=u^2+h^2.
Lấy hiệu để khử cùng một h^2:
MO_h^2-R_h^2=k^2-u^2=(k-u)(k+u)=\boxed{ef}.
Số ef>0, nên M luôn ở ngoài mọi đường tròn trong họ, dù tâm và bán kính thay đổi.
Nếu MT là tiếp tuyến tại T, bán kính O_hT vuông góc với MT. Pythagore cho
\boxed{MT^2=MO_h^2-R_h^2=ef}.
Độ dài tiếp tuyến luôn là \sqrt{ef}. Sự tồn tại của hai tiếp tuyến cũng có thể thấy bằng cách dựng tam giác vuông có hai cạnh góc vuông R_h,\sqrt{ef}: cạnh huyền bằng MO_h. Đặt cạnh huyền trùng đoạn MO_h theo hai phía của đoạn ấy cho hai tiếp điểm khác nhau trên đường tròn, và hai đoạn vuông góc với bán kính.
Ứng dụng chọn lọc: nếu ME=4,MF=9, mọi đường tròn đi qua hai giao điểm cố định này đều cho tiếp tuyến từ M dài \sqrt{4\cdot9}=6. Nhưng đường tròn không duy nhất. Chẳng hạn tâm (13/2,0), bán kính 5/2, và tâm (13/2,6), bán kính 13/2, đều phù hợp:
\left(\frac{13}{2}-4\right)^2+6^2=\frac{25}{4}+36=\frac{169}{4},\left(\frac{13}{2}-9\right)^2+6^2=\frac{169}{4}.
Đường tròn thứ hai qua E,F như đã yêu cầu. Hai tâm và bán kính khác nhau vẫn cho cùng độ dài tiếp tuyến. Một đại lượng tính được duy nhất không đồng nghĩa toàn bộ hình đã được xác định duy nhất.
5. Tiếp điểm chuyển động trên một đường tròn cố định
Đặt p=ef>0. Cho đường tròn qua E,F chạy trong toàn bộ họ ở phần 2, và lấy cả hai tiếp điểm từ M với mỗi đường tròn. Ta tìm quỹ tích của các tiếp điểm này.
Chiều thuận: mọi tiếp điểm T thỏa MT^2=p, nên nằm trên đường tròn \Gamma tâm M, bán kính \sqrt p. Trong tọa độ, nếu T=(x,y), điều kiện là
\boxed{x^2+y^2=p}.
Nhưng hai điểm của \Gamma nằm trên trục ngang phải bị loại. Nếu một tiếp điểm nằm trên đường EF, đường MT chính là đường EF. Đường ấy đã cắt mọi đường tròn của họ tại hai điểm phân biệt E,F, nên không thể là tiếp tuyến.
Hai điểm bị loại có tọa độ (\sqrt p,0) và (-\sqrt p,0). Ta mới chứng minh được quỹ tích nằm trong đường tròn bỏ hai điểm ấy. Muốn kết luận đó là toàn bộ quỹ tích, còn phải dựng một đường tròn phù hợp cho từng điểm còn lại.
Hình dùng e=4,f=9. Đường nét đứt là \Gamma, hai dấu tròn rỗng là hai điểm bị loại. Đường tròn nhỏ có tâm K, bán kính 5/2; nó cho hai tiếp điểm T_1,T_2 trên quỹ tích.
6. Chiều đảo: một tiếp điểm hợp lệ khôi phục duy nhất đường tròn
Lấy bất kì điểm T=(x,y) thỏa x^2+y^2=p, với y\ne0. Ta muốn một đường tròn trong họ, tâm (k,h), đi qua T và nhận MT làm tiếp tuyến.
Điều kiện T nằm trên đường tròn là
(x-k)^2+(y-h)^2=u^2+h^2.
Thay x^2+y^2=p và k^2-u^2=p, thu gọn được
kx+hy=p.
Vì y\ne0, chỉ có một giá trị ứng viên:
\boxed{h=\frac{p-kx}{y}}.
Ta kiểm tra cả tồn tại lẫn tiếp xúc. Chọn đúng h ấy, đặt O_h=(k,h), R_h=\sqrt{u^2+h^2}. Phần 2 bảo đảm đường tròn đi qua E,F. Mặt khác,
O_hT^2=x^2+y^2-2(kx+hy)+k^2+h^2=p-2p+k^2+h^2=u^2+h^2=R_h^2.
Vậy T cũng nằm trên đường tròn. Cuối cùng,
O_hT^2+MT^2=R_h^2+p=MO_h^2.
Hai số R_h,\sqrt p đều dương. Chiều đảo Pythagore cho góc O_hTM vuông, nên MT là tiếp tuyến tại T. Giá trị h là duy nhất, nên không có đường tròn thứ hai của họ tiếp xúc với MT tại chính điểm T ấy.
Quỹ tích chính xác là toàn bộ đường tròn tâm M, bán kính \sqrt{ef}, bỏ hai giao điểm của nó với đường EF. Mỗi điểm còn lại đều đạt được, nhờ công thức dựng ngược vừa chứng minh.
Ví dụ với e=4,f=9, ta có p=36,k=13/2,u=5/2. Chọn T=(0,6) trên quỹ tích, công thức cho h=6. Đường tròn được khôi phục có tâm (13/2,6), bán kính 13/2, đúng thành viên đã nêu ở phần 4. Đoạn MT thẳng đứng và bán kính O_hT nằm ngang, xác nhận góc vuông trực tiếp.
7. Một đường tròn có hai tiếp điểm, một tiếp điểm xác định một đường tròn
Hai phát biểu này không mâu thuẫn. Hướng “chọn đường tròn rồi tìm tiếp điểm” cho hai khả năng; hướng “chọn một tiếp điểm hợp lệ rồi khôi phục đường tròn” cho một khả năng duy nhất.
Chẳng hạn với thành viên có h=0, điều kiện kx+hy=p cho x=p/k. Từ x^2+y^2=p và k^2-p=u^2:
y^2=p-\frac{p^2}{k^2}=\frac{pu^2}{k^2}.
Hai tiếp điểm là
\boxed{T_1=\left(\frac pk,\frac{u\sqrt p}{k}\right),\qquad T_2=\left(\frac pk,-\frac{u\sqrt p}{k}\right)}.
Với e=4,f=9, chúng là (72/13,30/13) và (72/13,-30/13). Thay từng điểm vào công thức khôi phục đều cho h=0, cùng một đường tròn đường kính EF.
Nếu yêu cầu tâm ở phía trên, tiếp điểm có nhất thiết cũng ở phía trên không?
Không. Dấu của h=(p-kx)/y phụ thuộc cả tử lẫn mẫu. Nếu y>0, điều kiện h>0 tương đương x<p/k. Nếu y<0, nó tương đương x>p/k.
Với e=4,f=9, điểm T=(144/25,-42/25) nằm trên \Gamma, vì (144/25)^2+(42/25)^2=36. Nó ở phía dưới đường EF, nhưng
h=\frac{36-(13/2)(144/25)}{-42/25}=\frac67>0.
Vậy một tâm ở phía trên vẫn có thể cho tiếp điểm ở phía dưới. Công thức dựng ngược giúp kiểm tra một ràng buộc mới mà không đoán theo hình.
8. Nhận diện thông tin còn thiếu
Hai điểm cố định cho một họ tâm trên đường trung trực. Thêm bán kính có thể cho không, một hoặc hai tâm. Chỉ biết độ dài tiếp tuyến từ M không tách được các thành viên của họ, vì độ dài ấy vốn giống nhau. Nhưng biết một tiếp điểm hợp lệ cụ thể lại xác định duy nhất tham số h.
Khi giải một bài dựng ngược, hãy tách ba việc: tìm mọi dạng có thể của hình; kiểm tra dữ kiện mới có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm; rồi thay lại để chứng minh hình đã dựng thật sự thỏa điều kiện. Quỹ tích cũng cần cả chiều thuận lẫn chiều đảo, và những điểm làm phép dựng không xác định phải được xét bằng hình học.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu