Đổi trục quay, đổi khối hình: nhìn đúng bán kính trước khi tính
Từ quỹ đạo điểm đến hình trụ và hình nón: xác định bán kính, chiều cao, đường sinh; hiểu công thức, so sánh hai trục quay và tránh đếm trùng. Hình đúng tỉ…
TOÁN 9 · HÌNH TRỤ VÀ HÌNH NÓN
Đổi trục quay, đổi khối hình: nhìn đúng bán kính trước khi tính
Một hình phẳng chưa quyết định được khối tròn xoay. Cần biết hình quay quanh đường nào, quay đủ bao nhiêu và ta đang theo dõi một điểm, một cạnh hay cả miền bên trong.
Sau bài này, em có thể: tìm bán kính bằng khoảng cách vuông góc đến trục; phân biệt chiều cao và đường sinh; giải thích hình nào tạo mặt bên, hình nào tạo đáy; so sánh hai cách quay mà không đoán từ hình; kiểm tra đơn vị và phần vật thể thực sự được tính.
Cần biết: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, hình chữ nhật, tam giác vuông, định lí Pythagore, chu vi và diện tích hình tròn. Các hình và số liệu dưới đây được tự biên soạn.
1. Một điểm quay thành gì?
Giữ một đường thẳng d cố định trong không gian. Lấy điểm P không thuộc d, và gọi O là chân đường vuông góc từ P xuống d. Khi quay điểm P một vòng quanh d, khoảng cách OP không đổi. Điểm ấy vạch một đường tròn tâm O, bán kính OP, nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục tại O.
Đừng lấy một đoạn xiên nối P với một điểm khác trên trục làm bán kính: bán kính quỹ đạo là khoảng cách ngắn nhất từ điểm đến trục . Nếu P nằm trên trục, điểm đó đứng yên.
Đây là hình nhìn dọc trục, nên quỹ đạo là đường tròn thật, không phải hình elip phối cảnh. P' là một vị trí khác của cùng điểm quay; cả hai cách O đúng 120 đơn vị hình.
Dừng để dự đoán. Nếu cho cả đoạn OP quay, ta chỉ có đường tròn hay có cả phần bên trong?
Gợi ý: theo dõi các điểm nằm giữa O và P
Mỗi điểm ở khoảng cách t từ O, với 0<t<OP, vạch một đường tròn bán kính t. Các đường tròn ấy, cùng điểm O, lấp đầy hình tròn bán kính OP.
Ba đối tượng khác nhau: điểm quay tạo đường tròn; đoạn bán kính quay tạo hình tròn (miền có diện tích); một miền hình phẳng quay có thể tạo một khối có thể tích. Bài này xét quay đủ một vòng và lấy toàn bộ miền được quét qua.
2. Hình chữ nhật: cạnh nào là trục, cạnh nào là bán kính?
Cho hình chữ nhật OABC, các đỉnh theo thứ tự quanh hình, với OA=h>0, OC=r>0. Quay cả miền hình chữ nhật quanh cạnh OA. Hai điểm O,A đứng yên. Đoạn OC quét hình tròn đáy dưới; đoạn AB quét hình tròn đáy trên. Cạnh BC, song song trục và cách trục một khoảng r, quét mặt bên hình trụ.
Vì mọi lát cắt vuông góc trục, ở bất kì độ cao nào giữa O và A, đều là hình tròn bán kính r, ta được một hình trụ có:
R=OC=AB=r,\qquad H=OA=BC=h.
Thiết diện qua trục được vẽ cùng tỉ lệ 60 đơn vị hình/cm: chiều cao 240, bán kính 180 và đường kính 360. Nửa xanh là hình chữ nhật ban đầu; nửa còn lại cho thấy phía đối diện sau khi quay. Hình này là thiết diện phẳng, không phải toàn bộ mặt ngoài của khối.
Vì sao có công thức diện tích? Cắt mặt bên theo một đường sinh và trải phẳng, ta được hình chữ nhật cao h, rộng bằng chu vi đáy 2\pi r. Vì vậy S_{xq}=2\pi rh. Nếu tính cả hai đáy, cộng thêm 2\pi r^2.
S_{xq}=2\pi rh,\qquad S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2,\qquad V=\pi r^2h.
Thể tích là diện tích đáy nhân chiều cao. Với r=3\,\mathrm{cm}, h=4\,\mathrm{cm}, kết quả là S_{xq}=24\pi\,\mathrm{cm}^2, S_{tp}=42\pi\,\mathrm{cm}^2, V=36\pi\,\mathrm{cm}^3. Số 6 cm trên thiết diện là đường kính , không được thay vào vị trí r.
3. Tam giác vuông: ba cạnh có ba vai trò
Cho tam giác OAB vuông tại O, với OA=h>0, OB=r>0. Quay toàn bộ miền tam giác quanh cạnh OA. Đỉnh A là đỉnh nón; O là tâm đáy; đoạn OB quét hình tròn đáy. Cạnh huyền AB quét mặt bên nón và có độ dài đường sinh \ell.
R=OB=r,\qquad H=OA=h,\qquad \ell=AB=\sqrt{r^2+h^2}.
Cùng tỉ lệ 60 đơn vị hình cho một đơn vị độ dài. Tam giác ban đầu có hai cạnh góc vuông dài 180 và 240 đơn vị hình, cạnh huyền dài 300. Đường sinh nghiêng; chiều cao luôn vuông góc mặt đáy.
Hiểu diện tích mặt bên. Khi trải mặt bên nón, ta được một hình quạt tròn bán kính \ell. Cung của hình quạt phải ghép vừa chu vi đáy 2\pi r. Hình quạt chiếm tỉ phần s/(2\pi\ell) của hình tròn bán kính \ell, trong đó s là độ dài cung. Vì thế diện tích hình quạt là \dfrac{s}{2\pi\ell}\cdot\pi\ell^2=\dfrac12s\ell. Thay s=2\pi r, ta được S_{xq}=\tfrac12\ell\cdot2\pi r=\pi r\ell. Cộng một đáy để có diện tích toàn phần.
S_{xq}=\pi r\ell,\qquad S_{tp}=\pi r\ell+\pi r^2,\qquad V=\frac13\pi r^2h.
Hệ số 1/3 là định lí về thể tích nón có cùng đáy và chiều cao với hình trụ; không suy ra chỉ bằng việc nhìn tam giác có diện tích bằng nửa hình chữ nhật. Quay một miền là một phép tạo hình trong không gian, không phải phép nhân diện tích phẳng với một hằng số chung.
Với tam giác 3–4–5 quay quanh cạnh dài 4 cm: r=3, h=4, \ell=5. Vậy V=12\pi\,\mathrm{cm}^3, S_{xq}=15\pi\,\mathrm{cm}^2, S_{tp}=24\pi\,\mathrm{cm}^2. Không dùng đường sinh 5 thay chiều cao 4 trong công thức thể tích.
4. Cùng một hình, hai trục: dự đoán rồi so sánh
Dự đoán trước khi tính. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm. Quay quanh cạnh 4 cm hoặc cạnh 3 cm: trường hợp nào có thể tích lớn hơn? Cạnh trục dài hơn có chắc tạo thể tích lớn hơn?
Gợi ý: bán kính được bình phương, chiều cao thì không
Quay quanh cạnh 4: r=3,h=4. Quay quanh cạnh 3: r=4,h=3. Viết riêng hai tích r^2h, chưa cần nhân \pi/3.
Lời giải và lí do có thể dùng cho cặp số khác
Hai thể tích là 12\pi và 16\pi\,\mathrm{cm}^3. Nón quay quanh cạnh ngắn hơn có thể tích lớn hơn: bán kính tăng từ 3 lên 4 đủ bù cho chiều cao giảm.
Đặt hai cạnh góc vuông là a,b>0. Gọi V_a là thể tích khi quay quanh cạnh dài a, V_b khi quay quanh cạnh dài b. Khi đó:
V_a=\frac13\pi b^2a,\qquad V_b=\frac13\pi a^2b,\qquad \frac{V_a}{V_b}=\frac ba.
Nếu b>a, thì V_a>V_b. Nếu a=b, hai thể tích bằng nhau. Đây là kết luận cho hai cạnh góc vuông của cùng tam giác , không phải quy tắc cho hai hình bất kì có trục dài ngắn khác nhau.
Đường sinh không đổi vì vẫn là cùng cạnh huyền: \ell=\sqrt{a^2+b^2}. Nhưng diện tích đáy và mặt bên thay đổi theo bán kính. Trong ví dụ 3–4–5, quay quanh cạnh 3 tạo S_{xq}=20\pi, S_{tp}=36\pi\,\mathrm{cm}^2. Biết đường sinh bằng nhau chưa đủ kết luận hai nón bằng nhau.
Chuyển sang hình chữ nhật. Hình chữ nhật cạnh a,b quay quanh cạnh a cho V_a=\pi b^2a; quay quanh cạnh b cho V_b=\pi a^2b. Tỉ số vẫn là b/a. Hệ số 1/3 không còn, nhưng nó vốn triệt tiêu trong phép so sánh hai nón, nên chiến lược tỉ số vẫn dùng được.
5. Trục ở giữa: đừng đếm hai lần cùng một khối
Lấy hình chữ nhật rộng 6 cm, cao 4 cm. Lần thứ nhất, quay quanh cạnh cao 4 cm: r=6,h=4, nên V_1=144\pi\,\mathrm{cm}^3. Lần thứ hai, quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh rộng, song song cạnh cao. Mỗi điểm của hình cách trục nhiều nhất 3 cm, nên khối tạo thành là hình trụ r=3,h=4, có V_2=36\pi\,\mathrm{cm}^3.
\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac36\right)^2=\frac14.
Vì sao không phải hai hình trụ cộng lại? Nửa trái và nửa phải của hình chữ nhật, khi quay đủ một vòng quanh trục giữa, quét qua cùng tập hợp điểm. Khối được tính theo miền chiếm chỗ trong không gian; vùng bị quét hai lần không có thể tích gấp đôi.
Công thức “cạnh không làm trục là bán kính” chỉ dùng được khi trục là một cạnh của hình chữ nhật theo cấu hình đã nêu. Với trục giữa, phải trở về khoảng cách từ điểm đến trục. Nếu trục nằm ngoài hình, có thể xuất hiện khoảng rỗng; không tự áp mô hình hình trụ đặc.
Một phép kiểm khác: phóng to. Nếu mọi kích thước của một hình tăng k>0 lần, bán kính, chiều cao và đường sinh đều tăng k lần. Diện tích tăng k^2 lần; thể tích tăng k^3 lần. Còn nếu chỉ tăng chiều cao của hình trụ, giữ bán kính, thể tích chỉ tăng theo chiều cao. Phải nói rõ kích thước nào được giữ.
6. Chọn đại lượng trước khi chọn công thức
Một hình vẽ có thể cho đủ r,h,\ell, nhưng câu hỏi vẫn chưa được xác định nếu chưa biết cần đo mặt nào hoặc miền nào. Dùng ba câu hỏi sau để tránh chọn công thức theo thói quen:
- Khối được tạo thế nào? Ghi miền phẳng, trục, một vòng quay và giả thiết kích thước dương. Nếu hình bị rỗng hoặc trục khác cấu hình chuẩn, dựng lại mô hình.
- Đại lượng cần tìm là gì? Thể tích phần đặc, dung tích bên trong, diện tích mặt bên, hay tổng diện tích các mặt cần phủ? Viết tên trước, công thức sau.
- Số đo nào phù hợp? Khoảng cách vuông góc đến trục cho bán kính; khoảng cách hai mặt đáy hoặc từ đỉnh đến đáy cho chiều cao. Kích thước ngoài không tự động là kích thước lòng trong.
Ví dụ, một ống đựng dạng hình trụ có lòng trong bán kính 3 cm, sâu 4 cm thì dung tích hình học là 36\pi\,\mathrm{cm}^3=36\pi\,\mathrm{mL}, nếu lòng đúng là hình trụ và chứa đến miệng. Muốn tính vật liệu làm ống, dữ kiện lòng trong chưa đủ: còn cần độ dày, đáy và cách ghép.
Một mô hình hình trụ kín bán kính 3 cm, cao 4 cm được phủ toàn bộ bên ngoài theo mô hình lí tưởng sẽ dùng diện tích 42\pi\,\mathrm{cm}^2. Nếu chỉ phủ mặt bên thì dùng 24\pi\,\mathrm{cm}^2. Không cộng hai đáy chỉ vì nhớ công thức diện tích toàn phần.
Giữ \pi đến cuối giúp so sánh chính xác. Khi cần số gần đúng, mới thay giá trị của \pi và làm tròn theo yêu cầu. \mathrm{cm}, \mathrm{cm}^2, \mathrm{cm}^3 nói ba loại đại lượng khác nhau.
7. Tự kiểm tra bằng lí do, không chỉ bằng số
Thử tự trả lời từng câu trước khi mở. Với câu tính toán, ghi ba dòng: trục; kích thước khối; công thức và đơn vị.
A. Một đoạn xiên từ P đến trục dài 10 cm: quỹ đạo của P có bán kính 10 cm không?
Chưa kết luận được. Bán kính là khoảng cách vuông góc từ P đến trục. Đoạn xiên dài 10 chỉ cho biết một khoảng cách đến một điểm trên trục; cần chân vuông góc hoặc dữ kiện tính được khoảng cách ấy.
B. Hình chữ nhật 2\,\mathrm{cm}\times5\,\mathrm{cm} quay quanh cạnh 5 cm: tìm thể tích và diện tích mặt bên
Trục là cạnh 5, nên h=5, r=2. Do đó V=\pi\cdot2^2\cdot5=20\pi\,\mathrm{cm}^3; S_{xq}=2\pi\cdot2\cdot5=20\pi\,\mathrm{cm}^2. Cùng hệ số số học không có nghĩa hai đại lượng bằng nhau: đơn vị khác nhau.
C. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5 cm, 12 cm, quay quanh cạnh 12 cm
Ta có r=5,h=12,\ell=\sqrt{5^2+12^2}=13. Thể tích V=100\pi\,\mathrm{cm}^3; diện tích mặt bên S_{xq}=65\pi\,\mathrm{cm}^2; diện tích toàn phần S_{tp}=90\pi\,\mathrm{cm}^2. Đường sinh 13 thuộc công thức mặt bên, không thay cho chiều cao 12.
D. Với tam giác ở C, đổi sang quay quanh cạnh 5 cm: thể tích tăng bao nhiêu lần?
Bán kính thành 12, chiều cao thành 5. V'=240\pi\,\mathrm{cm}^3, nên V'/V=12/5. Có thể lấy tỉ số trực tiếp mà không tính hai thể tích: 12^2\cdot5/(5^2\cdot12)=12/5.
E. Hình chữ nhật rộng 8 cm, cao 5 cm quay quanh trục giữa song song cạnh cao
Khoảng cách lớn nhất tới trục là 4 cm, không phải 8. Hai nửa quét cùng một hình trụ: V=\pi\cdot4^2\cdot5=80\pi\,\mathrm{cm}^3. Không cộng thành 160\pi.
F. Một nón có bán kính 6 cm và đường sinh 10 cm: tìm chiều cao rồi tính thể tích
Thiết diện qua trục chứa tam giác vuông có h^2+6^2=10^2. Suy ra h=8\,\mathrm{cm}, chọn căn dương vì là độ dài. Vậy V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\,\mathrm{cm}^3. Nếu \ell\le r, không có nón với chiều cao dương theo mô hình này.
G. Gấp đôi mọi kích thước của nón 3–4–5: mặt bên và thể tích đổi ra sao?
Nón mới có r=6,h=8,\ell=10. Mặt bên 60\pi\,\mathrm{cm}^2, gấp 4 lần 15\pi. Thể tích 96\pi\,\mathrm{cm}^3, gấp 8 lần 12\pi. Không dùng chung hệ số 2 cho độ dài, diện tích và thể tích.
H. Quay chỉ ba cạnh của tam giác vuông có giống quay cả miền tam giác không?
Không xét cùng một tập hợp ban đầu. Các cạnh tạo mặt bên, đáy và đoạn trục; các điểm bên trong miền tam giác mới quét các điểm bên trong khối nón. Khi tính thể tích khối tròn xoay ở bài này, ta luôn lấy toàn bộ miền tam giác, không hiểu một khung dây có độ dày bằng không là vật thể đặc.
Điều cần mang sang bài mới: đừng thuộc “cạnh nào làm bán kính” tách khỏi trục. Hãy dựng khoảng cách vuông góc, theo dõi miền được quét và xác định đúng mặt hoặc khối cần đo. Công thức chỉ hoạt động sau khi mô hình đã đúng.
Chuyên đề tự biên soạn · Hình vẽ đúng tỉ lệ trong thiết diện · Không cần đề thi hoặc đáp án bên ngoài