Góc vuông và đường tròn đường kính: tìm đúng tâm trước khi xét tiếp tuyến
Từ góc vuông đến đường tròn đường kính; chứng minh bằng hình chữ nhật, ứng dụng đường cao, phân biệt cát tuyến với tiếp tuyến và kiểm tra hình suy biến. Ví…
THCS · TOÁN · GÓC VUÔNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN PHỤ
Góc vuông và đường tròn đường kính: tìm đúng tâm trước khi xét tiếp tuyến
Mục tiêu: dùng một đoạn thẳng làm đường kính để nhận ra các điểm cùng thuộc một đường tròn; xác định tâm, bán kính và điều kiện tiếp tuyến. Mỗi quan hệ đều được giải thích từ giả thiết, không phụ thuộc một đề thi bên ngoài.
Cần biết: tam giác vuông, trung điểm, hình bình hành và hình chữ nhật, đường cao, bán kính và tiếp tuyến. Các ví dụ và hình tọa độ dưới đây được tự biên soạn.
1. Một góc vuông xác định đường tròn nào?
Giữ hai điểm phân biệt U,V, gọi M là trung điểm UV. Nếu X khác U,V và \angle UXV=90^\circ, thì X thuộc đường tròn có đường kính UV, tâm M, bán kính UV/2.
Hãy đọc đúng vị trí chữ ở tên góc: trong \angle UXV, đỉnh góc là X; hai đầu còn lại là U,V. Đoạn đối diện góc vuông trong tam giác UXV là UV, nên nó là đường kính cần tìm.
Không chọn đoạn UX làm đường kính chỉ vì nó là một cạnh của góc vuông. Hai đầu của đường kính là hai điểm ở hai phía ngoài tên góc, còn điểm tại đỉnh góc nằm trên đường tròn.
Dự đoán: nếu \angle UXV và \angle UYV đều vuông, nhưng X,Y nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng UV, chúng có thuộc cùng một đường tròn không?
Mở gợi ý sau khi chọn tâm và bán kính
Có, nếu các góc được xác định và các điểm thỏa giả thiết. Cả hai cùng cách trung điểm M một khoảng UV/2. Việc nằm ở hai phía đường kính không tạo hai đường tròn khác nhau; hai nửa đường tròn có chung tâm và bán kính.
2. Vì sao trung điểm cạnh huyền là tâm?
Trong tam giác vuông UXV tại X, lấy Y đối xứng với X qua M. Hai đường chéo UV và XY của tứ giác UXVY cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên tứ giác là hình bình hành. Góc UXV vuông, vì vậy đó là hình chữ nhật.
Hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau: XY=UV. Do M là trung điểm XY, ta có:
MX=\frac{XY}{2}=\frac{UV}{2}=MU=MV.
Vậy U,V,X cùng thuộc đường tròn tâm M. Lập luận này giải thích vì sao phải lấy trung điểm của cạnh huyền , không phải trung điểm tùy ý của một cạnh.
Chiều ngược lại cũng đúng: nếu X nằm trên đường tròn đường kính UV và khác hai đầu đường kính, lấy điểm đối diện Y của X qua tâm M. Tứ giác UXVY là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, nên là hình chữ nhật; do đó \angle UXV=90^\circ.
Hai chiều tạo một công cụ nhận biết: góc vuông giúp tìm đường tròn; đường kính của một đường tròn đã xác định giúp suy ra góc vuông. Điều kiện X\ne U,V giữ cho góc không bị suy biến.
3. Tìm một đường tròn trong cấu hình đường cao
Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao từ B gặp AC tại E; đường cao từ C gặp AB tại F. Hai đường cao cắt nhau tại trực tâm H. Đặt I là trung điểm AH. Giả thiết tam giác nhọn bảo đảm các chân đường cao nằm trên các cạnh, H ở trong tam giác và các điểm dùng dưới đây không trùng nhau.
Vì A,E,C thẳng hàng và B,E,H thẳng hàng, từ BE\perp AC suy ra AE\perp EH. Do đó \angle AEH=90^\circ. Tương tự, A,F,B thẳng hàng, C,F,H thẳng hàng và CF\perp AB, nên \angle AFH=90^\circ.
Cả hai góc vuông cùng nhìn đoạn AH. Vì thế E,F cùng thuộc đường tròn đường kính AH, với:
IA=IH=IE=IF=\frac{AH}{2}.
Ta đã chứng minh A,E,H,F đồng viên. Muốn gọi tứ giác AEHF nội tiếp, các đỉnh phải phân biệt và được nối theo thứ tự phù hợp; không bỏ qua điều kiện này ở một cấu hình suy biến.
Điểm I là tâm của đường tròn phụ đường kính AH. Không tự đồng nhất nó với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; đó là hai đường tròn có định nghĩa khác nhau.
4. Một hình đầy đủ với tọa độ và tỉ lệ kiểm được
Chọn ví dụ riêng A=(0,8), B=(-4,0), C=(6,0). Các độ dài tọa độ dùng cùng đơn vị. Chân đường cao và trực tâm là:
E=\left(\frac{12}{5},\frac{24}{5}\right),\quad F=(-2,4),\quad H=(0,3),\quad I=\left(0,\frac{11}{2}\right).
Đường thẳng AC có hệ số góc -4/3, còn BE có hệ số góc 3/4; chúng vuông góc. Tương tự AB có hệ số góc 2, CF có hệ số góc -1/2. Hai đường cao cùng đi qua H=(0,3). Hình dưới dựng từ đúng các tọa độ ấy, không phác theo cảm giác.
Cùng tỉ lệ 42 đơn vị hình cho một đơn vị tọa độ: X=360+42x, Y=430-42y. Đường tròn có tâm I và bán kính 5/2; hai dấu vuông biểu thị AE\perp EH và AF\perp FH.
Kiểm tra bằng bình phương khoảng cách:
IE^2=\left(\frac{12}{5}\right)^2+\left(\frac{24}{5}-\frac{11}{2}\right)^2=\frac{144}{25}+\frac{49}{100}=\frac{25}{4}.
IF^2=(-2)^2+\left(4-\frac{11}{2}\right)^2=4+\frac94=\frac{25}{4}.
Vì AH=5, bán kính AH/2=5/2; các kết quả khớp với chứng minh hình học. Tọa độ kiểm ví dụ cụ thể, còn phần 3 chứng minh quan hệ cho mọi tam giác thỏa giả thiết.
5. Đường cao không tự động là tiếp tuyến của đường tròn phụ
Để một đường thẳng \ell đi qua E là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, cần E thuộc đường tròn và \ell\perp IE. Đường vuông góc phải là bán kính đến tiếp điểm , không phải một đoạn bất kì cùng đi qua E.
Trong cấu hình đường cao, ta biết BE\perp AE. Nhưng AE không phải bán kính của đường tròn tâm I. Vì vậy không được kết luận BE là tiếp tuyến. Thực tế BE đi qua hai điểm phân biệt E,H của đường tròn phụ, nên nó là cát tuyến.
Trong ví dụ tọa độ, hệ số góc IE là -7/24; một tiếp tuyến tại E có hệ số góc 24/7. Đường cao BE có hệ số góc 3/4, khác hẳn. Đây là kiểm tra thêm; lý do hình học quyết định vẫn là vị trí của bán kính và hai giao điểm.
Quy trình kiểm tiếp tuyến: xác định đường tròn → tìm tâm → xác nhận điểm tiếp xúc nằm trên đường tròn → nối tâm với điểm ấy → chứng minh vuông góc. Vẽ thêm một dấu vuông không thay cho chứng minh.
6. Giữ điều kiện khi chuyển sang hình khác
Thông tin nhìn thấy · Điều có thể kết luận · Điều chưa được phép suy ra
Hai góc vuông cùng nhìn đoạn UV · Các đỉnh góc thuộc đường tròn đường kính UV, nếu góc không suy biến. · Hai góc vuông nhìn hai đoạn khác nhau vẫn cho cùng một đường tròn.
MX=MU=MV, M là trung điểm UV · X thuộc đường tròn đường kính UV. · Nếu chỉ biết MU=MV, đã đủ cho M là trung điểm: còn cần M nằm trên UV.
Đường thẳng vuông góc một cạnh của tam giác · Có một quan hệ góc vuông cần khai thác. · Nó là tiếp tuyến của mọi đường tròn đi qua chân vuông góc.
Tam giác ban đầu vuông tại A · Trực tâm trùng A. · Tiếp tục dùng đường tròn đường kính AH có bán kính dương; lúc này AH=0.
Với tam giác tù, các chân đường cao có thể nằm trên đường kéo dài của cạnh. Một số quan hệ vẫn khai thác được, nhưng phải xét lại vị trí, thứ tự và sự phân biệt các điểm. Không áp hình minh họa tam giác nhọn lên mọi trường hợp mà bỏ qua giả thiết.
Hình được phóng lớn đồng đều giữ các góc và quan hệ đồng viên; hình bị kéo giãn riêng theo chiều ngang có thể biến đường tròn thành elip. Khi đánh giá một bản vẽ, dùng giả thiết và phép dựng chính xác, không lấy cảm giác tròn hay vuông làm chứng cứ duy nhất.
7. Tự kiểm tra: đường kính nào, tâm nào, vuông với gì?
Trước khi mở gợi ý, chỉ rõ đỉnh góc vuông và hai đầu đoạn mà góc ấy nhìn thấy.
1. Góc UXV vuông thì đoạn nào là đường kính?
Gợi ý: X là đỉnh góc.
Tự đối chiếu: Đoạn UV, không phải UX hay XV. Tâm là trung điểm UV; bán kính là UV/2.
2. Vì sao AEH và AFH dẫn tới cùng một đường tròn?
Gợi ý: So sánh hai đầu ngoài tên góc.
Tự đối chiếu: Cả hai góc đều vuông và cùng nhìn AH. Đường tròn đường kính AH có tâm, bán kính xác định duy nhất khi A\ne H.
3. Chỉ biết IE = IF có đủ kết luận A,E,H,F đồng viên không?
Gợi ý: Còn khoảng cách nào chưa được nối với bán kính?
Tự đối chiếu: Chưa. Cần liên hệ với IA=IH=AH/2, hoặc dùng trực tiếp hai góc vuông cùng nhìn AH. Hai điểm cách I bằng nhau chưa đưa mọi điểm còn lại vào cùng đường tròn.
4. BE vuông góc AE nên BE là tiếp tuyến tại E, đúng không?
Gợi ý: Bán kính tại E là đoạn nào?
Tự đối chiếu: Sai. Bán kính là IE, không phải AE. Trong cấu hình nhọn, BE còn đi qua H trên đường tròn nên là cát tuyến.
5. Nếu AH = 10 cm thì IE là 10 cm hay 5 cm?
Gợi ý: AH là đường kính.
Tự đối chiếu: IE=AH/2=5\,\mathrm{cm}. Không nhầm đường kính với bán kính.
6. Trong ví dụ, IE² = 25/4 thì IE = 25/4 được không?
Gợi ý: Đang biết độ dài hay bình phương độ dài?
Tự đối chiếu: Không. Độ dài không âm nên IE=\sqrt{25/4}=5/2. Giá trị 25/4 là bình phương độ dài.
7. Nếu A trùng H, còn đường tròn phụ như trên không?
Gợi ý: Kiểm tra bán kính.
Tự đối chiếu: Không có đường tròn bán kính dương với đường kính AH vì AH=0. Các góc liên quan cũng cần xét lại; không tiếp tục dùng tứ giác gồm bốn đỉnh phân biệt.
8. Một điểm nằm trên đường tròn đường kính UV cho góc UXV vuông trong mọi trường hợp?
Gợi ý: X có được trùng U hoặc V không?
Tự đối chiếu: Phải loại X=U,V. Với X khác hai đầu đường kính, góc xác định và vuông. Khi X trùng một đầu, một cạnh của góc không còn được xác định như tia qua hai điểm phân biệt.
Tự kiểm chứng minh: ghi thẳng hàng và vuông góc → gọi đúng góc → nhận diện cùng đường kính → xác định tâm, bán kính → dùng đúng bán kính nếu xét tiếp tuyến → kiểm tra điểm trùng và hình suy biến.
Chuyên đề tự biên soạn · Từ định nghĩa và chứng minh đến hình vẽ chính xác · Ví dụ độc lập, không cần đề gốc.