Phần giao: đếm mỗi kết quả và mỗi diện tích đúng một lần
Từ bốn miền rời nhau đến công thức cộng rồi trừ giao; hiểu cùng một nguyên lí trong số đếm, hai lối đi và xác suất của nhiều điều kiện.
TOÁN THCS · ĐẾM VÀ DIỆN TÍCH
Phần giao: đếm mỗi kết quả và mỗi diện tích đúng một lần
Từ bốn miền rời nhau đến công thức cộng rồi trừ giao; hiểu cùng một nguyên lí trong số đếm, hai lối đi và xác suất của nhiều điều kiện.
1. Chỗ giao nhau đã được tính mấy lần?
Trong 30 học sinh, có 18 em tham gia nhóm đọc sách, 16 em tham gia nhóm thể thao, và 8 em tham gia cả hai. Nếu cộng 18+16, ta đã tính hai lần mỗi em thuộc cả hai nhóm.
Muốn đếm những em tham gia ít nhất một nhóm, phải bỏ bớt đúng một lần phần bị lặp:
18+16-8=26.
Có 30-26=4 em không tham gia nhóm nào. Còn số em tham gia đúng một nhóm là (18-8)+(16-8)=18. “Ít nhất một”, “cả hai” và “đúng một” là ba yêu cầu khác nhau.
Các số ghi số học sinh ở từng miền, không dùng kích thước các miền để suy ra số lượng. Phần chung được tách ra trước khi cộng.
Dự đoán. Khi tính diện tích hai lối đi cắt nhau, phần đất ở giao điểm có bị lặp theo đúng cách này không? Khi một kết quả gieo xúc xắc thỏa hai điều kiện cùng lúc, có được tính hai lần vào biến cố “thỏa ít nhất một điều kiện” không?
Cả ba tình huống cùng dùng một nguyên lí: chia thành các phần không chồng nhau, rồi bảo đảm mỗi phần cần tính được tính đúng một lần.
2. Chia thành bốn miền để tự suy ra công thức
Xét một tập hữu hạn có N phần tử. Gọi A,B là hai nhóm điều kiện, với n(A)=m,n(B)=n, và n(A\cap B)=c. Kí hiệu A\cap B là nhóm thỏa cả hai điều kiện; A\cup B là nhóm thỏa ít nhất một điều kiện.
Bốn miền rời nhau có số phần tử:
\text{chỉ thuộc }A:m-c,\qquad\text{cả hai}:c,\qquad\text{chỉ thuộc }B:n-c,\text{không thuộc nhóm nào}:N-m-n+c.
Cộng ba miền đầu cho
\boxed{n(A\cup B)=m+n-c}.
Cộng hai miền “chỉ thuộc” cho
\boxed{n(\text{đúng một nhóm})=m+n-2c}.
Ở công thức hợp, phần giao vốn có hai bản sao nên trừ một bản sao. Ở yêu cầu đúng một nhóm, phần giao phải biến mất hoàn toàn nên trừ cả hai bản sao. Không thể dùng chung một công thức cho hai cách diễn đạt.
Dữ kiện về phần giao có luôn khả thi không?
Bốn số đếm phải là số nguyên không âm, nên nhất thiết
\boxed{\max(0,m+n-N)\le c\le\min(m,n)}.
Ngược lại, nếu N,m,n,c là các số nguyên thỏa các điều kiện ấy cùng 0\le m,n\le N, bốn số miền đều không âm và có tổng N. Ta có thể chia N phần tử vào bốn miền theo đúng các số ấy, nên dữ kiện thực sự xây dựng được.
Với N=30,m=18,n=16, phần giao phải từ 4 đến 16. Nếu ai cho phần giao bằng 2, công thức sẽ cho 32 người tham gia ít nhất một nhóm, vượt quá tổng 30. Vấn đề nằm ở dữ kiện, không phải phép cộng trừ.
3. Cùng nguyên lí ấy tính được diện tích hai dải cắt nhau
Cho khu đất hình chữ nhật dài a>0, rộng b>0. Một dải đứng rộng u chạy hết chiều rộng b; một dải ngang rộng v chạy hết chiều dài a. Hai dải nằm trong khu đất và song song với các cạnh. Xét 0\le u\le a,0\le v\le b, cho phép các trường hợp biên để kiểm tra công thức.
Diện tích dải đứng là bu, dải ngang là av, phần giao là hình chữ nhật u nhân v, có diện tích uv. Vì vậy
\boxed{S_{\mathrm{hai\ dai}}=bu+av-uv}.
Phần đất còn lại có diện tích
ab-bu-av+uv=\boxed{(a-u)(b-v)}.
Đẳng thức cuối có hai cách hiểu. Đại số cho phép đặt nhân tử chung; hình học cho phép ghép bốn phần ở các góc thành hình chữ nhật có hai chiều a-u,b-v. Cả hai cách đều tính mỗi phần đúng một lần.
Vị trí hai dải ở giữa hay lệch về một phía không đổi diện tích phần giao, miễn mỗi dải chạy hết chiều tương ứng và có đúng chiều rộng đã nêu. Nhưng nếu đổi thành hai dải chéo, phần giao không còn tự động là hình chữ nhật u nhân v; phải lập lại mô hình.
Kiểm tra hai trường hợp biên
Nếu u=v=0, chưa lấy đi phần đất nào và công thức cho ab. Nếu u=a, dải đứng phủ toàn bộ khu đất, nên diện tích còn lại bằng 0, khớp (a-a)(b-v)=0. Đây là các kiểm tra hình học độc lập với phép khai triển.
4. Một phương trình đúng vẫn cần miền của chiều rộng
Xét ứng dụng: khu đất dài 24 m, rộng 18 m. Hai lối đi vuông góc, song song các cạnh, chạy hết khu đất và cùng rộng x m. Phần đất còn lại là 315 mét vuông. Điều kiện lối đi có chiều rộng dương và vẫn còn đất là 0<x<18.
Theo mô hình vừa chứng minh:
(24-x)(18-x)=315.x^2-42x+117=0\Longleftrightarrow(x-3)(x-39)=0.
Ứng viên 39 bị loại vì vượt quá chiều rộng khu đất. Đại số vẫn có thể cho (24-39)(18-39)=315, vì tích hai số âm là số dương; nhưng hai số âm ấy không thể là kích thước phần đất còn lại.
Với x=3, diện tích hai dải là 24\cdot3+18\cdot3-3^2=117, và diện tích còn lại là 432-117=315. Vì thế chiều rộng phù hợp là 3 m.
Phần nâu đậm là giao của hai dải. Cộng diện tích hai dải sẽ tính phần này hai lần, nên phải trừ một lần.
Nếu bỏ quên việc trừ phần giao khi tính hai lối đi, ta sẽ lấy đi 72+54=126 mét vuông và kết luận còn 306 mét vuông. Sai lệch 9 mét vuông đúng bằng diện tích phần giao bị lấy đi thêm một lần.
Vì sao chỉ có một chiều rộng hợp lệ?
Đặt F(x)=(24-x)(18-x). Với 0\le x_1<x_2\le18:
F(x_1)-F(x_2)=(x_2-x_1)(42-x_1-x_2)>0.
Thừa số đầu dương; thừa số sau dương vì x_1+x_2<36. Vậy diện tích còn lại giảm nghiêm ngặt khi lối đi rộng hơn. Mỗi giá trị diện tích có nhiều nhất một chiều rộng hợp lệ. Phép kiểm tra x=3 đã chứng minh chiều rộng ấy thật sự tồn tại.
5. Xác suất của “ít nhất một điều kiện” cũng phải trừ giao
Gieo hai xúc xắc cân đối, một đỏ và một xanh, độc lập với nhau. Ghi kết quả thành cặp có thứ tự (r,s), với r là số chấm đỏ, s là số chấm xanh. Có 36 kết quả đồng khả năng.
Gọi A là biến cố “tổng bằng 7”, B là biến cố “tích bằng 6”. Liệt kê đầy đủ:
A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\},B=\{(1,6),(6,1),(2,3),(3,2)\}.
Hai kết quả (1,6),(6,1) thuộc cả hai biến cố. Do đó
n(A\cup B)=6+4-2=8,\qquad\boxed{P(A\cup B)=\frac8{36}=\frac29}.
Mỗi ô là một cặp có thứ tự: hàng ghi số chấm đỏ, cột ghi số chấm xanh. Hai ô màu tím thuộc cả hai điều kiện và chỉ được tính một lần trong hợp.
Nếu cộng ngay P(A)+P(B)=6/36+4/36, ta đã tính lặp hai ô chung. Vì các ô đồng khả năng, chia công thức số đếm cho 36 cho
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Xác suất đúng một điều kiện là (6+4-2\cdot2)/36=1/6. Xác suất không có điều kiện nào là (36-8)/36=7/9. Xác suất cả hai là 2/36=1/18. Ba loại “đúng một”, “cả hai”, “không có” rời nhau và phủ toàn bộ không gian mẫu; tổng của chúng bằng 1.
6. Phần giao không tự bằng tích hai xác suất
Hai xúc xắc được gieo độc lập giúp tạo 36 cặp đồng khả năng. Điều đó không có nghĩa mọi hai biến cố tạo từ chúng đều độc lập. Trong ví dụ vừa rồi:
P(A\cap B)=\frac1{18},\qquad P(A)P(B)=\frac16\cdot\frac19=\frac1{54}.
Hai số khác nhau. Nếu đã biết tổng bằng 7, chỉ còn sáu kết quả trong A, trong đó hai kết quả có tích bằng 6. Tỉ lệ khi có thông tin này là 2/6=1/3, khác xác suất ban đầu 1/9.
Vì thế phải tìm phần giao từ điều kiện thực tế, không tự thay nó bằng tích. Công thức cộng rồi trừ giao dựa trên các phần rời nhau; nó không cần giả thiết hai biến cố độc lập.
Còn cách lấy “số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả” cần đồng khả năng. Nếu hai xúc xắc bị buộc luôn ra cùng một số chấm, chỉ còn sáu cặp (1,1),\ldots,(6,6). Không cặp nào có tổng 7 hoặc tích 6, nên xác suất hợp bằng 0. Mỗi xúc xắc riêng lẻ vẫn có thể cân đối, nhưng cách phối hợp đã đổi.
Hai tình huống làm công thức đơn giản đi
Nếu A,B không có phần chung, thì P(A\cap B)=0 và ta được phép cộng thẳng hai xác suất. Nếu mọi kết quả trong A đều đã thuộc B, phần giao chính là A, nên P(A\cup B)=P(B). Cả hai đều là hệ quả của một công thức, không phải hai mẹo tách rời.
7. Ba nhóm: vì sao phải cộng lại phần chung của cả ba?
Với ba tập hữu hạn A,B,C, trước hết cộng số phần tử của từng tập, rồi trừ từng phần giao đôi. Một phần tử thuộc cả ba tập đã được cộng ba lần, rồi bị trừ ba lần; lúc này nó bị tính thành không lần. Vì vậy cần cộng lại một lần phần giao ba:
n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)\quad-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).
Chứng minh theo từng loại phần tử: thuộc đúng một tập thì được tính 1 lần; thuộc đúng hai tập thì được tính 2-1=1 lần; thuộc cả ba thì được tính 3-3+1=1 lần. Như vậy mọi phần tử của hợp đều được tính đúng một lần.
Ví dụ độc lập, lấy A=\{1,2,3\},B=\{3,4\},C=\{3,5\}. Mỗi giao đôi và giao ba đều chỉ chứa số 3. Công thức cho 3+2+2-1-1-1+1=5, đúng bằng số phần tử của \{1,2,3,4,5\}. Nếu quên cộng lại giao ba, ta sẽ đếm thiếu chính số 3.
8. Chọn đúng phần trước khi chọn công thức
“Ít nhất một” yêu cầu toàn bộ hợp; “cả hai” yêu cầu phần giao; “đúng một” yêu cầu hai phần riêng; “không có” yêu cầu phần nằm ngoài hợp. Vẽ bốn miền hoặc mô tả chúng bằng lời thường giúp tránh nhầm hơn việc tìm ngay một công thức đã nhớ.
Trong diện tích, hãy kiểm tra phần giao đúng hình gì và mô hình có giữ các kích thước không âm không. Trong số đếm, bốn miền phải chứa số nguyên không âm. Trong xác suất, cách chia cho số kết quả cần các kết quả đồng khả năng. Những điều kiện ấy khác nhau, nhưng nguyên lí không đổi: mỗi phần được yêu cầu phải được tính đúng một lần .
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu