Tiền đã làm tròn, còn xác định được số vé?
Dịch sai số và quy tắc làm tròn thành miền doanh thu, đếm đủ các số vé nguyên còn phù hợp và phân biệt một đáp án duy nhất với một mốc gần nhất.
TOÁN THCS · ĐỘ CHÍNH XÁC VÀ KHẢ NĂNG XÁC ĐỊNH
Tiền đã làm tròn, còn xác định được số vé?
Dịch sai số và quy tắc làm tròn thành miền doanh thu, đếm đủ các số vé nguyên còn phù hợp và phân biệt một đáp án duy nhất với một mốc gần nhất.
1. Tổng tiền ghi lại có phải tổng tiền chính xác?
Ví dụ tự xây dựng: bán đúng 4 vé, mỗi vé giá 8 hoặc 5 nghìn đồng. Các tổng tiền có thể có là 20,23,26,29,32 nghìn đồng. Số 25 nằm giữa cận nhỏ nhất và lớn nhất, nhưng không nằm trong danh sách ấy.
Nếu 25 là tổng chính xác, dữ kiện không có cách bán phù hợp. Nếu 25 chỉ là số được ghi với sai số không quá 1 nghìn đồng, tổng thật 26 có thể phù hợp. Nếu sai số cho phép là 2, cả 23 và 26 đều có thể phù hợp.
Ba câu hỏi có dùng cùng một dữ kiện không? “Bằng đúng”, “sai số không quá” và “đã làm tròn” tạo ra những tập tổng tiền thật khác nhau.
Bài học này xác định còn bao nhiêu cách chia số vé sau khi biết độ chính xác của một số tiền, và chứng minh khi nào kết luận duy nhất còn được giữ.
2. Công cụ nền: các tổng tiền cách đều
Giả sử bán đúng N vé, với N nguyên không âm, hai giá cố định p>q\ge0 cùng đơn vị tiền. Nếu k vé có giá cao, thì k nguyên và 0\le k\le N. Tổng tiền thật là
T=pk+q(N-k)=qN+(p-q)k.
Đặt T_0=qN, d=p-q>0. Mỗi lần thay một vé giá thấp bằng một vé giá cao, tổng tăng đúng d. Tập tổng tiền hợp lệ là
T_k=T_0+dk,\qquad k=0,1,\ldots,N.
Mỗi k tạo một cách chia số lượng k,N-k; các k khác nhau cho tổng khác nhau vì d>0. Bài toán đếm cách bán tương đương đếm các mốc của dãy nằm trong tập tổng tiền thật được phép.
Các mốc hợp lệ cách đều, không lấp kín cả đoạn từ 20 đến 32. Dấu chéo biểu thị một số nằm trong đoạn nhưng không phải tổng chính xác hợp lệ.
Với tổng chính xác T, kiểm tra k=(T-T_0)/d có nguyên và thuộc [0,N]. Với tổng chưa chính xác, ta phải tìm cả một tập giá trị k, không chọn đại bằng cách làm tròn thương.
3. Sai số không quá một mức: dịch thành một đoạn đóng
Gọi R là số tiền ghi lại. Giả sử sai lệch tuyệt đối không vượt quá \varepsilon\ge0, cùng đơn vị tiền. Tổng tiền thật phải thỏa
|T-R|\le\varepsilon
\quad\Longleftrightarrow\quad R-\varepsilon\le T\le R+\varepsilon.
Thay T=T_0+dk, chia cho d>0, ta được
\frac{R-\varepsilon-T_0}{d}\le k\le
\frac{R+\varepsilon-T_0}{d},\qquad k\in\mathbb Z,\quad0\le k\le N.
Công thức đếm, kể cả khi không có cách nào
Kí hiệu \lceil z\rceil là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn z, còn \lfloor z\rfloor là số nguyên lớn nhất không lớn hơn z. Chẳng hạn \lceil2{,}2\rceil=3,\ \lfloor2{,}2\rfloor=2; với số âm, \lceil-0{,}2\rceil=0,\ \lfloor-0{,}2\rfloor=-1.
Đặt
L=\max\left(0,\left\lceil\frac{R-\varepsilon-T_0}{d}\right\rceil\right),\qquad
U=\min\left(N,\left\lfloor\frac{R+\varepsilon-T_0}{d}\right\rfloor\right).
Nếu L>U, không có cách bán phù hợp. Nếu L\le U, các số vé giá cao là L,L+1,\ldots,U, nên có U-L+1 cách chia số lượng.
Chiều đủ: mỗi số nguyên trong đoạn này tạo hai số vé không âm, tổng đúng N, và tiền T_0+dk nằm trong đoạn sai số. Chiều cần: bất kì cách bán phù hợp nào cũng thỏa chuỗi bất đẳng thức đã biến đổi, nên k bắt buộc nằm giữa L,U. Như vậy việc đếm không thêm hoặc bỏ sót khả năng.
4. Độ chính xác nào bảo đảm nhiều nhất một cách bán?
Hai tổng hợp lệ khác nhau cách nhau ít nhất d. Đoạn sai số có độ dài 2\varepsilon. Nếu
\boxed{2\varepsilon<d,}
đoạn này không thể chứa hai tổng hợp lệ: khoảng cách giữa hai điểm trong nó không vượt 2\varepsilon<d. Vậy có nhiều nhất một cách bán.
“Nhiều nhất một” không có nghĩa “chắc chắn có một”. Với 4 vé, d=3, lấy R=25,\ \varepsilon=1/2. Đoạn [24{,}5;25{,}5] không chứa mốc hợp lệ nào.
Điều kiện 2\varepsilon<d là bảo đảm dùng được cho mọi vị trí của đoạn, không phải điều kiện cần cho một đoạn cụ thể chỉ chứa một mốc. Chẳng hạn R=26,\ \varepsilon=2 cho [24;28], vẫn chỉ chứa 26, dù độ dài 4>d=3.
Ranh giới và số cách khi sai số lớn hơn
Nếu 2\varepsilon=d, có thể có hai mốc ở đúng hai đầu. Với R=24{,}5,\ \varepsilon=1{,}5, đoạn [23;26] chứa hai mốc, đều được lấy bởi dấu “không quá”.
Nếu một đoạn chứa m\ge1 mốc của dãy cách đều, những mốc trong đoạn là các mốc liên tiếp. Mốc đầu và cuối cách nhau (m-1)d\le2\varepsilon. Do đó
m\le\left\lfloor\frac{2\varepsilon}{d}\right\rfloor+1.
Đồng thời m\le N+1. Cận chung là giá trị nhỏ hơn của hai cận này. Trường hợp không có mốc cho m=0, cũng không vượt cận.
5. Ứng dụng chọn lọc: tổng chính xác và tổng có sai số
Dữ kiện chọn từ tài liệu nguồn: 450 vé, hai giá 100\,000 và 75\,000 đồng, tổng thu chính xác 36\,125\,000 đồng. Dùng thống nhất đơn vị nghìn đồng:
N=450,\quad p=100,\quad q=75,\quad
T_0=33\,750,\quad d=25.
Với T=36\,125,
k=\frac{36\,125-33\,750}{25}=95.
Vì 95 nguyên và thuộc [0,450], có 95 vé giá cao, 355 vé giá thấp. Kiểm lại:
95\cdot100\,000+355\cdot75\,000=36\,125\,000.
Một câu hỏi mới về độ chính xác
Giữ nguyên số vé và giá, nhưng giả sử bản ghi mới cho R=36\,130 nghìn đồng với sai số không quá 5 nghìn đồng. Tổng thật nằm trong [36\,125;36\,135]. Trong dãy bước 25, chỉ có mốc 36\,125, nên vẫn suy ra 95 vé giá cao.
Nếu bản ghi khẳng định sai số không quá 4, đoạn là [36\,126;36\,134], không chứa mốc nào. Nếu coi 36\,130 là tổng chính xác, thương 95{,}2 cũng cho biết không có cách chia vé nguyên.
Các tình huống sai số là ví dụ mới, không phải tuyên bố rằng số tiền trong tài liệu nguồn bị ghi sai.
6. Làm tròn có quy tắc đầu mút riêng
Xét cách ghi: làm tròn tổng tiền đến bội gần nhất của 100 nghìn đồng; đúng giữa hai bội thì làm tròn lên. Nếu ghi R=36\,100 nghìn đồng, tổng thật phải nằm trong
\boxed{36\,050\le T<36\,150.}
Đầu dưới được lấy vì 36\,050 làm tròn lên thành 36\,100. Đầu trên không được lấy vì 36\,150 làm tròn lên thành 36\,200. Các số ở trong khoảng gần 36\,100 hơn các bội lân cận.
Với T=33\,750+25k, bất đẳng thức cho 92\le k<96. Có bốn khả năng nguyên 92,93,94,95 vé giá cao, tương ứng các tổng thật
36\,050,\quad36\,075,\quad36\,100,\quad36\,125.
Tổng chính xác của ứng dụng nguồn là một khả năng trong bốn khả năng này, nhưng chỉ đọc số đã làm tròn thì không xác định riêng được nó.
Chấm xanh biểu thị số vé phù hợp với điều kiện của bản ghi. Chấm rỗng ở hàng trên là số vé hợp lệ trong mô hình, nhưng bị quy tắc làm tròn loại. Các số ngoài phạm vi đang vẽ không thỏa những khoảng tiền ở mục này.
“Sai số không quá 50” cho đoạn đóng [36\,050;36\,150], lấy thêm 36\,150 và có năm khả năng. “Làm tròn đến bội 100, nửa bậc làm tròn lên” chỉ có bốn. Cùng một độ chính xác dạng số chưa đủ nếu quy tắc đầu mút khác nhau.
7. Gần nhất chưa chắc phù hợp với sai số đã nêu
Trong một dãy hữu hạn cách đều, mốc gần R nhất luôn tồn tại. Nếu R nằm ngoài hai đầu dãy, đầu gần hơn là đáp án. Nếu R đã là một mốc, chính nó có khoảng cách 0. Nếu T_j<R<T_{j+1}, chỉ cần so hai mốc kề.
Mọi mốc bên trái T_j còn xa R hơn T_j; mọi mốc bên phải T_{j+1} còn xa hơn T_{j+1}. Viết \delta=R-T_j, hai khoảng cách cần so là \delta và d-\delta. Mốc dưới gần hơn khi \delta<d/2; mốc trên gần hơn khi \delta>d/2; đúng giữa thì hai mốc cùng gần nhất.
Để phù hợp với sai số cho phép \varepsilon, khoảng cách nhỏ nhất còn phải không vượt \varepsilon. Trong ví dụ 4 vé, mốc gần R=25 nhất là 26, cách 1. Nếu \varepsilon=1/2, vẫn không có cách bán phù hợp. Không được tự tăng sai số để nhận mốc gần nhất.
Với 450 vé, mốc gần 36\,130 nhất là 36\,125, cách 5, còn 36\,150 cách 20. Điều này giải thích kết luận khác nhau khi sai số là 5 hoặc 4. Phép tìm mốc gần nhất hỗ trợ đối chiếu dữ liệu, nhưng không chứng minh dữ kiện nào phải được sửa.
8. Chuyển giao: đọc đúng bước tăng và mức sai số
Ví dụ độc lập: đúng 6 vé, hai giá 12 và 7 nghìn đồng. Bản ghi cho R=60. Có bao nhiêu cách chia vé nếu sai số không quá 2, rồi nếu sai số không quá 3?
Gợi ý
Tổng hợp lệ có dạng T=42+5k,\ k=0,1,\ldots,6. Chuyển từng mức sai số thành một đoạn, rồi đếm các mốc trong đoạn.
Lời giải đầy đủ
Các mốc là 42,47,52,57,62,67,72. Sai số không quá 2 cho [58;62], chỉ chứa 62, ứng với k=4: bốn vé giá cao và hai vé giá thấp. Mốc ở đầu đoạn vẫn được lấy.
Sai số không quá 3 cho [57;63], chứa 57,62, nên có hai cách k=3,4. Nếu R=60 do làm tròn đến bội gần nhất của 10, nửa bậc làm tròn lên, tổng thật nằm trong [55;65); cũng còn hai mốc ấy.
Trước khi chia, hãy phân biệt số tiền chính xác với số đã làm tròn hoặc có sai số. Xác định đầu mút được lấy, dịch thành miền của số vé nguyên, rồi chứng minh đã liệt kê đủ.
9. Giới hạn của mô hình
Giá phải cố định, số vé N phải biết chính xác, và hai loại phải bao quát mọi vé. Nếu có phí, giảm giá hoặc loại vé thứ ba, phải lập lại tập tổng tiền hợp lệ.
Nếu p=q, bước tăng bằng 0, không được chia cho d. Mọi N+1 cách chia số lượng cho một tổng pN; dữ kiện sai số chỉ quyết định tổng này có được phép hay không, chứ không phân biệt hai loại. Riêng N=0, chỉ có cách 0,0, tổng bằng 0.
Một kết quả duy nhất cần cả cấu trúc rời rạc của số vé và thông tin về độ chính xác. Nới đoạn có thể thêm cách bán; siết đoạn có thể giữ một cách hoặc loại hết. Đếm các mốc hợp lệ cho thấy rõ cả ba khả năng.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu