Nghiệm nguyên trong một đoạn: vị trí, độ dài và hai đầu mút
Đếm các điểm nguyên, chứng minh tiêu chuẩn nghiệm duy nhất và suy ngược tham số khi độ dài hoặc dấu tại đầu mút thay đổi.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Nghiệm nguyên trong một đoạn: vị trí, độ dài và hai đầu mút
Đếm các điểm nguyên, chứng minh tiêu chuẩn nghiệm duy nhất và suy ngược tham số khi độ dài hoặc dấu tại đầu mút thay đổi.
1. Giải bất phương trình chưa phải đếm xong nghiệm nguyên
Nghiệm của một bất phương trình thường là cả một khoảng số thực. Nhưng nếu biến phải nguyên, ta chỉ giữ những điểm nguyên nằm trong khoảng ấy. Một đoạn ngắn có thể không chứa số nguyên nào; một đoạn dài hơn một đơn vị vẫn có thể chỉ chứa một số nguyên.
Trên trục số, các số nguyên liên tiếp cách nhau đúng một đơn vị. Bài học dùng cấu trúc đều đặn này để đếm chính xác, tìm điều kiện cho một nghiệm nguyên duy nhất, rồi suy ngược ra tham số. Điều quyết định là cả vị trí lẫn độ dài của đoạn, cùng việc có nhận các đầu mút hay không.
Kí hiệu [\alpha,\beta] nghĩa là \alpha\le x\le\beta; hai đầu được nhận. Kí hiệu (\alpha,\beta) nghĩa là \alpha<x<\beta; hai đầu bị loại. Nếu \alpha>\beta, không có số nào thỏa hai bất đẳng thức đồng thời. Nếu \alpha=\beta, đoạn đóng chỉ còn một điểm, còn khoảng mở rỗng.
2. Đếm từ số nguyên đầu đến số nguyên cuối
Với đoạn đóng [\alpha,\beta], gọi r là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn \alpha, và s là số nguyên lớn nhất không lớn hơn \beta. Khi r\le s, các nghiệm nguyên là
r,r+1,\ldots,s,\qquad N=s-r+1.
Phải cộng một vì tính cả điểm đầu: từ 2 đến 5 có bốn số, không phải ba. Nếu r>s, tập nghiệm rỗng và số đếm bằng không.
Ví dụ [-7/3,11/4] có điểm nguyên đầu là -2, điểm cuối là 2, nên có 2-(-2)+1=5 số. Không lấy -3 chỉ vì phần nguyên nhìn thấy trong số âm là ba: -3<-7/3, nên nằm ngoài đoạn.
Với một đầu mở, phải tìm số nguyên nằm nghiêm ngặt phía trong. Chẳng hạn (2,5] có 3,4,5; [2,5) có 2,3,4; (2,5) chỉ có 3,4. Nếu đầu mút không nguyên, mở hay đóng tại đầu ấy không thay đổi số nghiệm nguyên. Ví dụ [2{,}2,4{,}8] và (2{,}2,4{,}8) đều chỉ chứa 3,4.
Trước khi đếm, xác định đúng số nguyên đầu và cuối nằm trong miền. Dấu mở hoặc đóng chỉ ảnh hưởng đến số đếm nguyên khi đầu mút đó là số nguyên.
3. Độ dài giúp giới hạn số nghiệm, nhưng chưa xác định hết
Hai số nguyên phân biệt cách nhau ít nhất một đơn vị. Vì vậy, một đoạn có độ dài nhỏ hơn một chứa nhiều nhất một số nguyên: nếu có hai số nguyên u<v, ta vừa có v-u\ge1, vừa có v-u\le\beta-\alpha<1, mâu thuẫn.
Nhưng “nhiều nhất một” gồm cả không có. Đoạn [0{,}2,0{,}8] không chứa số nguyên, trong khi [0{,}8,1{,}2] chứa đúng 1. Do đó sau khi dùng độ dài để chứng minh không thể có hai nghiệm, vẫn phải chứng minh có nghiệm cần tìm.
Khi độ dài bằng một, đoạn đóng luôn chứa ít nhất một số nguyên. Nếu đầu trái \alpha nguyên, cả \alpha và \alpha+1 đều được nhận, có hai số. Nếu \alpha không nguyên, số nguyên nhỏ nhất lớn hơn \alpha nằm trước \alpha+1, và là số duy nhất trong đoạn. Ví dụ [2,3] chứa hai số, còn [2{,}2,3{,}2] chỉ chứa 3.
Với khoảng mở dài một, hai đầu nguyên liên tiếp đều bị loại nên không có số nguyên; nếu đầu trái không nguyên thì có một số. Vì thế cùng một độ dài, thay dấu ở đầu mút có thể thay đổi kết luận.
Độ dài nhỏ hơn một là điều kiện đủ để có nhiều nhất một số nguyên, không phải điều kiện cần. Đoạn [1/4,7/4] dài 3/2 nhưng chỉ chứa 1. Muốn xét đầy đủ các độ dài, ta cần tiêu chuẩn theo vị trí của hai số nguyên hàng xóm.
4. Tiêu chuẩn đúng một số nguyên cho trước
Cho k là một số nguyên. Đoạn đóng chứa duy nhất số nguyên k khi và chỉ khi
\boxed{k-1<\alpha\le k\le\beta<k+1}.
Chiều cần: k phải thuộc đoạn, nên \alpha\le k\le\beta. Số k-1 không được thuộc; vì nó nhỏ hơn k\le\beta, chỉ có thể bị loại bởi \alpha>k-1. Tương tự, loại k+1 đòi \beta<k+1.
Chiều đủ: k thuộc đoạn. Mọi số nguyên nhỏ hơn k đều không lớn hơn k-1<\alpha; mọi số nguyên lớn hơn k đều không nhỏ hơn k+1>\beta. Không còn số nguyên nào khác.
Tiêu chuẩn cũng cho thấy một đoạn đóng chứa duy nhất một số nguyên phải có độ dài nhỏ hơn hai. Tuy nhiên không có độ dài lớn nhất: với 0<\varepsilon<1, đoạn [k-1+\varepsilon,k+1-\varepsilon] vẫn chỉ chứa k, và dài 2-2\varepsilon, có thể gần hai tùy ý. Độ dài bằng hai không đạt được trong lớp đoạn này.
Nếu đoạn chỉ có một điểm thì tiêu chuẩn còn đúng không?
Nếu \alpha=\beta=k nguyên, chuỗi điều kiện đúng và có đúng một nghiệm. Nếu \alpha=\beta không nguyên, không có nghiệm nguyên. Công thức không đòi đoạn phải có độ dài dương, nhưng vẫn cần kiểm điểm ấy có nguyên không.
5. Ví dụ nguồn: hai bất phương trình và tham số nguyên
Cho m\in\mathbb Z. Tìm các giá trị của m để 100 là nghiệm nguyên chung duy nhất của hai bất phương trình
x(x+4)\ge x^2+m+1,(x-1)(x+3)\le x^2-2x+m.
Biến đổi bất phương trình đầu bằng cách khai triển và trừ cùng x^2 ở hai vế:
4x\ge m+1\iff x\ge\frac{m+1}{4}.
Bất phương trình sau cho x^2+2x-3\le x^2-2x+m, nên 4x\le m+3, tức x\le(m+3)/4. Chia cho 4>0 giữ chiều bất đẳng thức. Vì cần nghiệm chung , ta lấy phần giao:
I_m=\left[\frac{m+1}{4},\frac{m+3}{4}\right].
Đoạn luôn có độ dài 1/2, nên chứa nhiều nhất một số nguyên. Do đó ở riêng mô hình này, “100 là nghiệm duy nhất” tương đương với “100 thuộc đoạn”:
\frac{m+1}{4}\le100\le\frac{m+3}{4}\iff397\le m\le399.
Vì m nguyên, ta nhận đúng m=397,398,399. Nếu m được phép thực thì mọi giá trị trong đoạn [397,399] đều phù hợp; không thể kết luận chỉ có ba giá trị nếu bỏ điều kiện nguyên của tham số.
Ba trục dùng cùng tỉ lệ. Các đầu đoạn đều đóng; chấm vàng là số nguyên 100. Ở hai hàng ngoài, nó trùng một đầu mút nhưng vẫn được nhận.
Hai đầu mút tham số đều đạt được: tại m=397, số 100 là đầu phải của đoạn nghiệm; tại m=399, nó là đầu trái. Cả hai được nhận do các bất phương trình không nghiêm. Tại m=398, nó nằm trong đoạn.
6. Nhìn toàn bộ họ đoạn thay vì chỉ một giá trị k
Nếu thay 100 bằng một số nguyên bất kì k, lập luận độ dài vẫn đúng. Điều kiện chứa k cho
4k-3\le m\le4k-1.
Với m nguyên, có đúng ba giá trị 4k-3,4k-2,4k-1. Những giá trị của m còn lại nằm ở đâu? Viết m=4q+r, với q nguyên và số dư r\in\{0,1,2,3\}, kể cả khi m âm.
- Nếu r=0, đoạn là [q+1/4,q+3/4], không có số nguyên.
- Nếu r=1, đoạn là [q+1/2,q+1], chỉ chứa q+1.
- Nếu r=2, đoạn là [q+3/4,q+5/4], chỉ chứa q+1.
- Nếu r=3, đoạn là [q+1,q+3/2], chỉ chứa q+1.
Như vậy họ đoạn có đúng một nghiệm nguyên khi và chỉ khi m không chia hết cho 4. Không có trường hợp hai nghiệm nguyên. Ví dụ m=-3 cho đoạn [-1/2,0], nhận đúng 0; m=-4 cho [-3/4,-1/4], không có nghiệm nguyên. Dấu âm không thay đổi quy tắc nếu phép chia có dư được viết đúng.
7. Đổi độ dài hoặc đổi đầu mút thì phải xét lại
Xét mô hình mới
J_m=\left[\frac{m-2}{3},\frac{m+2}{3}\right],\qquad m\in\mathbb Z.
Độ dài là 4/3>1, nên chỉ chứng minh 100\in J_m không đủ. Điều kiện chứa 100 cho 298\le m\le302, nhưng còn phải loại 99 và 101.
Dùng tiêu chuẩn đầy đủ với một số nguyên k:
k-1<\frac{m-2}{3}\le k\le\frac{m+2}{3}<k+1.
Hai bất đẳng thức loại hàng xóm cho 3k-1<m<3k+1. Chúng mạnh hơn các điều kiện chứa k, vốn chỉ đòi 3k-2\le m\le3k+2. Vì m nguyên, duy nhất m=3k; với k=100, chỉ nhận m=300. Hai điểm biên thực m=3k-1,3k+1 bị loại vì đoạn lần lượt nhận thêm k-1 hoặc k+1.
Trở lại họ đoạn nguồn nhưng đổi cả hai bất phương trình thành nghiêm. Nghiệm chung là khoảng mở có cùng hai đầu. Độ dài vẫn là 1/2, nhưng điều kiện chứa 100 đổi thành 397<m<399; với m nguyên, chỉ còn 398. Nếu chỉ mở đầu trái thì nhận 397,398; nếu chỉ mở đầu phải thì nhận 398,399.
Tiêu chuẩn tổng quát cho khoảng mở chứa duy nhất k là
\boxed{k-1\le\alpha<k<\beta\le k+1}.
Hai số hàng xóm được phép trùng đầu mút vì chính đầu mút đã bị loại; còn k phải nằm nghiêm ngặt bên trong. Cách đổi dấu này đến từ ý nghĩa “thuộc khoảng”, không từ một mẹo biến đổi biểu thức.
8. Tự kiểm tra cách đếm và tính đầy đủ
Đoạn đóng dài một có thể không chứa số nguyên nào không?
Không. Nếu đầu trái nguyên thì có cả hai đầu nguyên. Nếu đầu trái không nguyên, số nguyên kế tiếp sau nó nằm trong đoạn. Tuy nhiên khoảng mở (2,3) dài một lại không có số nguyên nào, vì hai đầu đều bị loại.
Tìm m nguyên để họ đoạn nguồn có nghiệm nguyên duy nhất là âm hai
Thay k=-2 vào 4k-3\le m\le4k-1, được -11\le m\le-9. Vậy m=-11,-10,-9. Ví dụ tại m=-11, đoạn là [-5/2,-2], nhận đầu phải -2; tại m=-9, đoạn là [-2,-3/2], nhận đầu trái.
Đếm nghiệm nguyên trong khoảng từ âm hai đến hai, mở bên trái và đóng bên phải
Khoảng (-2,2] có các số -1,0,1,2, gồm bốn số. Số không phải được tính như mọi số nguyên khác. Lấy độ dài 4 tình cờ cho đúng ở đây, nhưng đoạn đóng [-2,2] cùng độ dài lại có năm số.
Một bạn tìm được k thuộc đoạn rồi kết luận duy nhất. Cần bổ sung gì?
Cần chứng minh không có số nguyên khác. Có thể dùng độ dài nhỏ hơn một, nếu điều kiện ấy thật sự thỏa. Trong trường hợp tổng quát, chứng minh đầu trái lớn hơn k-1 và đầu phải nhỏ hơn k+1 đối với đoạn đóng; với đầu mở, thay dấu theo đúng quy tắc loại đầu mút.
Một lời giải hoàn chỉnh có hai phần: tìm đúng miền nghiệm thực và đếm đúng các điểm nguyên trong miền ấy. Khi suy ngược ra tham số, hãy ghi rõ tham số nguyên hay thực, và thử riêng những giá trị biên làm đầu mút chạm một số nguyên.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện