Giao điểm thứ hai nằm trong hay ngoài đường chéo?
Dựng giao điểm bằng chân đường cao và phép đối xứng, phân loại vị trí theo tỉ số cạnh rồi chứng minh điều kiện để giao điểm là trung điểm hoặc ở một vị trí…
TOÁN 9 · HÌNH CHIẾU VÀ BÀI TOÁN DỰNG NGƯỢC
Giao điểm thứ hai nằm trong hay ngoài đường chéo?
Dựng giao điểm bằng chân đường cao và phép đối xứng, phân loại vị trí theo tỉ số cạnh rồi chứng minh điều kiện để giao điểm là trung điểm hoặc ở một vị trí cho trước.
1. Giao điểm của đường thẳng chưa chắc nằm trên đoạn
Cho tam giác ABC vuông tại B, với AB=a>0,\ BC=b>0,\ AC=c. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính a. Điểm A nằm trên đường tròn. Ta tìm giao điểm thứ hai F\ne A của đường tròn với đường thẳng AC.
Nói “đường thẳng” là có chủ ý: tùy hai cạnh góc vuông, F có thể nằm trong đoạn AC, trùng C, hoặc nằm quá C trên tia AC. Bài học sẽ dựng được F, tính vị trí của nó và giải bài toán ngược: chọn tỉ lệ hai cạnh thế nào để F ở vị trí mong muốn?
Vì đường tròn đi qua A và có tâm ở đỉnh góc vuông, F có luôn là trung điểm của cạnh huyền không? Hãy giữ dự đoán này để kiểm tra bằng một tam giác 3,4,5.
2. Chân đường cao tạo ra giao điểm bằng một phép đối xứng
Gọi H là chân đường vuông góc từ B xuống AC. Vì tam giác vuông không suy biến có hai góc tại A,C đều nhọn, H nằm trong đoạn AC, và BH>0. Nếu chân nằm ngoài đoạn, một trong hai góc ấy phải tù; nếu trùng đầu mút, một trong hai góc ấy phải vuông, đều mâu thuẫn.
Trên đường thẳng AC, lấy F đối xứng với A qua H: A,H,F theo thứ tự và HF=HA>0. Hai tam giác BHA,BHF vuông tại H, có BH chung và HA=HF. Theo Pythagore,
BF^2=BH^2+HF^2=BH^2+HA^2=BA^2=a^2.
Vì độ dài không âm, BF=BA=a. Vậy F nằm trên đường tròn và khác A, đúng là một giao điểm thứ hai.
Vì sao không còn giao điểm nào khác?
Nếu X nằm trên cả đường thẳng AC và đường tròn, thì
HX^2=BX^2-BH^2=a^2-BH^2=HA^2.
Suy ra HX=HA. Trên một đường thẳng, đúng hai điểm cách H một khoảng dương HA: A và điểm đối xứng F. Do đó dựng như trên cho đúng giao điểm còn lại, không thêm lựa chọn.
Đồng thời, H là trung điểm của dây AF, nên AF=2AH. Trung điểm của dây AF không phải mặc nhiên là trung điểm của đoạn AC.
3. Dùng đồng dạng để đo vị trí giao điểm
Hai tam giác \triangle ABH và \triangle ACB đồng dạng: cùng góc tại A, góc H và góc B tương ứng đều vuông. Do đó
\frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AC},\qquad
AH=\frac{a^2}{c}.
Tất cả các độ dài chia ở đây đều dương. Kết hợp AF=2AH và c^2=a^2+b^2, đặt tỉ số vị trí
\boxed{\lambda=\frac{AF}{AC}
=\frac{2a^2}{a^2+b^2}.}
Vì a,b>0, ta có 0<\lambda<2. Điểm F luôn nằm trên tia AC, nhưng tỉ số này mới quyết định nó nằm trước hay sau C.
Ví dụ độc lập a=3,\ b=4 cho c=5. Khi đó AH=9/5,\ AF=18/5, nên \lambda=18/25. Ta có AF=3{,}6, khác AC/2=2{,}5. Đây là phản ví dụ thực sự cho nhận định “giao điểm thứ hai luôn là trung điểm”.
Hai hướng dùng cùng tỉ lệ. Hai vạch trên dây thể hiện AH bằng HF; dấu vuông tại H thể hiện BH vuông góc với dây. H là trung điểm AF, còn F không là trung điểm AC trong ví dụ này.
4. Phân loại đủ ba vị trí
Vì F nằm trên tia AC và khác A, nó nằm trong đoạn AC khi và chỉ khi AF<AC, tức \lambda<1. Công thức cho
\lambda<1\quad\Longleftrightarrow\quad
2a^2<a^2+b^2
\quad\Longleftrightarrow\quad b>a.
Tương tự,
\lambda=1\quad\Longleftrightarrow\quad b=a,
\lambda>1\quad\Longleftrightarrow\quad b<a.
Vậy b>a cho F ở trong đoạn; b=a cho F=C; b<a cho F ở quá C. Dấu bằng cần giữ như một trường hợp riêng, không gọi C là điểm nằm trong đoạn theo nghĩa nội điểm.
Ví dụ a=3,\ b=3/2 cho \lambda=8/5>1: đường tròn vẫn cắt đường thẳng tại hai điểm, nhưng đoạn AC chỉ chứa giao điểm A. Việc vẽ F giữa A,C trong trường hợp này sẽ thêm một giả thiết sai.
Trục biểu diễn tỉ số AF/AC. Hai đầu bỏ vì không tạo tam giác vuông không suy biến trong mô hình; điểm 1 được nhận và có ý nghĩa riêng.
5. Khi nào giao điểm đúng là trung điểm?
Điều kiện F là trung điểm AC tương đương \lambda=1/2. Vì các mẫu dương,
\frac{2a^2}{a^2+b^2}=\frac12
\quad\Longleftrightarrow\quad
4a^2=a^2+b^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{b=\sqrt3\,a.}
Ở đây chọn căn dương vì b>0. Khi đó c=2a, nên \sin\angle ACB=a/c=1/2. Góc ACB nhọn, do đó bằng 30^\circ. Chiều ngược, góc 30^\circ cho c=2a, suy ra b=\sqrt3a và F là trung điểm.
Có thể nhận diện hình tam giác đều: trong trường hợp này AF=c/2=a, trong khi AB=BF=a. Vì thế \triangle ABF đều. Đây là một phép kiểm tra hình học độc lập của quan hệ góc đặc biệt.
6. Một ứng dụng chọn từ hình chữ nhật
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4 cm và \angle ACB=30^\circ. Xét đường tròn tâm B, bán kính BA, và giao điểm thứ hai F\ne A của đường thẳng AC với đường tròn. Đây là cấu hình chọn từ tài liệu nguồn; ta chỉ xét vị trí của F.
Tam giác ABC vuông tại B. Từ \sin30^\circ=1/2,
\frac{AB}{AC}=\frac12,\qquad AC=8\text{ cm}.
Pythagore cho BC=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3 cm. Công thức giao điểm cho
AF=\frac{2AB^2}{AC}
=\frac{2\cdot16}{8}=4\text{ cm}=\frac{AC}{2}.
Vậy F là trung điểm, với chứng minh đầy đủ. Quan hệ BF=BA nói rằng F thuộc đường tròn; tính chất trung điểm còn phụ thuộc tỉ số b/a. Các mục trước đã chỉ rõ điều kiện ấy thay vì suy từ cảm giác của hình vẽ.
7. Dựng ngược một vị trí mong muốn
Giữ cạnh a>0 cố định và muốn \lambda=AF/AC bằng một số đã cho. Từ công thức vị trí,
b^2=a^2\left(\frac2\lambda-1\right).
Muốn có b>0, cần và đủ 0<\lambda<2. Khi ấy đặt
\boxed{b=a\sqrt{\frac2\lambda-1}.}
Chiều cần: một tam giác hợp lệ đã cho 0<\lambda<2, và cạnh b phải thỏa công thức. Chiều đủ: với \lambda trong khoảng ấy, biểu thức dưới căn dương. Dựng tam giác vuông với hai cạnh a,b, rồi dựng đường tròn và F như mục 2. Thế lại vào 2a^2/(a^2+b^2) được đúng \lambda.
Vì b là căn dương duy nhất, vị trí tỉ lệ xác định duy nhất cạnh b khi a đã cố định. Nếu chưa biết kích thước a, nó chỉ xác định tỉ số b/a: phóng to cả hai cạnh cùng một hệ số dương giữ nguyên \lambda.
Cho a=3 cm và muốn AF/AC=2/5. Cạnh b bằng bao nhiêu? Giao điểm nằm trong hay ngoài đoạn?
Lời giải và kiểm tra ngược
b=3\sqrt{\frac{2}{2/5}-1}=3\sqrt4=6\text{ cm}.
Khi đó c=3\sqrt5, và AF=2a^2/c=6/\sqrt5. Vì
\frac{AF}{AC}=\frac{6/\sqrt5}{3\sqrt5}=\frac25<1,
giao điểm ở trong đoạn, đúng yêu cầu. Cũng có thể kiểm b=6>a=3 bằng bảng vị trí đã chứng minh.
8. Hai đầu mút không tạo tam giác hợp lệ
Không thể lấy \lambda=0, vì AF>0 và F\ne A. Không thể lấy \lambda=2, vì công thức sẽ buộc b=0, làm tam giác và hình chữ nhật suy biến. Giá trị âm hoặc lớn hơn 2 cũng không thể xuất hiện trong mô hình.
Ngược lại, \lambda=1 hoàn toàn hợp lệ: nó cho b=a và F=C. Điểm trùng C không làm tam giác suy biến; nó chỉ làm thay đổi cách mô tả vị trí giao điểm.
Cách làm có thể chuyển sang cấu hình khác: dựng chân vuông góc để tìm trung điểm một dây, dùng đồng dạng để tính hình chiếu, rồi so tỉ số với các mốc 0,1/2,1,2. Khi giải ngược, hãy chứng minh cả sự tồn tại lẫn điều kiện loại các biên, thay vì chỉ viết một công thức có căn.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu