Thể tích chiếm chỗ và sự thay đổi mực nước
Hiểu bảo toàn thể tích, suy ra độ dâng trong bình trụ và kiểm tra điều kiện chìm, vừa bình, không tràn trước khi dùng công thức.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Thể tích chiếm chỗ và sự thay đổi mực nước
Hiểu bảo toàn thể tích, suy ra độ dâng trong bình trụ và kiểm tra điều kiện chìm, vừa bình, không tràn trước khi dùng công thức.
1. Mực nước thay đổi, thể tích nào được giữ lại?
Một vật được thả vào bình không tạo thêm nước. Nó chiếm một phần không gian mà nước có thể chiếm, khiến mặt nước dâng lên. Muốn tính độ dâng, trước hết phải phân biệt thể tích nước , thể tích phần vật chìm và thể tích toàn bộ phần bình nằm dưới mặt nước .
Bài học dùng mô hình lí tưởng: bình đứng thẳng, thành trong hình trụ, đáy nằm ngang; nước không bị nén đáng kể; vật không hút nước, không tan và không giữ túi khí; bỏ qua bề dày thành bình và mặt nước cong sát thành. Nếu không có nước tràn hoặc bị lấy ra, thể tích nước trước và sau bằng nhau.
Cùng một viên bi, bình hẹp thường cho độ dâng lớn hơn bình rộng. Điều đó không có nghĩa viên bi đã lớn lên. Một thể tích bị chiếm chỗ cố định được trải trên một diện tích đáy khác nhau.
Đặt diện tích đáy trong của bình là A>0, mực nước ban đầu là h_0\ge0, mực nước sau là h. Kí hiệu V_{\mathrm{chìm}} là thể tích phần vật thực sự nằm dưới mặt nước. Các đại lượng này phải dùng cùng một hệ đơn vị.
2. Từ phân chia không gian đến phương trình bảo toàn
Trong bình có tiết diện ngang không đổi, một lớp cao d có thể tích Ad. Vì thế phần bình dưới mực nước h có thể tích Ah. Khi bên trong có vật, phần không gian ấy được chia thành hai phần không chồng lên nhau: nước và phần vật chìm.
Ah=V_{\mathrm{nước\ sau}}+V_{\mathrm{chìm}}.
Nếu không tràn nước, V_{\mathrm{nước\ sau}}=Ah_0. Suy ra
Ah=Ah_0+V_{\mathrm{chìm}},\qquad A(h-h_0)=V_{\mathrm{chìm}}.\boxed{h-h_0=\frac{V_{\mathrm{chìm}}}{A}}.
Phép chia hợp lệ vì A>0. Đây là hệ quả của bảo toàn thể tích, không phải quy tắc cộng độ dài. Vế phải có đơn vị \mathrm{cm}^3/\mathrm{cm}^2=\mathrm{cm}, phù hợp với một độ cao.
Hai chiều suy luận đều rõ: một trạng thái không tràn phù hợp mô hình phải thỏa phương trình; ngược lại, một chiều cao nằm trong bình, phù hợp mức chìm của vật và thỏa phương trình thì cho đúng thể tích nước ban đầu. Phương trình thể tích chưa tự bảo đảm vật vừa bình, chìm hoàn toàn hoặc nước không tràn. Các điều kiện hình học ấy phải được kiểm tra riêng.
Vì sao không lấy thể tích vật chia cho diện tích mặt ngoài của bình?
Một lớp nước cao thêm d sử dụng diện tích tiết diện bên trong bình. Diện tích xung quanh 2\pi Rh mô tả thành bình, không mô tả lớp nước. Cả hai đều có đơn vị diện tích, nên kiểm tra đơn vị là cần nhưng chưa đủ: còn phải xác định đúng ý nghĩa của đại lượng.
3. Quả cầu chìm hoàn toàn: công thức và điều kiện đi kèm
Với bình trụ bán kính trong R>0, diện tích đáy là A=\pi R^2. Quả cầu bán kính r>0 có thể tích V=\frac43\pi r^3, theo công thức thể tích hình cầu. Nếu quả cầu chìm hoàn toàn và nước không tràn, thay vào phương trình bảo toàn được
\pi R^2(h-h_0)=\frac43\pi r^3,\boxed{h=h_0+\frac{4r^3}{3R^2}}.
Hệ số \pi triệt tiêu vì cả đáy bình tròn và thể tích cầu đều chứa nó. Không cần dùng gần đúng 3{,}14 ở bước giữa. Độ tăng phụ thuộc vào lập phương bán kính quả cầu và bình phương bán kính bình.
Kiểm tra đầy đủ một quả cầu nằm trên đáy
Gọi chiều cao trong của bình là H, giả sử 0<r<R để quả cầu đi qua miệng bình và còn khoảng hở; 0\le h_0\le H. Đỉnh quả cầu đặt trên đáy cao 2r. Trong mô hình tĩnh, công thức chìm hoàn toàn, không tràn chỉ tự nhất quán khi
2r\le h_0+\frac{4r^3}{3R^2}\le H.
Bất đẳng thức trái bảo đảm mặt nước không thấp hơn đỉnh cầu; dấu bằng là trường hợp mặt nước vừa chạm đỉnh. Bất đẳng thức phải bảo đảm nước không vượt miệng; dấu bằng là vừa đầy. Nếu yêu cầu mặt nước phủ cao hơn đỉnh cầu hoặc còn khoảng trống ở miệng, phải dùng dấu nghiêm tương ứng.
Những điều kiện này cũng đủ trong mô hình: quả cầu đã vừa bình; tại chiều cao tính được, nó nằm hoàn toàn dưới hoặc chạm mặt nước, và thể tích khoảng trống chứa nước đúng bằng \pi R^2h_0. Giá trị h là duy nhất trong miền chìm hoàn toàn, vì tăng h thêm d>0 làm thể tích khoảng trống tăng thêm \pi R^2d>0.
Nếu kết quả cho h<2r, không được giữ kết quả ấy rồi vẫn gọi quả cầu là chìm hoàn toàn. Khi đó thể tích bị chiếm chỗ nhỏ hơn thể tích cả quả cầu; cần dữ kiện hoặc một công thức riêng cho phần chìm. Nếu r=0, mô hình giới hạn cho độ dâng bằng không, nhưng đó không còn là một quả cầu có thể tích dương.
4. Một tình huống chọn lọc và ba phép kiểm tra độc lập
Bình trụ có bán kính trong 4\,\mathrm{cm}, chứa nước cao 8\,\mathrm{cm}. Thả một quả cầu đặc, không thấm nước, bán kính 3\,\mathrm{cm}, để nó nằm trên đáy. Giả sử bình đủ cao và không có nước tràn. Tìm mực nước sau khi ổn định.
Thay vì cộng chiều cao với đường kính quả cầu, hãy tính hai thể tích:
V_{\mathrm{nước}}=\pi\cdot4^2\cdot8=128\pi\,\mathrm{cm}^3,V_{\mathrm{cầu}}=\frac43\pi\cdot3^3=36\pi\,\mathrm{cm}^3.
Tổng thể tích phần bình dưới mặt nước là 164\pi\,\mathrm{cm}^3, nên
16\pi h=164\pi\quad\Longleftrightarrow\quad h=\frac{41}{4}=10{,}25\,\mathrm{cm}.
Kiểm tra bằng độ dâng: h-h_0=36\pi/(16\pi)=9/4=2{,}25\,\mathrm{cm}. Kiểm tra hình học: đỉnh cầu cao 6\,\mathrm{cm}, thấp hơn mặt nước mới; bán kính cầu nhỏ hơn bán kính bình. Kiểm tra lượng nước còn lại:
16\pi\cdot10{,}25-36\pi=128\pi\,\mathrm{cm}^3.
Ba phép kiểm tra lần lượt xét độ tăng, khả năng chứa và bảo toàn nước. Dữ kiện “không tràn” đòi hỏi chiều cao trong của bình ít nhất 10{,}25\,\mathrm{cm}. Không thể kết luận điều này chỉ từ hai bán kính.
Hình đúng tỉ lệ: một đơn vị chiều dài ứng với 14 đơn vị vẽ. Chiều cao bình 12\,\mathrm{cm} chỉ được chọn để minh họa khoảng trống, không phải dữ kiện thêm của tình huống. Đường nét đứt là mực nước cũ; phần tròn tô vàng là mặt cắt của quả cầu.
5. Thay kích thước: dự đoán trước khi tính
Giữ nguyên bình và thay quả cầu bán kính 3\,\mathrm{cm} bằng quả cầu bán kính 2\,\mathrm{cm}, vẫn đặt trên đáy, chìm hoàn toàn và không tràn. Ta chỉ cần tính độ tăng:
h-h_0=\frac{4\cdot2^3}{3\cdot4^2}=\frac23\,\mathrm{cm},\qquad h=\frac{26}{3}\,\mathrm{cm}.
Đỉnh cầu mới cao 4\,\mathrm{cm}, nên giả thiết chìm được kiểm tra. Tỉ số hai độ tăng là (2/3)^3=8/27, không phải 2/3. Bán kính giảm một phần ba làm thể tích giảm mạnh hơn một phần ba.
Tổng quát, nếu bán kính quả cầu nhân với k>0 còn bình giữ nguyên, độ dâng nhân với k^3, miễn các điều kiện chìm và không tràn vẫn còn đúng. Nếu chỉ bán kính bình nhân với k, độ dâng chia cho k^2. Nếu mọi chiều dài, kể cả hai bán kính và mực nước ban đầu, cùng nhân với k, độ dâng cũng nhân với k:
\frac{4(kr)^3}{3(kR)^2}=k\frac{4r^3}{3R^2}.
Đây là một phép kiểm tra tính hợp lí của công thức: phóng to toàn bộ mô hình theo cùng tỉ lệ phải phóng to một độ cao theo đúng tỉ lệ ấy. Các phép so sánh không được dùng để bỏ qua việc quả cầu mới quá lớn, nhô lên hoặc gây tràn.
6. Khi giả thiết đổi, phải đổi phương trình
Vật chỉ chìm một phần
Nếu biết chính xác 60\% thể tích quả cầu nằm dưới mặt nước, đặt f=3/5. Trong bình không tràn, phương trình là
\pi R^2(h-h_0)=f\frac43\pi r^3.
Với R=4, r=3, h_0=8, ta có độ dâng (3/5)(9/4)=27/20=1{,}35\,\mathrm{cm}, nên h=9{,}35\,\mathrm{cm}. Đây là một mô hình khác: vật có thể được giữ ở vị trí chìm một phần hoặc nổi. Không đồng thời giả sử quả cầu ấy vẫn nằm trên đáy của bình này, vì khi đó đỉnh của nó chỉ cao 6\,\mathrm{cm}.
Phần trăm thể tích chìm không đồng nghĩa phần trăm đường kính chìm. Các lát cắt của hình cầu có diện tích thay đổi theo độ cao. Nếu chỉ biết vật nổi nhưng không biết phần thể tích chìm, không thể tự lấy toàn bộ thể tích vật; bài toán cần thêm thông tin về trạng thái nổi.
Bình có chiều cao giới hạn và có nước tràn
Gọi W\ge0 là thể tích nước bị tràn. Khi đó nước còn lại là Ah_0-W, nên phương trình tổng quát trở thành
Ah=Ah_0-W+V_{\mathrm{chìm}}.
Nếu vật chìm hoàn toàn, đặt h_*=h_0+V/A là mực nước dự đoán khi chưa xét miệng bình. Với quả cầu vừa bình, nằm trên đáy và H\ge2r, nếu h_*>H, mặt nước cuối cùng ở miệng h=H, và
\boxed{W=V-A(H-h_0)}.
Giá trị này dương đúng khi thể tích vật lớn hơn dung tích trống ban đầu. Nếu h_*\le H và vẫn chìm hoàn toàn, W=0. Tại h_*=H, nước vừa chạm miệng, chưa có thể tích tràn dương.
Chẳng hạn giữ R=4, r=3, h_0=8 nhưng chọn bình cao H=10\,\mathrm{cm}. Quả cầu vẫn nằm trọn dưới miệng vì 6<10. Khoảng trống ban đầu chứa 16\pi(10-8)=32\pi\,\mathrm{cm}^3, ít hơn 36\pi\,\mathrm{cm}^3 mà quả cầu chiếm. Vì vậy tràn 4\pi\,\mathrm{cm}^3; mực nước cuối là 10\,\mathrm{cm}, không phải 10{,}25\,\mathrm{cm}.
7. Dùng phép đo ngược và nhận ra giới hạn của mô hình
Trong bình trụ bán kính trong 5\,\mathrm{cm}, một vật không thấm nước được nhấn chìm hoàn toàn làm nước dâng 1{,}2\,\mathrm{cm}, không tràn. Không cần biết vật là hình gì, thể tích vật vẫn tính được:
V=\pi\cdot5^2\cdot1{,}2=30\pi\,\mathrm{cm}^3.
Nếu còn biết vật là một quả cầu, bán kính dương duy nhất thỏa \frac43\pi r^3=30\pi, tức r^3=45/2. Ta không cần làm tròn bán kính để kết luận thể tích. Nếu có hai vật cùng chìm, không chồng lấn, thể tích phần chiếm chỗ là tổng hai thể tích; điều đó vẫn không tự bảo đảm chúng đặt vừa nhau trong bình.
Với bình loe, tiết diện ngang thay đổi, không thể dùng một diện tích đáy cố định nhân độ dâng. Nếu B(h) là thể tích phần bình từ đáy đến cao h, phương trình đúng là B(h)-B(h_0)=V_{\mathrm{chìm}} khi không tràn. Chẳng hạn, với bình hình nón có đỉnh ở dưới và h đo lên từ đỉnh, các tam giác đồng dạng cho bán kính mặt nước tỉ lệ với h. Vì thế thể tích đến cao h tỉ lệ với h^3, không tỉ lệ với h. Kết luận này không được áp dụng nguyên dạng cho bình nón đặt đáy ở dưới hoặc bình nón cụt. Công thức bảo toàn vẫn đúng; cách tính dung tích theo chiều cao thay đổi.
8. Tự kiểm tra bằng lập luận
Hai bình trụ có bán kính trong 3 cm và 6 cm. Cùng một vật chìm hoàn toàn thì độ dâng so sánh ra sao?
Giả sử vật vừa cả hai bình và không tràn. Diện tích đáy bình thứ hai gấp (6/3)^2=4 lần. Vì cùng thể tích chìm, độ dâng bình thứ hai bằng một phần tư độ dâng bình thứ nhất. Không thể nói mực nước cuối cũng bằng một phần tư nếu hai mực nước ban đầu khác nhau.
Bình bán kính 4 cm, nước cao 1 cm, quả cầu bán kính 3 cm đặt trên đáy. Có được kết luận mực nước mới là 3,25 cm không?
Không. Đó là kết quả khi giả sử toàn bộ quả cầu chiếm chỗ, nhưng 1+9/4=13/4<6=2r. Nó không thỏa điều kiện chìm hoàn toàn. Phải tính phần thể tích thực sự chìm bằng mô hình khác; bài học không thay phần đó bằng thể tích cả cầu.
Mực nước không dâng nữa có chứng tỏ vật không còn chiếm chỗ không?
Không. Trong bình đã đầy, vật vẫn làm nước bị chiếm chỗ nhưng lượng nước tràn bù lại. Khi h=h_0=H, phương trình cho W=V_{\mathrm{chìm}}. Mực nước không đổi và thể tích nước trong bình giảm là hai việc có thể xảy ra đồng thời.
Quy trình chuyển được sang tình huống mới: xác định phần vật chìm, viết thể tích dưới mặt nước bằng nước còn lại cộng phần vật chiếm chỗ, rồi kiểm tra độ cao, độ vừa bình và khả năng tràn. Công thức độ dâng là kết luận cuối của mô hình, không phải giả thiết đầu tiên.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện