Tiếp tuyến và cát tuyến: nhân từ cùng một điểm, giữ đúng cả đoạn
Chứng minh hệ thức tiếp tuyến–cát tuyến bằng Pythagore; phân biệt đoạn ngoài, đoạn trong, toàn đoạn; thiết lập ẩn, kiểm tra vị trí điểm và đơn vị. Hình chính…
THCS · TOÁN · ĐƯỜNG TRÒN VÀ HỆ THỨC ĐỘ DÀI
Tiếp tuyến và cát tuyến: nhân từ cùng một điểm, giữ đúng cả đoạn
Mục tiêu: hiểu vì sao một tích độ dài không đổi khi đường cắt xoay quanh một điểm ngoài; phân biệt đoạn ngoài, đoạn trong và toàn cát tuyến; kiểm tra điều kiện trước khi dùng hệ thức.
Cần biết: đường tròn, tiếp tuyến vuông góc bán kính, đường vuông góc từ tâm đến dây, định lí Pythagore và hiệu hai bình phương. Ví dụ và hình vẽ được tự biên soạn, có đầy đủ cấu hình.
1. Gọi đúng ba độ dài trước khi viết một tích
Cho đường tròn tâm O, bán kính R>0, và điểm P ở ngoài: OP>R. Một tia xuất phát từ P cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A,B, theo thứ tự P,A,B. Khi đó A là giao điểm gần, B là giao điểm xa.
Ba đoạn khác nhau cần đọc rõ: PA là đoạn ngoài; AB là phần nằm trong đường tròn; PB là toàn đoạn từ điểm xuất phát tới giao điểm xa. Vì A nằm giữa P và B, ta có PB=PA+AB.
Tích trong hệ thức cát tuyến là PA\cdot PB. Cả hai thừa số đều bắt đầu ở P. Không thay thừa số thứ hai bằng AB, vì AB bắt đầu ở giao điểm gần.
Tự dự đoán: nếu đoạn ngoài dài 4 cm và phần trong dài 5 cm, thừa số thứ hai là 5 hay 9 cm? Đừng tính tích trước khi xác định hai đầu của mỗi đoạn.
Mở gợi ý về điểm xuất phát
Toàn đoạn là PB=4+5=9\,\mathrm{cm}. Tích cần xét bằng 4\cdot9=36\,\mathrm{cm}^2. Tích 4\cdot5 dùng nhầm đoạn trong. Đây là một ví dụ độc lập để đọc tên đoạn, không phải số liệu của hình ở phần 4.
2. Chứng minh bằng hiệu hai bình phương
Từ O hạ vuông góc xuống đường thẳng AB tại H. Nếu cát tuyến đi qua tâm, lấy H=O. Đường vuông góc từ tâm đến dây đi qua trung điểm dây, nên HA=HB=e>0. Đặt PH=d. Vì P ở ngoài và tia gặp A trước B, thứ tự trên đường là P,A,H,B, do đó d>e.
Ta được PA=d-e, PB=d+e, nên:
PA\cdot PB=(d-e)(d+e)=d^2-e^2.
Với cát tuyến không qua tâm, áp dụng Pythagore cho hai tam giác vuông OHP và OHA:
OP^2=OH^2+d^2,\qquad R^2=OA^2=OH^2+e^2.
Trừ hai đẳng thức, phần OH^2 triệt tiêu:
\boxed{PA\cdot PB=OP^2-R^2}.
Nếu cát tuyến qua tâm, d=OP, e=R, và cùng kết quả theo hiệu hai bình phương; không cần gọi các hình suy biến là tam giác vuông.
Khi O,R,P giữ nguyên, vế phải không đổi. Vì vậy thay một cát tuyến bằng cát tuyến khác vẫn giữ tích, miễn là cả hai giao điểm thuộc cùng đường tròn và đều nằm trên tia xuất phát từ P.
3. Vì sao bình phương tiếp tuyến bằng cùng tích ấy?
Kẻ tiếp tuyến từ P tới đường tròn, tiếp điểm T. Bán kính OT vuông góc với PT, nên tam giác OTP vuông tại T. Pythagore cho:
PT^2=OP^2-OT^2=OP^2-R^2.
Ghép với phần 2:
\boxed{PT^2=PA\cdot PB}.
Nếu một tia khác từ P gặp đường tròn tại C,D theo thứ tự P,C,D, thì:
PA\cdot PB=PC\cdot PD=PT^2.
Ta không cần biết cát tuyến thứ hai nghiêng bao nhiêu để so sánh tích. Tuy nhiên không phải mọi tia đều cắt được đường tròn; điều kiện “gặp tại hai điểm phân biệt” phải được kiểm tra trong cấu hình.
Phân biệt hai phát biểu: một đường nhìn giống tiếp tuyến trên hình chưa đủ để dùng OT\perp PT. Cần giả thiết tiếp tuyến, hoặc chứng minh T nằm trên đường tròn và OT\perp PT. Đẳng thức về độ dài cũng chỉ dùng sau khi xác định đúng các điểm, không thay cho việc đọc cấu hình.
4. Một hình có tọa độ chính xác để tự kiểm tra
Xét ví dụ riêng: O=(0,0), R=5\,\mathrm{cm}, P=(13,0). Tia từ P qua O gặp đường tròn tại A=(5,0), B=(-5,0). Vì vậy PA=8, AB=10, PB=18, tính bằng cm.
Chọn T=(25/13,60/13). Điểm này thuộc đường tròn vì (25/13)^2+(60/13)^2=25. Hơn nữa, OP^2=169, OT^2=25, PT^2=144; theo định lí Pythagore đảo, OT\perp PT, nên PT là tiếp tuyến. Đây là cách kiểm tra vị trí trên hình, không chỉ ước lượng bằng mắt.
Hình dùng cùng tỉ lệ 24 đơn vị hình cho 1 cm: X=300+24x, Y=280-24y. Đường màu vàng đi từ P qua A,O,B; đường màu xanh lá là tiếp tuyến. Các độ dài ghi trên hình tính bằng cm.
Ba phép kiểm độc lập trùng nhau:
PA\cdot PB=8\cdot18=144,\quad OP^2-R^2=13^2-5^2=144,\quad PT^2=12^2=144.
Nếu dùng nhầm PA\cdot AB, ta chỉ được 8\cdot10=80, không bằng 144. Dấu hiệu sai nằm ở tên đoạn, không phải ở phép nhân.
5. Khi có ẩn, lập phương trình từ điểm đầu và điểm cuối
Trong một cấu hình tự biên soạn khác, biết tiếp tuyến dài 6 cm và phần trong cát tuyến dài 5 cm. Gọi đoạn ngoài là x\,\mathrm{cm}, với x>0. Toàn cát tuyến là x+5, nên quan hệ cần lập là:
x(x+5)=6^2.
Không viết 5x=36 vì 5 chỉ là đoạn trong. Cũng không viết (x+5)^2=36 vì hai thừa số của tích cát tuyến không bằng nhau. Từ phương trình đúng, x^2+5x-36=(x+9)(x-4)=0. Nghiệm độ dài hợp lệ là x=4; nghiệm -9 bị loại bởi x>0. Kiểm lại toàn đoạn là 9 cm và 4\cdot9=6^2.
Điều cần chuyển sang tình huống khác không phải số 4, mà là cách gắn mỗi thừa số với đoạn thật. Với đoạn ngoài x>0, đoạn trong k>0 và tiếp tuyến t>0, khuôn quan hệ là x(x+k)=t^2. Mỗi nghiệm tìm được phải trả lại đúng độ dài và thứ tự điểm.
Hệ thức bảo toàn tích không bảo toàn từng đoạn. Nếu một cát tuyến có đoạn ngoài nhỏ hơn, đoạn tới giao điểm xa có thể lớn hơn để giữ tích. Không kết luận hai đoạn gần bằng nhau chỉ vì hai tích bằng nhau.
6. Giới hạn áp dụng: vị trí điểm và đường tròn phải đúng
Tình huống · Điều cần kiểm tra · Sai lầm cần tránh
Hai cát tuyến xuất phát từ P · Giao điểm đều thuộc cùng một đường tròn; thừa số bắt đầu ở P. · Dùng hai đường tròn khác nhau mà vẫn cho các tích bằng nhau.
P nằm trong đường tròn · Không có tiếp tuyến thật từ P; OP^2-R^2<0. · Đồng nhất một tích độ dài dương với số âm bằng công thức dành cho điểm ngoài.
P nằm trên đường tròn · OP^2-R^2=0; một giao điểm của cát tuyến chính là P. · Coi đoạn ngoài dương như trước hoặc chia cho đoạn bằng 0.
Đổi đơn vị cm sang mm · Mỗi độ dài nhân 10, tích hai độ dài nhân 100. · So trực tiếp tích dùng cm với bình phương tiếp tuyến dùng mm.
Để thấy vì sao điểm trong là trường hợp khác, lấy đường tròn bán kính 5 và điểm Q trên một đường kính, cách tâm 3. Hai đoạn từ Q đến hai đầu đường kính dài 2 và 8, tích bằng 16; trong khi OQ^2-R^2=9-25=-16. Không thể mang nguyên công thức với độ dài dương của điểm ngoài vào đây.
Một hình vẽ có thể bị kéo giãn hoặc không theo tỉ lệ. Dùng giả thiết thẳng hàng, thứ tự điểm, thuộc đường tròn và vuông góc làm căn cứ; hình chỉ giúp đọc các quan hệ đã xác định.
7. Tự kiểm tra: tên đoạn, thứ tự, dấu và đơn vị
Hãy phác sơ đồ nhỏ hoặc viết hai đầu đoạn trước khi mở gợi ý. Mục tiêu là tự kiểm soát hệ thức trong một cấu hình mới.
1. Đoạn ngoài 3 cm, đoạn trong 9 cm: tích cát tuyến là bao nhiêu?
Gợi ý: Thừa số xa phải bắt đầu ở P.
Tự đối chiếu: Toàn đoạn dài 3+9=12 cm, tích 3\cdot12=36\,\mathrm{cm}^2. Không dùng 3\cdot9. Nếu có tiếp tuyến từ cùng điểm tới cùng đường tròn, độ dài của nó là 6 cm.
2. Vì sao hai cát tuyến cùng điểm ngoài có tích bằng nhau?
Gợi ý: Tìm biểu thức không phụ thuộc đường cắt.
Tự đối chiếu: Cả hai bằng OP^2-R^2, khi O,R,P giữ nguyên và các giao điểm đúng điều kiện. Chứng minh ở phần 2 giải thích tính không đổi.
3. Trong hình có R = 5 và OP = 13, tiếp tuyến có thể dài 13 không?
Gợi ý: Dùng tam giác vuông OTP.
Tự đối chiếu: Không. PT^2=13^2-5^2=144, nên PT=12 cm. OP là cạnh huyền; không nhầm khoảng cách đến tâm với tiếp tuyến.
4. Nếu PA = 8, PB = 18 thì AB = 26 phải không?
Gợi ý: A nằm giữa P và B.
Tự đối chiếu: Không. AB=PB-PA=10 cm. Cộng hai đoạn cùng bắt đầu ở P không cho đoạn nối hai giao điểm.
5. Phương trình độ dài có nghiệm âm có được giữ không?
Gợi ý: Đối chiếu ý nghĩa biến.
Tự đối chiếu: Không nếu biến được định nghĩa là độ dài đoạn dương như trong bài. Với x(x+5)=36, nghiệm -9 đúng về đại số nhưng không biểu diễn đoạn ngoài.
6. Hai đường tròn khác nhau, cùng điểm P, có chắc cùng tích không?
Gợi ý: Viết vế phải cho từng đường tròn.
Tự đối chiếu: Không. Tâm và bán kính thay đổi thì OP^2-R^2 có thể thay đổi. Ví dụ hai đường tròn cùng tâm, OP = 13, bán kính 5 và 3 cho các tích 144 và 160, khác nhau.
7. Tích 144 cm² đổi sang mm² thế nào?
Gợi ý: Mỗi thừa số độ dài nhân 10.
Tự đối chiếu: 144\,\mathrm{cm}^2=14400\,\mathrm{mm}^2. Tiếp tuyến 12 cm là 120 mm, bình phương là 14400 mm², khớp với tích.
8. Chỉ thấy một tích độ dài bằng nhau có đủ nói bốn điểm đồng viên không?
Gợi ý: Kiểm tra còn thiếu giả thiết nào.
Tự đối chiếu: Không chỉ dựa vào một đẳng thức rời cấu hình. Các định lí đảo cần những giả thiết về điểm, đường thẳng, thứ tự và không suy biến. Trước khi dùng một định lí đảo, phải nêu và kiểm tra đầy đủ giả thiết của nó; bài này chứng minh chiều từ đường tròn đến hệ thức.
Nhớ bằng ý nghĩa: cùng điểm xuất phát, cùng đường tròn; đoạn gần nhân toàn đoạn xa; tiếp tuyến được bình phương; cuối cùng kiểm vị trí điểm, dấu và đơn vị.
Chuyên đề tự biên soạn · Hệ thức được chứng minh từ Pythagore · Ví dụ đầy đủ và hình theo đúng tỉ lệ.