Cuộn giấy 18 x 8 thành hình trụ: đọc mép ghép, xác định chu vi
Theo dõi cạnh hình chữ nhật khi cuộn, tìm chiều cao, xác định bán kính từ chu vi và tính diện tích xung quanh; kiểm tra hai hướng cuộn và giải bài chuyển…
TOÁN 9 · MẶT XUNG QUANH VÀ HÌNH TRIỂN KHAI
Cuộn giấy 18 x 8 thành hình trụ: đọc mép ghép, xác định chu vi
Theo dõi cạnh hình chữ nhật khi cuộn, tìm chiều cao, xác định bán kính từ chu vi và tính diện tích xung quanh; kiểm tra hai hướng cuộn và giải bài chuyển giao.
1. Tờ giấy không đổi, vai trò của các cạnh thay đổi
Khi cuộn một hình chữ nhật thành mặt xung quanh hình trụ, một chiều đi thành vòng tròn; chiều còn lại chạy dọc thân trụ. Muốn chọn đúng công thức, trước hết phải xác định hai mép nào được ghép.
Tình huống minh họa
Tờ giấy hình chữ nhật ABCD có AB=18 cm, AD=8 cm. Cuộn tờ giấy sao cho hai mép chiều rộng chạm khít nhau để tạo thành mặt xung quanh một hình trụ. Tính chiều cao, diện tích xung quanh và bán kính đáy.
Ở đây hai mép chiều rộng là AD và BC, mỗi mép dài 8 cm. Chạm khít nghĩa là không để hở, không chồng mép; coi giấy không giãn và bỏ qua độ dày. Tờ giấy chỉ tạo mặt xung quanh, chưa tạo hai đáy.
Dự đoán: khi đưa AD và BC lại chạm nhau, đoạn AB chạy dọc thân trụ hay đi một vòng quanh miệng trụ? Chiều cao là 8 hay 18 cm?
2. Theo dõi một cạnh từ hình phẳng sang hình trụ
Hai mép màu vàng dài 8 cm trùng nhau sau khi cuộn. Hình chữ nhật thể hiện đúng tỉ lệ 18:8; hình trụ là phối cảnh, nên đường tròn được vẽ bằng elip.
Ghép mép AD với BC làm A trùng với B, D trùng với C. Hai đoạn dài 8 cm đi dọc thân trụ, trở thành một đường sinh. Trong hình trụ đứng, đường sinh có độ dài bằng chiều cao, nên:
h=8\,\mathrm{cm}.
Cạnh AB nối hai đầu của vòng trên. Khi hai đầu ấy trùng nhau, cạnh dài 18 cm trở thành một vòng kín: chu vi đường tròn đáy , không phải bán kính hay đường kính. Vì vậy:
2\pi r=18\,\mathrm{cm}.
Quy tắc đọc phép cuộn: độ dài của hai mép được ghép là chiều cao. Khoảng cách trên tờ giấy giữa hai mép ấy trở thành chu vi đáy.
3. Ứng dụng: tính và kiểm tra bằng hai cách
Chiều cao và bán kính
Theo hướng cuộn đã xác định, h=8 cm. Từ công thức chu vi 2\pi r=18, chia hai vế cho 2\pi>0:
r=\frac{18}{2\pi}=\frac9\pi\,\mathrm{cm}\approx2{,}86\,\mathrm{cm}.
Giá trị chính xác là 9/\pi cm. Số 2{,}86 chỉ là giá trị gần đúng đến hai chữ số thập phân. Đường kính là 2r=18/\pi cm; nó không bằng 18 cm.
Diện tích xung quanh bằng diện tích tờ giấy
Không có phần chồng lên nhau và giấy không giãn, nên mặt xung quanh khi trải phẳng trở lại chính là hình chữ nhật 18\times8:
S_{xq}=18\cdot8=144\,\mathrm{cm}^2.
Kiểm tra độc lập bằng công thức hình trụ:
S_{xq}=2\pi rh=2\pi\cdot\frac9\pi\cdot8=144\,\mathrm{cm}^2.
Không làm tròn bán kính trước khi tính diện tích. Dùng 2\pi r=18 hoặc r=9/\pi cho kết quả chính xác. Nếu thay ngay r bằng 2{,}86, em sẽ tạo sai số không cần thiết trong một bài có đáp số diện tích nguyên.
Đơn vị cũng là một phép kiểm tra: h,r là độ dài nên dùng cm; diện tích dùng \mathrm{cm}^2. Không cộng diện tích hai đáy vì câu hỏi chỉ yêu cầu mặt xung quanh.
4. Đổi hướng cuộn: điều gì giữ nguyên?
Nếu ghép hai cạnh dài 18 cm với nhau thay vì hai cạnh dài 8 cm, ta đã tạo một cấu hình khác. Khi đó chiều cao là 18 cm, còn cạnh 8 cm đi thành chu vi:
h'=18\,\mathrm{cm},\qquad2\pi r'=8\,\mathrm{cm},\qquad r'=\frac4\pi\,\mathrm{cm}.
Diện tích xung quanh vẫn bằng diện tích tờ giấy: S'_{xq}=8\cdot18=144\,\mathrm{cm}^2. Như vậy hai cách cuộn cho hai hình trụ khác nhau, nhưng cùng diện tích xung quanh.
Cùng một tỉ lệ vẽ được dùng cho chiều cao và đường kính của hai hình trụ. Hình theo phép cuộn ban đầu thấp và rộng hơn; đổi chiều cuộn làm hình cao và hẹp hơn.
Dự đoán: biết diện tích xung quanh bằng 144\,\mathrm{cm}^2 có đủ để xác định duy nhất bán kính không? Hai hình trụ trên có nhất thiết cùng thể tích không?
Giải thích và mở rộng về thể tích
Không. Hai cặp (r,h)=(9/\pi,8) và (4/\pi,18) đã cho hai bán kính khác nhau với cùng diện tích xung quanh.
Nếu xét thể tích không gian hình trụ, V=\pi r^2h. Cách cuộn gốc cho V=648/\pi\,\mathrm{cm}^3; cách đổi chiều cho V'=288/\pi\,\mathrm{cm}^3. Tỉ số V/V'=9/4. Cùng diện tích vật liệu không đồng nghĩa cùng thể tích. Đây là câu hỏi mở rộng; phép cuộn ban đầu không yêu cầu tính thể tích.
Không thể đổi chỗ 18 và 8 chỉ vì phép nhân diện tích cho cùng kết quả. Diện tích đúng chưa bảo đảm chiều cao và bán kính đúng hướng cuộn của đề.
5. Chuyển giao: tự giải một tờ giấy khác
Thay kích thước, giữ nguyên nguyên tắc
Tờ giấy hình chữ nhật 24\times10 cm được cuộn sao cho hai cạnh dài 10 cm chạm nhau. Tìm h,r,S_{xq}.
Gợi ý
Đừng bắt đầu bằng phép tính. Nêu cạnh nào chạy dọc thân, cạnh nào đi thành một vòng. Chu vi đáy là 24 cm.
Lời giải đầy đủ
Hai cạnh dài 10 cm được ghép, nên h=10 cm. Cạnh 24 cm thành chu vi đáy:
2\pi r=24\quad\Rightarrow\quad r=\frac{12}{\pi}\,\mathrm{cm}.
Diện tích xung quanh:
S_{xq}=24\cdot10=240\,\mathrm{cm}^2.
Kiểm tra: 2\pi\cdot(12/\pi)\cdot10=240. Nếu cần gần đúng bán kính, 12/\pi\approx3{,}82 cm.
Thử đảo câu hỏi
Một mặt xung quanh hình trụ có chiều cao 7 cm và bán kính 3 cm. Khi cắt dọc theo một đường sinh rồi trải phẳng, hình chữ nhật thu được có hai kích thước nào?
Đáp án
Một cạnh bằng chiều cao 7 cm. Cạnh còn lại bằng chu vi đáy 2\pi\cdot3=6\pi cm. Diện tích là 7\cdot6\pi=42\pi\,\mathrm{cm}^2, đúng bằng 2\pi rh. Bán kính không trở thành một cạnh của hình chữ nhật.
6. Tự kiểm: em đã đọc đúng mép ghép chưa?
- Trong đề 18\times8, hai cạnh nào được ghép? Các đỉnh nào trùng nhau?
- Vì sao 18 cm là chu vi chứ không phải đường kính?
- Vì sao diện tích xung quanh bằng 18\cdot8? Cần giả thiết gì về việc ghép mép?
- Một bạn trả lời h=18,r=4/\pi,S_{xq}=144. Phần nào đúng, phần nào sai so với phép cuộn ban đầu?
Đối chiếu
- Ghép AD và BC, mỗi cạnh 8 cm; A trùng B, D trùng C.
- Vì cạnh ấy quấn trọn một vòng quanh đáy. Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm, không phải độ dài đi vòng quanh.
- Cuộn không làm đổi diện tích giấy; hai mép chạm khít, không hở hoặc chồng và giấy không giãn.
- Diện tích 144\,\mathrm{cm}^2 đúng; chiều cao và bán kính thuộc cách cuộn ngược, nên không trả lời đúng đề.
Câu chốt: tìm đường đi của hai cạnh trước; sau đó mới dùng chu vi và diện tích. Hình không gian vẫn giữ lại các thông tin của tờ giấy, nhưng mỗi thông tin có một vai trò mới.
Tự học có giải thích · Toán THCS · Dừng lại dự đoán trước khi mở lời giải