Dùng quan hệ song song để nhận ra một đường tròn
Từ hai tỉ số trên hai tia, chứng minh một tiêu chuẩn hai chiều cho điểm thuộc đường tròn, dựng đủ các giao điểm và phân biệt song song với đường trùng hoặc…
TOÁN 9 · DỰNG GIAO ĐIỂM VÀ KIỂM TRA CHIỀU ĐẢO
Dùng quan hệ song song để nhận ra một đường tròn
Từ hai tỉ số trên hai tia, chứng minh một tiêu chuẩn hai chiều cho điểm thuộc đường tròn, dựng đủ các giao điểm và phân biệt song song với đường trùng hoặc điểm trùng.
1. Đảo câu hỏi: một đường song song có nhận ra được đường tròn?
Trong cấu hình nguồn, điểm D nằm trên một nửa đường tròn, rồi các giao điểm tạo ra kết luận IE\parallel CD. Một câu hỏi khác có thể làm rõ vai trò của đường tròn: nếu chưa cho D nằm trên đường tròn, khi nào cách dựng vẫn tạo ra hai đường thẳng song song?
Ta xây dựng một mô hình độc lập với các điểm được định nghĩa đầy đủ. Kết quả sẽ là một tiêu chuẩn hai chiều: dưới những điều kiện vị trí đã nêu, quan hệ song song nhận ra chính xác một cung của một đường tròn cố định.
Dự đoán. Có đủ hai đường vuông góc trong hình thì kết luận song song đã đúng chưa, hay còn một quan hệ độ dài bị ẩn? Thử dịch D ra khỏi đường tròn nhưng giữ nguyên cách dựng để kiểm tra.
Trong bài, “hai đường thẳng song song” nghĩa là hai đường thẳng phân biệt và không cắt nhau. Nếu hai tên chỉ cùng một đường thẳng, hoặc hai điểm xác định đường thẳng trùng nhau, ta xét riêng.
2. Công cụ: hai điểm trên hai tia phải có cùng tỉ số
Cho H,C,D không thẳng hàng. Lấy I trên tia HC, khác H, và E trên tia HD, khác H. Đặt
\rho=\frac{HI}{HC}>0,\qquad\lambda=\frac{HE}{HD}>0.
Hai đường IE,CD song song phân biệt khi và chỉ khi
\boxed{\rho=\lambda\ne1.}
Chiều cần: từ song song, tam giác HIE và HCD đồng dạng, các cạnh nằm trên cùng hai tia tương ứng. Suy ra hai tỉ số bằng nhau. Nếu cùng bằng 1, sẽ có I=C,E=D, hai đường trùng nhau, trái giả thiết phân biệt.
Chiều đủ: khi \rho=\lambda>0, hai cặp cạnh kề góc tại H có cùng tỉ số và góc xen giữa bằng nhau. Hai tam giác đồng dạng theo cạnh–góc–cạnh, nên các cạnh đối diện góc H có cùng hướng, cho IE song song hoặc trùng CD. Vì tỉ số khác 1, I\ne C, mà một đường không song song HC chỉ gặp HC tại một điểm; hai đường không thể trùng. Vậy chúng song song phân biệt.
Công cụ áp dụng cả khi hai tỉ số lớn hơn 1, tức các điểm nằm ngoài đoạn nhưng vẫn trên đúng tia. Tỉ số bằng nhau tự nó chưa đủ nếu chưa xác định tia hoặc bỏ qua trường hợp hai đường trùng nhau.
3. Một cách dựng luôn có đủ giao điểm
Trên hệ trục vuông góc, cho
A=(0,0),\quad H=(u,0),\quad C=(u,v),\qquad u>0,v>0.
Điểm C ở phía trên H, và CH\perp AH. Chọn
D=(s,t),\qquad s>u,\quad t>0.
Định nghĩa I=AD\cap CH. Qua C kẻ đường g vuông góc AD; định nghĩa E=g\cap DH. Ta sẽ xác nhận các giao điểm tồn tại và tính đúng hai tỉ số cần so sánh.
Giao điểm trên đường thẳng đứng
Đường AD có phương trình y=tx/s, hợp lệ vì s>u>0. Tại x=u,
I=\left(u,\frac{ut}{s}\right),\qquad\boxed{\rho=\frac{HI}{HC}=\frac{ut}{sv}>0.}
Vì tung độ của I dương, I nằm trên tia HC, nhưng lúc này chưa khẳng định nó ở trong đoạn HC.
Giao điểm trên đường xiên
Đường g đi qua C và vuông góc AD có phương trình
s(x-u)+t(y-v)=0.
Vì sao đây là phương trình đường vuông góc?
Một hướng của AD tăng hoành độ s, tăng tung độ t. Xét từ cùng gốc hai đầu mút (s,t), (t,-s). Cả hai đoạn từ gốc có bình phương độ dài s^2+t^2; đoạn nối hai đầu có bình phương (s-t)^2+(s+t)^2=2(s^2+t^2). Pythagore đảo cho hai hướng vuông góc. Đường qua C theo hướng thứ hai có các điểm (u+kt,v-ks), với k\in\mathbb R; thay vào phương trình trên được không. Ngược lại, vì s,t\ne0, mọi nghiệm của phương trình đều có dạng ấy. Vậy đó chính là đường cần dựng.
Mọi điểm trên DH viết được dưới dạng sau với \lambda\in\mathbb R:
(x,y)=\bigl(u+\lambda(s-u),\lambda t\bigr).
Thay vào phương trình của g cho
\lambda\bigl(s(s-u)+t^2\bigr)=tv.
Đặt W=s(s-u)+t^2>0. Khi đó có đúng một giao điểm:
\boxed{\lambda=\frac{tv}{W}>0,\qquad E=\bigl(u+\lambda(s-u),\lambda t\bigr).}
Vì \lambda>0, E nằm trên tia HD, và HE/HD=\lambda. Hơn nữa, x_E-u=\lambda(s-u)>0, còn x_I=u, nên E\ne I. Tam giác HCD không suy biến vì C nằm trên đường đứng qua H, còn s>u đặt D ngoài đường ấy. Công cụ phần 2 có các tia và độ dài hợp lệ.
4. Điều kiện hai tỉ số bằng nhau trở thành một đường tròn
Với các công thức vừa tìm,
\rho=\lambda\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{ut}{sv}=\frac{tv}{W}.
Các mẫu và t đều dương. Nhân chéo rồi khử t cho uW=sv^2. Thay W và thu gọn:
u\bigl(s^2+t^2\bigr)=s(u^2+v^2).
Đặt một độ dài cố định
b=\frac{u^2+v^2}{u}=u+\frac{v^2}{u}>u.
Điều kiện tỉ số tương đương
\boxed{s^2+t^2=bs\quad\Longleftrightarrow\quad
\left(s-\frac b2\right)^2+t^2=\left(\frac b2\right)^2.}
Đây là đường tròn tâm (b/2,0), bán kính b/2, có đường kính AB với B=(b,0). Nó cố định khi A,H,C cố định. Điểm C cũng thuộc đường tròn, vì u^2+v^2=bu.
Nếu IE\parallel CD, công cụ phần 2 cho \rho=\lambda, nên D bắt buộc thuộc đường tròn này. Đó là chiều cần. Chiều đảo còn phải kiểm tra rằng tỉ số không bằng 1, để không nhầm hai đường trùng nhau với hai đường song song.
5. Đường tròn trả lại đúng vị trí và chiều đảo
Giả sử D=(s,t) nằm trên đường tròn vừa tìm, vẫn giữ s>u,t>0. Từ t^2=s(b-s)>0 và s>0, suy ra s<b. Vậy D nằm trong cung mở phía trên từ C đến B, không nhận hai đầu.
So sánh hai tỉ số dương bằng bình phương:
\frac{t^2}{s^2}=\frac bs-1<\frac bu-1=\frac{v^2}{u^2}.
Vì s>u, bất đẳng thức ở giữa là nghiêm ngặt. Lấy căn dương cho t/s<v/u, nên
0<\rho=\frac{ut}{sv}<1.
Điều kiện đường tròn đã tương đương với \rho=\lambda, do đó 0<\lambda<1. Vì thế I ở trong đoạn HC, E ở trong đoạn HD, và hai tỉ số cùng khác 1. Áp dụng chiều đủ của công cụ, IE\parallel CD là hai đường phân biệt.
Với u,v>0, D=(s,t) thỏa s>u,t>0 và cách dựng ở phần 3:
\boxed{IE\parallel CD\quad\Longleftrightarrow\quad D\text{ thuộc đường tròn đường kính }AB,}
trong đó AB=b=(u^2+v^2)/u. Trong miền vị trí đang xét, tập điểm ấy chính là cung mở CB phía trên trục hoành.
Ta đã mô tả đủ tập điểm: mỗi điểm trên cung đều dựng được các giao điểm và tạo song song; mỗi điểm trong miền tạo song song đều phải ở trên cung. Quan hệ không chỉ được chứng minh cho một hình vẽ mẫu.
6. Một cấu hình đúng và một phản ví dụ giữ nguyên cách dựng
Ví dụ độc lập: u=1,v=2. Khi đó A=(0,0),H=(1,0),C=(1,2), và b=5. Chọn D=(4,2). Ta có 4^2+2^2=20=5\cdot4, nên D nằm trên đường tròn. Các công thức cho
I=(1,1/2),\qquad W=4(4-1)+2^2=16,\qquad\lambda=\frac14,
E=(7/4,1/2).
Đường IE nằm ngang ở tung độ 1/2, còn CD nằm ngang ở tung độ 2; chúng song song phân biệt, đúng như tiêu chuẩn.
Hình dùng cùng tỉ lệ trên hai trục. Với D=(4,2), hai đoạn màu nâu IE,CD song song. Dấu vuông tại giao của đường xanh qua C với AD thể hiện đúng phép dựng vuông góc.
Giữ A,H,C và cách dựng, nhưng chọn D=(3,3). Điểm vẫn thỏa s>u,t>0, nên cả hai giao điểm tồn tại. Tuy nhiên, 3^2+3^2=18\ne15=5\cdot3, nên không thể có kết luận song song. Tính trực tiếp:
I=(1,1),\qquad W=3(3-1)+3^2=15,\qquad\lambda=\frac25,
E=(9/5,6/5).
Tỉ số HI/HC=1/2 khác HE/HD=2/5. Cũng có thể kiểm tra độ dốc: IE tăng 1/5 trên khoảng ngang 4/5, có độ dốc 1/4; CD tăng 1 trên khoảng ngang 2, có độ dốc 1/2. Hai đường không song song.
Giữ cùng thang đo và các điểm A,H,C,B; chỉ đổi D thành (3,3). Các giao điểm vẫn tồn tại và hai dấu vuông vẫn đúng, nhưng hai đoạn màu đỏ không song song.
7. Đọc lại một phần cấu hình nguồn
Trong ứng dụng nguồn, AB là đường kính nửa đường tròn phía trên, C là điểm trên cung khác hai đầu, H là chân đường vuông góc từ C xuống AB. Để tránh suy biến, lấy D trong cung mở CB. Gọi K là chân đường vuông góc từ C xuống AD, I=CH\cap AD, E=CK\cap DH.
Chọn A=(0,0),B=(b,0),H=(u,0),C=(u,v). Do C trên nửa đường tròn, u,v>0 và u^2+v^2=bu, nên b=(u^2+v^2)/u. Điểm D trong cung mở CB có s>u,t>0. Đường CK chính là đường g đã dựng. Mọi điều kiện của tiêu chuẩn được thỏa, nên IE\parallel CD.
Ở đây C không nằm trên AD: bất đẳng thức t/s<v/u đã chứng minh điều ấy. Vì vậy K\ne C, tên đường CK hợp lệ. Các vị trí I trong HC, E trong HD cũng là kết quả đã chứng minh, không phải suy đoán theo sơ đồ.
Nguồn còn có điều kiện AC<BC. Với hệ tọa độ trên, AC^2=bu, BC^2=b(b-u), nên điều kiện ấy tương đương u<b/2, hay u<v. Tiêu chuẩn song song vừa chứng minh chỉ cần u,v>0, nên nó còn đúng khi u=v hoặc u>v, với D vẫn trên cung mở CB. Đây là một mở rộng của riêng kết luận song song.
8. Các giới hạn không được bỏ qua
Nếu D có cùng hoành độ với C?
Cho s=u, t>0. Khi ấy D nằm trên đường thẳng CH, nên I=D. Đường DH là đường thẳng đứng qua C; đường vuông góc AD qua C cắt nó tại E=C. Nếu D\ne C, hai tên IE và DC chỉ cùng một đường thẳng, không phải hai đường song song phân biệt. Nếu D=C, thì I=E=C, không xác định được đường IE. Điều kiện s>u đã loại cả hai tình huống này.
Nếu D trùng B ở đầu cung?
Tại D=B, ta có t=0, s=b>u. Đường AD là trục hoành, nên I=H. Đường qua C vuông góc AD là CH, cắt DH=BH tại E=H. Hai giao điểm nhập lại, nên không có đường IE. Vì thế cung trong tiêu chuẩn phải bỏ đầu B.
Nếu cho D sang phía trái H, giao điểm E có luôn tồn tại?
Không. Chọn độc lập u=2,v=1,D=(1,1). Đường AD là y=x; đường vuông góc qua C=(2,1) là y=-x+3. Đường DH, qua (1,1),(2,0), là y=-x+2. Hai đường này song song phân biệt, nên không có E. Trong công thức, W=1(1-2)+1=0, đúng lúc phép chia để tìm giao điểm không còn hợp lệ.
Thử dựng ngược. Giữ u=1,v=2, nhưng yêu cầu hoành độ của D bằng 2. Tìm mọi tung độ dương tạo ra quan hệ song song.
Lời giải và kiểm tra
Đường tròn có b=5, nên 2^2+t^2=5\cdot2, tức t^2=6. Vì t>0, chỉ có t=\sqrt6. Các giao điểm là
I=(1,\sqrt6/2),\qquad E=(1+\sqrt6/4,3/2).
Tỉ số chung là \sqrt6/4, nằm giữa 0 và 1. Nếu yêu cầu hoành độ 6, phương trình cho t^2=6(5-6)=-6, không có điểm thật. Tổng quát, với hoành độ đã chọn s>u, có đúng một tung độ dương khi s<b, và không có khi s\ge b.
Một quan hệ hình học có thể dùng theo hai chiều: từ đường tròn suy ra song song, hoặc từ song song nhận ra đường tròn. Để chiều đảo đáng tin cậy, phải xác nhận mọi giao điểm tồn tại, giữ đúng tia và tỉ số, đồng thời loại các trường hợp đường trùng hoặc điểm trùng.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu