Công cụ đường tròn và đồng dạng: góc, dây chung và vị trí điểm
Nhận đường tròn từ cùng một đường kính, chuyển góc có điều kiện, ghi đúng cặp tương ứng và dùng dây chung để tìm trung trực; học qua ví dụ nhỏ, phản ví dụ và…
TOÁN 9 · CÔNG CỤ CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Công cụ đường tròn và đồng dạng: góc, dây chung và vị trí điểm
Nhận đường tròn từ cùng một đường kính, chuyển góc có điều kiện, ghi đúng cặp tương ứng và dùng dây chung để tìm trung trực; học qua ví dụ nhỏ, phản ví dụ và ứng dụng đường cao.
1. Chọn công cụ từ loại kết luận cần chứng minh
Một hình có nhiều đường không có nghĩa phải dùng tất cả. Hãy đọc đích đến trước, rồi tìm dấu hiệu đủ mạnh để dẫn tới đích ấy.
- Muốn chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn: tìm các góc vuông cùng nhìn một đoạn cố định.
- Muốn có tỉ số hoặc tích độ dài: tìm một tiêu chuẩn đồng dạng, rồi ghi rõ thứ tự đỉnh tương ứng.
- Muốn chứng minh thẳng hàng hoặc vuông góc: tìm tính chất xác định một đường, chẳng hạn đường trung trực của một đoạn.
Các công cụ này được dùng độc lập trong nhiều hình khác nhau. Bài học bắt đầu bằng những mô hình nhỏ để thấy điều kiện của mỗi công cụ, rồi mới ghép chúng trong một cấu hình đường cao.
2. Hai góc vuông phải nhìn cùng một đoạn
Cho hai điểm phân biệt A,B. Một điểm P, khác A,B, thỏa \angle APB=90^\circ thì nằm trên đường tròn đường kính AB. Chiều ngược cũng đúng: mọi điểm khác hai đầu mút trên đường tròn đường kính AB nhìn AB dưới góc vuông.
Vì thế, nếu hai điểm phân biệt P,Q cùng thỏa \angle APB=\angle AQB=90^\circ, bốn điểm A,B,P,Q cùng nằm trên một đường tròn xác định : tâm là trung điểm AB, bán kính bằng AB/2.
Hai góc vuông có cùng hai đầu mút A,B. Tâm O là trung điểm AB; việc nhận ra đường kính xác định luôn cả tâm và bán kính.
Ví dụ ngắn: xác định cả tâm lẫn bán kính
Tam giác APB vuông tại P, AP=6 cm, PB=8 cm. Điểm Q\ne P,A,B thỏa \angle AQB=90^\circ. Theo Pythagore, AB=\sqrt{6^2+8^2}=10 cm. Vậy P,Q cùng trên đường tròn tâm là trung điểm AB, bán kính 5 cm.
Dự đoán: chỉ biết “có hai góc vuông” đã đủ chưa? Em cần đọc hai đầu mút nào trong tên từng góc?
Phản ví dụ: đổi một đầu mút thì đổi đường tròn
Trên hệ tọa độ, lấy A=(0,0),B=(4,0),P=(2,2). Ta có \angle APB=90^\circ, nên đường tròn qua A,B,P có tâm (2,0), bán kính 2.
Lấy thêm C=(2,0),Q=(1,1). Góc AQC cũng vuông, nhưng Q cách tâm (2,0) một khoảng \sqrt2\ne2; do đó Q không nằm trên đường tròn ABP. Hai góc vuông nhìn hai đoạn AB và AC khác nhau, nên không cho kết luận đồng viên cần tìm.
Thói quen hữu ích: khoanh hai chữ đầu và cuối tên góc vuông. Hai cặp đầu mút phải trùng nhau trước khi viện dẫn đường tròn đường kính.
3. Chuyển góc và ghi đúng thứ tự đỉnh
Trên một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một dây và có đỉnh ở cùng phía đối với dây ấy thì bằng nhau. Nếu hai đỉnh nằm ở hai phía của dây, hai góc tương ứng bù nhau. Vì vậy việc theo dõi phía của điểm và hướng của tia là một phần của chứng minh.
Một phép kiểm tra góc
Giả sử \angle APB=35^\circ. Với Q trên cùng đường tròn, khác các điểm đã có:
- Nếu P,Q cùng phía đối với AB, \angle AQB=35^\circ.
- Nếu P,Q ở hai phía của AB, \angle AQB=145^\circ.
Không được dùng ngay “cùng chắn dây nên bằng nhau” mà bỏ qua vị trí. Trường hợp đường kính đặc biệt cho hai góc đều 90^\circ, nên dễ che mất sự khác biệt này.
Từ góc sang đồng dạng
Đồng dạng không ghép đỉnh theo chỗ chúng đứng trên trang. Nếu chứng minh được \angle A=\angle D, \angle B=\angle E, thì ghép A\leftrightarrow D, B\leftrightarrow E, C\leftrightarrow F. Viết \triangle ABC\sim\triangle DEF cũng là ghi lại chính bảng tương ứng ấy.
Chẳng hạn hai tam giác có các cạnh AB=3,AC=4,BC=5 và DE=6,DF=8,EF=10. Ba cặp cạnh có tỉ số bằng nhau:
\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=2.
Tiêu chuẩn cạnh–cạnh–cạnh cho đồng dạng theo đúng thứ tự trên. Hệ số từ tam giác thứ nhất sang thứ hai là 2, nên mọi độ dài tương ứng đều nhân 2.
Ở hình này các cạnh được vẽ cùng thang đo. Các tỉ số được quyết định bởi tên đỉnh tương ứng, không phải bởi việc một tam giác nằm trên hay dưới tam giác kia.
Cách viết tỉ số an toàn: lập bảng đỉnh trước; dưới mỗi cạnh viết cạnh tương ứng; sau đó chọn cùng một chiều so sánh cho tất cả các tỉ số.
Hai cạnh tỉ lệ chưa đủ nếu thiếu điều kiện góc
Tam giác có ba cạnh 3,4,5 và tam giác có ba cạnh 3,4,6 đều tồn tại vì thỏa bất đẳng thức tam giác. Hai cặp cạnh 3 với 3, 4 với 4 có cùng tỉ số 1, nhưng cặp còn lại không có tỉ số 1. Hai tam giác không đồng dạng.
Muốn dùng hai cạnh, phải có thêm góc xen giữa bằng nhau theo tiêu chuẩn cạnh–góc–cạnh. Muốn dùng chỉ cạnh, cần đủ ba cặp tương ứng.
4. Chung một dây: nối hai tâm, tìm đường trung trực
Hai đường tròn có hai tâm phân biệt U,V, cắt nhau tại hai điểm phân biệt E,F. Vì bán kính trong cùng một đường tròn bằng nhau:
UE=UF,\qquad VE=VF.
Một điểm cách đều hai đầu E,F nằm trên đường trung trực của EF. Do đó U,V cùng nằm trên đường ấy. Vì U\ne V, đường thẳng UV chính là đường trung trực. Nếu T là trung điểm EF, ta có:
U,T,V\text{ thẳng hàng},\qquad UV\perp EF.
Hai bán kính có thể khác nhau. Mỗi tâm cách đều hai đầu dây chung; do đó cả hai thuộc cùng đường trung trực, đi qua trung điểm T.
Không cần hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Các đẳng thức dùng ở trên là UE=UF và VE=VF, không phải UE=VE. Cũng không cần T nằm giữa hai tâm; kết luận là trên đường thẳng nối tâm.
Đường trung trực mạnh hơn một hình trông có vẻ cân
Nếu đã biết một điểm X có XE=XF, ta biết nó nằm trên đúng một đường xác định bởi E,F. Nếu chỉ thấy X ở gần giữa hình, ta chưa có lý do toán học nào. Tính chất “cách đều” giúp kết luận ngay cả khi hình xoay, lệch hoặc hai bán kính khác nhau.
Kiểm tra điều kiện: E,F phải phân biệt để có một đoạn và đường trung trực; U,V phải phân biệt để xác định đường nối hai tâm. Với hai đường tròn trùng nhau, không có một đường nối hai tâm phân biệt để dùng kết luận này.
5. Trung điểm cần cả độ dài lẫn vị trí
Để chứng minh N là trung điểm EF, cần N nằm trên đoạn EF và NE=NF. Một cách tương đương là N thuộc đoạn và NE=EF/2.
Phản ví dụ trên một trục
Đặt E ở vị trí 0, F ở 2. Hai điểm ở vị trí 1 và -1 đều cách E một khoảng bằng 1=EF/2. Nhưng chỉ điểm ở 1 là trung điểm. Vì vậy “N thuộc đường EF, NE=EF/2” vẫn thiếu điều kiện vị trí.
Nếu N đã thuộc đoạn EF, phép cộng đoạn thẳng cho NE+NF=EF. Khi NE=EF/2, suy ra NF=EF-NE=EF/2=NE. Đó là nơi điều kiện “trong đoạn” thực sự được dùng.
Chuyển sang đường trung trực: nếu chỉ biết NE=NF, có chắc N là trung điểm không?
Giải thích
Không. Mọi điểm trên đường trung trực đều cách đều E,F; đa số không nằm trên đường EF. Phải thêm điều kiện N\in EF mới nhận được đúng giao điểm là trung điểm.
6. Ghép công cụ trong một tam giác có đường cao
Xét tam giác nhọn ABC, AB<AC; các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H, với D\in BC,E\in AC,F\in AB. Ta chỉ chọn những quan hệ cần cho hai công cụ đã học.
Chọn một đường tròn từ hai góc vuông
\angle ADC=90^\circ vì AD\perp BC, và \angle AFC=90^\circ vì CF\perp AB. Hai góc cùng nhìn AC, nên A,C,D,F thuộc đường tròn đường kính AC.
Nhận ra hai đường tròn có chung dây
Do AF\perp FH, AE\perp EH, hai điểm E,F thuộc đường tròn đường kính AH. Gọi I là trung điểm AH; đây là tâm của đường tròn đó.
Cũng có \angle BEC=\angle BFC=90^\circ, nên E,F thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi M là trung điểm BC; đây là tâm thứ hai.
Hai tâm phân biệt: I nằm trong tam giác, còn M trên cạnh BC. Áp dụng công cụ dây chung, đường IM là đường trung trực của EF. Nếu đặt T là trung điểm EF, thì I,T,M thẳng hàng và IM\perp EF.
Ở đây T được định nghĩa là trung điểm. Nếu một bài khác định nghĩa điểm giao mới bằng hai đường thẳng, ta phải chứng minh điểm giao ấy là T trước khi dùng kết luận. Không được tự thay một điểm mới vào chỉ vì hình vẽ trông gần nhau.
7. Tự chuyển giao: chọn đúng điều kiện đủ
Đường tròn đường kính
Đoạn XY=12 cm. Hai điểm phân biệt P,Q, khác X,Y, thỏa \angle XPY=\angle XQY=90^\circ. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua bốn điểm.
Lời giải
Cả hai góc cùng nhìn đoạn XY, nên đường tròn có đường kính XY; tâm là trung điểm XY, bán kính 6 cm. Không cần biết P,Q ở phía nào để kết luận cùng thuộc đường tròn đường kính.
Đúng cặp cạnh, đúng hệ số
Biết \triangle ABC\sim\triangle MNP, AB=4,AC=7,BC=8 và MN=10. Tìm MP,NP.
Gợi ý
Ghép A với M, B với N, C với P. Hệ số lớn/nhỏ là 10/4.
Lời giải
MP tương ứng AC, nên MP=7\cdot10/4=17{,}5. NP tương ứng BC, nên NP=8\cdot10/4=20. Cả ba tỉ số cùng bằng 2{,}5.
Kiểm tra một kết luận thẳng hàng
Hai điểm phân biệt U,V thỏa UE=UF, VE=VF, với E\ne F. Điểm N nằm trong đoạn EF và NE=EF/2. Chứng minh U,N,V thẳng hàng.
Lời giải
Từ điều kiện đoạn và độ dài, N là trung điểm EF. Hai đẳng thức khoảng cách đưa U,V lên đường trung trực EF; N cũng nằm trên đường này. Vì U,V phân biệt, ba điểm thẳng hàng.
Thẻ tự kiểm cho một chứng minh mới
- Hai góc vuông có nhìn cùng hai đầu mút không?
- Các góc nội tiếp so sánh có đúng phía và đúng tia không?
- Tôi đã ghi thứ tự đỉnh tương ứng trước khi viết tỉ số chưa?
- Tôi có đang suy trung điểm chỉ từ một độ dài mà bỏ qua vị trí không?
- Đẳng thức khoảng cách đang xác định đường thẳng nào?
Công cụ chỉ hữu ích khi điều kiện được kiểm tra. Học cách nhận đúng dấu hiệu sẽ giúp em dùng cùng một ý tưởng trong nhiều hình khác nhau.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải