Mực nước trong ly nón: đo thể tích bằng lập phương
Hiệu chuẩn dung tích từ hai mức nước, chứng minh vì sao cùng lượng thêm cho độ dâng khác nhau và kiểm tra điều kiện khi dùng thể tích chiếm chỗ của một vật.
TOÁN 9 · HIỆU CHUẨN VÀ SO SÁNH THỂ TÍCH
Mực nước trong ly nón: đo thể tích bằng lập phương
Hiệu chuẩn dung tích từ hai mức nước, chứng minh vì sao cùng lượng thêm cho độ dâng khác nhau và kiểm tra điều kiện khi dùng thể tích chiếm chỗ của một vật.
1. Cao thêm một centimet chưa cho biết đã thêm bao nhiêu nước
Trong một bình trụ, diện tích mặt cắt ngang không đổi nên thể tích thêm vào tỉ lệ với độ dâng. Trong một ly hình nón có đỉnh ở dưới, mặt nước ở cao hơn rộng hơn. Hai lần cùng tăng một centimet có thể cần những lượng nước rất khác nhau.
Trong cùng ly nón, tăng từ mức 1 lên 2 và tăng từ 3 lên 4, mỗi lần đều tăng 1. Có được suy ra hai thể tích thêm vào bằng nhau không?
Bài học xây dựng một thước đo theo lập phương của chiều cao, dùng nó để hiệu chuẩn dung tích, tìm lượng chưa biết và giải thích vì sao cùng một thể tích làm mực nước dâng ít hơn khi nước đã cao.
Ta xét phần trong của ly là một hình nón tròn xoay đứng, đỉnh kín ở dưới, miệng ngang. Bán kính miệng R>0, chiều cao H>0. Không rò rỉ, không bốc hơi trong quá trình đo; ban đầu các phép rót xét ly không có vật rắn bên trong. Mọi độ cao được đo từ đỉnh nón, không từ đáy của một vật đặt trong ly.
2. Thước lập phương đến từ đồng dạng
Ở độ cao h, với 0<h\le H, gọi bán kính mặt nước là r(h). Hai tam giác trong mặt cắt qua trục đồng dạng, nên
\frac{r(h)}R=\frac hH,\qquad r(h)=\frac{R}{H}h.
Dung tích phần ly từ đỉnh đến mức h là
V(h)=\frac13\pi r(h)^2h
=\frac{\pi R^2}{3H^2}h^3.
Đặt c=\pi R^2/(3H^2)>0, ta có V(h)=ch^3. Tại h=0, dung tích bằng không và công thức vẫn đúng; phần này không được gọi là một hình nón không suy biến.
Nếu rót thêm lượng nước W để mức tăng từ a lên b, với 0\le a\le b\le H, thì
\boxed{W=c(b^3-a^3).}
Không thay b^3-a^3 bằng (b-a)^3. Chẳng hạn 2^3-1^3=7, còn (2-1)^3=1. Hiệu hai dung tích được tính từ hai mốc chung ở đỉnh ly.
Giả sử ly đủ cao để xét cả hai khoảng ở đầu bài. Từ 1 lên 2 cần 7c; từ 3 lên 4 cần 37c. Cùng tăng một đơn vị chiều cao nhưng thể tích khác nhau. Biết riêng độ dâng chưa đủ; cần cả mức ban đầu hoặc mức cuối.
3. Hiệu chuẩn ly bằng một lượng nước đã biết
Không phải lúc nào cũng đo được chính xác R,H. Nếu vẫn biết ly đúng dạng nón và rót một lượng W_0>0 làm mức tăng từ a lên b>a, thì
\boxed{c=\frac{W_0}{b^3-a^3}.}
Mẫu dương vì lập phương tăng trên các số không âm. Thật vậy, nếu 0\le a<b,
b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)>0.
Một lần đo này xác định duy nhất hệ số c. Với hai mức khác 0\le u<v\le H, thể tích cần rót thêm là
W=c(v^3-u^3)
=W_0\frac{v^3-u^3}{b^3-a^3}.
Ví dụ độc lập: một ly nón cao ít nhất 3 cm cần thêm 5\text{ cm}^3 để mức từ 1 cm lên 2 cm. Khi dùng centimet cho độ dài và centimet khối cho thể tích, hệ số là c=5/7. Để tăng từ 2 lên 3, cần
W=\frac57(27-8)=\frac{95}{7}\text{ cm}^3.
Không thể dùng lại 5 chỉ vì hai độ dâng đều là 1 cm. Cũng không thể suy ra riêng R,H từ một hệ số: công thức chỉ xác định tỉ số R/H. Muốn biết dung tích đầy ly còn cần biết chiều cao toàn phần H.
4. Tìm mức mới và kiểm tra còn chỗ hay không
Giả sử nước ban đầu cao h_0, với 0\le h_0\le H, và rót thêm W\ge0. Đặt D=W/c\ge0. Nếu không tràn, bảo toàn thể tích cho
h^3=h_0^3+D,\qquad
\boxed{h=\sqrt[3]{h_0^3+D}.}
Căn bậc ba không âm là duy nhất do tính tăng của lập phương. Mực mới nằm trong ly khi và chỉ khi
\boxed{0\le W\le c(H^3-h_0^3).}
Chiều cần: h\le H buộc h_0^3+W/c\le H^3. Chiều đủ: điều kiện trên cho căn bậc ba nằm giữa h_0,H; dung tích tăng đúng W. Ở dấu bằng trên, nước vừa đầy đến miệng. Nếu cần khoảng trống dương, phải dùng dấu nhỏ hơn.
Ví dụ độc lập: ly có R=3 cm, H=6 cm, nên c=\pi/12. Tăng từ mức 2 lên 4 cần
W=\frac{\pi}{12}(64-8)=\frac{14\pi}{3}\text{ cm}^3.
Rót tiếp đúng lượng ấy, mức mới thỏa h^3=64+56=120, nên h\approx4{,}9324 cm. Vì 120<6^3=216, chưa tràn. Lần đầu tăng 2 cm; lần sau chỉ tăng khoảng 0{,}9324 cm.
Hình dùng cùng tỉ lệ theo hai hướng; các mặt nước nằm đúng trong thành nón. Mức 4,93 được ghi gần đúng. Đây là mặt cắt phẳng, nên không dùng diện tích các dải trên hình thay cho thể tích trong ly.
5. Chứng minh cùng thể tích làm độ dâng nhỏ dần
Giữ một lượng thêm W>0, nên D=W/c>0. Với mức ban đầu a\ge0, gọi độ dâng là s>0. Khi không tràn,
D=(a+s)^3-a^3
=3a^2s+3as^2+s^3.
Xét hai mức ban đầu 0\le a_1<a_2, đều còn đủ dung tích cho lượng thêm ấy. Nếu thử cùng một độ dâng s>0, hiệu hai phần tăng lập phương là
\bigl[(a_2+s)^3-a_2^3\bigr]
-\bigl[(a_1+s)^3-a_1^3\bigr]
=(a_2-a_1)\bigl[3s(a_2+a_1)+3s^2\bigr]>0.
Nghĩa là ở mức ban đầu cao hơn, cùng độ dâng đòi hỏi nhiều thể tích hơn. Gọi các độ dâng thật là s_1,s_2. Nếu s_2\ge s_1, tính tăng theo s và bất đẳng thức trên cho
(a_2+s_2)^3-a_2^3
\ge(a_2+s_1)^3-a_2^3
>(a_1+s_1)^3-a_1^3=D,
mâu thuẫn vì vế đầu cũng phải bằng D. Do đó
\boxed{a_1<a_2\quad\Longrightarrow\quad s_1>s_2}
\qquad(W>0,\ \text{cả hai lần không tràn}).
Với W=0, mọi độ dâng đều bằng 0, nên không có kết luận giảm nghiêm ngặt. Chứng minh trên không cần đạo hàm: chỉ dùng khai triển lập phương và dấu của các thừa số.
Hai trục có thang đo riêng. Đường nét đứt nối cùng một trạng thái trên hai thước; khoảng cách bên phải bằng nhau biểu thị các lượng nước thêm bằng nhau.
6. Vật chìm hoàn toàn cũng tạo một thể tích chiếm chỗ
Nếu thay việc rót nước bằng đưa vào một vật đặc không thấm nước có thể tích W, công thức tăng dung tích vẫn là c(h^3-h_0^3)=W, nhưng chỉ khi vật chìm hoàn toàn, không có nước tràn và không có bọt khí bị giữ lại. Phần ly dưới mặt nước mới gồm nước cũ và toàn bộ vật.
Lượng nước thực không tăng; dung tích bị chiếm bởi vật đã tăng. Nếu vật chỉ chìm một phần, phải dùng thể tích phần chìm, không tự dùng thể tích toàn vật. Nếu có nước tràn, lượng nước còn lại khác lượng ban đầu, nên phương trình bảo toàn cũng phải đổi.
Một cặp độ cao xác định được thể tích chiếm chỗ khi đã biết c. Nó chưa xác định hình dạng vật. Chỉ khi biết thêm vật là hình cầu chìm hoàn toàn mới được dùng W=4\pi r^3/3 để tìm bán kính.
7. Một ứng dụng chọn từ ly nón và viên bi
Ly có chiều cao trong 12 cm, đường kính miệng 10 cm. Nước ban đầu cao 6 cm. Một viên bi sắt đặc đường kính 3 cm được thả chìm hoàn toàn, không làm nước tràn. Các độ cao đều đo từ đỉnh ly.
Ta có R=5,\ H=12,\ r=3/2, nên
c=\frac{25\pi}{432},\qquad
W=\frac43\pi\left(\frac32\right)^3=\frac{9\pi}{2}.
Do đó phần tăng trên thước lập phương là
D=\frac Wc=\frac{1944}{25},\qquad
h^3=216+\frac{1944}{25}=\frac{7344}{25}=293{,}76.
Suy ra h\approx6{,}64759 cm, thấp hơn miệng 12 cm. Độ tăng, không phải toàn bộ chiều cao, là
\sqrt[3]{293{,}76}-6\approx0{,}64759\text{ cm}
\approx0{,}65\text{ cm}.
Có thể kiểm việc làm tròn bằng 6{,}647^3<293{,}76<6{,}648^3. Độ tăng nằm giữa 0{,}647 và 0{,}648, nên chắc chắn làm tròn đến hàng phần trăm thành 0{,}65.
Kiểm tra một vị trí đặt bi phù hợp
Trong mặt cắt qua trục, đường sinh dài \sqrt{12^2+5^2}=13. Gọi S là đỉnh nón, I là tâm bi trên trục, J là tiếp điểm với thành. Bán kính IJ=3/2 vuông góc thành. Tam giác vuông SIJ đồng dạng với tam giác có cạnh trục 12, cạnh miệng 5, đường sinh 13, nên IJ/SI=5/13.
Vì vậy SI=(3/2)\cdot13/5=3{,}9 cm. Đỉnh trên của bi cao 3{,}9+1{,}5=5{,}4 cm, thấp hơn cả mức nước ban đầu 6. Chân vuông góc cách đỉnh S một đoạn \sqrt{3{,}9^2-1{,}5^2}=3{,}6<13, nên nằm trên đoạn thành. Mặt cắt tròn ở vị trí đối xứng này nằm giữa hai thành; quay quanh trục cho viên bi nằm trọn trong ly; mức cuối cao hơn 6 và nhỏ hơn 12, nên điều kiện chìm hoàn toàn, không tràn phù hợp.
Nếu cùng viên bi và ly ấy nhưng nước ban đầu cao 9 cm, điều kiện chìm vẫn phù hợp; mức mới có lập phương 729+1944/25=806{,}76<12^3. Khi đó h\approx9{,}30925, độ dâng khoảng 0{,}30925 cm. Nó nhỏ hơn ở mức đầu 6, đúng định lí so sánh; không thể dùng cố định độ tăng 0{,}65 cho mọi mực nước ban đầu.
8. Chuyển giao: hiệu chuẩn rồi dự đoán lần rót tiếp
Ví dụ mới: một ly nón cao ít nhất 4 cm cần thêm 6\text{ cm}^3 nước để tăng từ 2 lên 3 cm. Rót thêm đúng 6\text{ cm}^3 nữa. Hỏi mực mới và giải thích vì sao độ dâng lần sau nhỏ hơn lần đầu.
Gợi ý
Tìm c=6/(3^3-2^3). Lần rót thứ hai phải tạo ra cùng hiệu lập phương, không phải cùng hiệu chiều cao.
Lời giải đầy đủ
c=\frac6{19},\qquad D=\frac6c=19.
Lần thứ hai bắt đầu từ mức 3, nên h^3=27+19=46, tức h=\sqrt[3]{46}. Vì 27<46<64, ta có 3<h<4: không tràn và độ dâng h-3<1, nhỏ hơn độ dâng lần đầu. Thể tích tăng kiểm lại là c(46-27)=(6/19)\cdot19=6.
Thước chiều cao cho vị trí mặt nước; thước lập phương cho một đại lượng tỉ lệ với dung tích. Giữ đúng mốc đo, hệ số hiệu chuẩn và điều kiện không tràn giúp chuyển được giữa hai thước mà không nhầm một độ cao với một thể tích.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu