Trung bình có trọng số: mẫu số quyết định kết quả
Từ tổng đóng góp đến trọng số, điều kiện khả thi và cách phục hồi tỉ lệ; dùng cùng một công thức để hiểu giảm giá và phép chọn theo nhóm.
TOÁN THCS · TRUNG BÌNH VÀ XÁC SUẤT
Trung bình có trọng số: mẫu số quyết định kết quả
Từ tổng đóng góp đến trọng số, điều kiện khả thi và cách phục hồi tỉ lệ; dùng cùng một công thức để hiểu giảm giá và phép chọn theo nhóm.
1. Vì sao không phải lúc nào cũng cộng rồi chia hai?
Hai nhóm có mức trung bình khác nhau. Muốn tìm mức chung, ta cần biết mỗi nhóm đóng góp bao nhiêu đơn vị, không chỉ biết hai mức trung bình.
Ví dụ độc lập: có 4 sản phẩm giá 2 nghìn đồng mỗi sản phẩm và 6 sản phẩm giá 5 nghìn đồng mỗi sản phẩm. Tổng tiền là 4\cdot2+6\cdot5=38 nghìn đồng cho 10 sản phẩm. Giá trung bình là 3{,}8 nghìn đồng, không phải (2+5)/2=3{,}5 nghìn đồng. Nhóm đắt hơn có nhiều sản phẩm hơn nên đóng góp nhiều hơn.
Dự đoán. Nếu tăng gấp đôi số sản phẩm của cả hai nhóm, giá trung bình có đổi không? Nếu chỉ thêm sản phẩm giá 5 nghìn đồng, trung bình sẽ tiến về phía mức nào?
Một công thức thống nhất sẽ giải thích cả trung bình giá, tỉ lệ tiền phải trả khi giảm giá và xác suất trong một phép chọn theo nhóm. Điểm mấu chốt luôn là chọn đúng mẫu số và đúng lượng đóng góp của mỗi nhóm.
2. Công thức trung bình có trọng số đến từ tổng đóng góp
Giả sử nhóm thứ nhất có lượng x>0, mức p; nhóm thứ hai có lượng y>0, mức q. Hai lượng x,y phải cùng loại và cùng đơn vị; hai mức p,q cũng phải đo cùng một đại lượng. Tổng đóng góp là px+qy, tổng lượng là x+y. Mức trung bình chung:
\boxed{a=\frac{px+qy}{x+y}}.
Đặt w=x/(x+y), nên 0<w<1 và 1-w=y/(x+y). Khi đó
\boxed{a=wp+(1-w)q}.
Hai số w,1-w là trọng số: chúng dương và có tổng bằng 1. Công thức không cộng các mức một cách tùy ý; nó cộng theo phần đóng góp của từng nhóm.
Nếu p<q, ta có
a-p=(1-w)(q-p)>0,\qquad q-a=w(q-p)>0.
Vì thế p<a<q. Một mức trung bình nằm ngoài khoảng này cho biết ít nhất một dữ kiện hoặc một điều kiện của mô hình đã sai. Nếu cho phép một lượng bằng không, trọng số có thể bằng 0 hoặc 1, và trung bình có thể bằng một đầu mút.
Hiệu giữa trung bình có trọng số và trung bình cộng đơn giản là
a-\frac{p+q}{2}=\frac{(p-q)(x-y)}{2(x+y)}.
Do đó, nếu p\ne q, phép cộng hai mức rồi chia hai đúng khi và chỉ khi x=y. Nếu p=q, mọi cách chia lượng đều cho cùng mức ấy.
3. Biết trung bình có tìm lại được trọng số không?
Với p<q, từ a=wp+(1-w)q suy ra
\boxed{w=\frac{q-a}{q-p}},\qquad\boxed{1-w=\frac{a-p}{q-p}}.
Đây không chỉ là điều kiện cần. Nếu p<a<q, hai công thức cho hai trọng số dương có tổng bằng 1; thay ngược trả lại đúng trung bình a. Vì vậy điều kiện nằm giữa hai mức vừa cần, vừa đủ cho một cách chia trọng số dương.
Trung bình xác định được tỉ lệ của hai lượng, nhưng chưa xác định được kích thước toàn bộ. Nếu biết thêm tổng lượng T=x+y>0, ta mới có
x=T\frac{q-a}{q-p},\qquad y=T\frac{a-p}{q-p}.
Nếu p=q, mẫu q-p bằng không nên không dùng các công thức này. Khi ấy: nếu a=p, có nhiều cách chia hai lượng dương với cùng tổng; nếu a\ne p, không có cách chia nào.
Trung bình không đổi khi nào?
Nhân cả x,y với cùng số k>0 không đổi trung bình:
\frac{p(kx)+q(ky)}{kx+ky}=\frac{px+qy}{x+y}.
Ví dụ mở đầu vẫn có trung bình 3{,}8 nếu hai số lượng đổi từ 4,6 thành 8,12. Một mức trung bình duy nhất không cho biết cửa hàng có 10, 20 hay bao nhiêu sản phẩm nếu thiếu tổng lượng.
4. Giảm giá: trọng số là giá niêm yết, không phải số món
Một chiếc vợt và một đôi giày có tổng giá niêm yết 1 triệu đồng. Vợt giảm 25\%, giày giảm 20\%; tổng tiền phải trả là 0{,}77 triệu đồng. Gọi x,y>0 là giá niêm yết của vợt và giày, cùng đơn vị triệu đồng.
Hai mức phải trả là p=0{,}75 và q=0{,}80. Tổng tiền trả bằng 0{,}75x+0{,}80y, nên tỉ lệ phải trả chung là
a=\frac{0{,}75x+0{,}80y}{x+y}=0{,}77.
Áp dụng công thức trọng số:
\frac{x}{x+y}=\frac{0{,}80-0{,}77}{0{,}80-0{,}75}=\frac35.
Vì x+y=1, suy ra x=0{,}6, y=0{,}4. Kiểm tra ngược: 600 nghìn đồng tiền vợt còn 450 nghìn đồng; 400 nghìn đồng tiền giày còn 320 nghìn đồng. Tổng là 770 nghìn đồng.
Tỉ lệ phải trả chung gần mức 75 phần trăm hơn vì giá niêm yết của món được giảm nhiều hơn chiếm trọng số lớn hơn. Công thức trọng số giải thích chính xác khoảng cách này.
Dù chỉ có hai món, mỗi món không tự động mang trọng số 1/2. Trung bình đơn giản (0{,}75+0{,}80)/2=0{,}775 chỉ phù hợp khi hai giá niêm yết bằng nhau. Nó sẽ cho 775 nghìn đồng, khác dữ kiện 770 nghìn đồng.
Mô hình còn kiểm tra được dữ kiện trước khi giải: nếu hai giá dương, tổng tiền phải trả phải nằm giữa 0{,}75 và 0{,}80 triệu đồng. Một tổng 0{,}85 triệu đồng là không khả thi. Nếu cả hai món cùng giảm 20\%, tổng phải trả luôn bằng 0{,}8 triệu đồng; thông tin ấy không tách được giá từng món.
5. Chọn theo nhóm: trọng số do cách chọn quyết định
Lớp A có 35 học sinh, trong đó 6 học sinh giỏi; lớp B có 40 học sinh, trong đó 9 học sinh giỏi. Tỉ lệ trong mỗi lớp là
p=\frac6{35},\qquad q=\frac9{40}.
Nếu chọn đều một học sinh từ danh sách gộp của hai lớp, mọi học sinh có cùng cơ hội. Trọng số của lớp A là phần học sinh lớp ấy trong tổng số, tức 35/75, và của lớp B là 40/75. Do đó xác suất chọn được học sinh giỏi:
\frac{35}{75}\cdot\frac6{35}+\frac{40}{75}\cdot\frac9{40}=\frac{6+9}{75}=\frac15.
Khi chọn đều từng học sinh, lớp có nhiều học sinh hơn phải có trọng số lớn hơn. Phần xanh và toàn thanh lần lượt biểu diễn số học sinh giỏi và tổng số học sinh của lớp.
Bây giờ đổi cách chọn: chọn lớp A với xác suất \beta, lớp B với xác suất 1-\beta, rồi chọn đều một học sinh trong lớp được chọn. Hai nhánh không thể xảy ra đồng thời, nên xác suất chọn học sinh giỏi là
\boxed{P=\beta\frac6{35}+(1-\beta)\frac9{40}},\qquad 0\le\beta\le1.
Công thức có cùng dạng trung bình có trọng số, nhưng trọng số lần này do quy trình chọn lớp đặt ra. Khi hai lớp được chọn với cơ hội bằng nhau, \beta=1/2, ta được
P=\frac12\cdot\frac6{35}+\frac12\cdot\frac9{40}=\frac{111}{560}.
Trong khi đó 1/5=112/560. Hai kết quả gần nhau nhưng không bằng nhau, vì hai phép chọn khác nhau.
Chọn lớp thế nào để mọi học sinh lại có cơ hội như nhau?
Một học sinh lớp A có xác suất \beta/35, còn một học sinh lớp B có xác suất (1-\beta)/40. Chúng bằng nhau khi và chỉ khi
\frac{\beta}{35}=\frac{1-\beta}{40}\Longleftrightarrow40\beta=35-35\beta\Longleftrightarrow\beta=\frac7{15}.
Khi ấy cả hai xác suất đều là 1/75, và tổng xác suất học sinh giỏi trở lại 1/5. Chọn lớp đều không đồng nghĩa với chọn học sinh đều khi hai lớp có quy mô khác nhau.
6. Trọng số còn phải phù hợp với loại đại lượng
Trong giảm giá, trọng số là phần giá niêm yết. Trong phép chọn theo lớp, trọng số là xác suất chọn lớp. Trong trung bình điểm của học sinh, trọng số là số học sinh, nếu mỗi học sinh được tính một lần.
Ví dụ độc lập: nhóm 5 học sinh có điểm trung bình 8, nhóm 15 học sinh có điểm trung bình 6. Tổng điểm của hai nhóm lần lượt là 40 và 90, nên trung bình chung:
\frac{5\cdot8+15\cdot6}{20}=6{,}5.
Con số (8+6)/2=7 là trung bình của hai nhóm có trọng số bằng nhau, không phải trung bình của 20 học sinh này.
Ngay cả khi công thức cho trọng số dương, còn phải xét tính nguyên nếu lượng là số người. Giả sử hai nhóm có trung bình 8 và 6, toàn bộ có 21 học sinh và muốn trung bình chung bằng 7. Công thức đòi hỏi hai trọng số bằng nhau, tức mỗi nhóm có 10{,}5 học sinh. Không có cách chia nguyên như vậy. Nếu tổng là 20, chia 10 và 10 thì có thể: chẳng hạn một nhóm ai cũng đạt 8, nhóm kia ai cũng đạt 6.
Điều kiện p<a<q bảo đảm một nghiệm trọng số thực dương. Nó chưa tự bảo đảm nghiệm là số nguyên, hoặc thỏa những giới hạn bổ sung của tình huống. Phải kiểm tra loại đại lượng sau khi giải.
7. Dịch chuyển trọng số giải thích trung bình thay đổi ra sao
Giữ tổng lượng T=x+y cố định. Chuyển một lượng \delta từ nhóm có mức q sang nhóm có mức p, tức x'=x+\delta,y'=y-\delta, với -x<\delta<y để cả hai lượng mới dương. Khi đó
a'-a=\frac{p(x+\delta)+q(y-\delta)-(px+qy)}{T}=\frac{\delta(p-q)}{T}.
Nếu p<q và \delta>0, trung bình giảm. Đây là một kết luận có chứng minh về hướng thay đổi, không cần tính lại toàn bộ tổng mỗi lần.
Trong mô hình giảm giá, giữ tổng giá 1 triệu đồng và so sánh hai cách chia giá (0{,}5;0{,}5), (0{,}6;0{,}4). Chuyển 0{,}1 triệu đồng về món có hệ số phải trả 0{,}75 làm tổng tiền trả giảm
0{,}1(0{,}80-0{,}75)=0{,}005\ \text{triệu đồng},
tức 5 nghìn đồng: từ 775 xuống 770 nghìn đồng. Đây là so sánh hai bộ giá trong mô hình, không phải một chương trình giảm giá mới.
Giải thích đúng độ chênh trong phép chọn hai lớp
Hai tỉ lệ lớp có hiệu
\frac6{35}-\frac9{40}=-\frac3{56}.
Đổi trọng số lớp A từ 1/2 sang 7/15 làm nó giảm 1/30. Vì lớp A có tỉ lệ thấp hơn, giảm trọng số của A làm xác suất chung tăng:
\left(\frac7{15}-\frac12\right)\left(\frac6{35}-\frac9{40}\right)=\left(-\frac1{30}\right)\left(-\frac3{56}\right)=\frac1{560}.
Đây chính là chênh lệch giữa 112/560 và 111/560 đã tìm ở phần 5.
8. Đọc lại mẫu số trước khi tin một trung bình
Hãy xác định rõ một đơn vị đang được tính là sản phẩm, đồng giá niêm yết, học sinh hay một lần chọn lớp. Sau đó cộng toàn bộ đóng góp và chia cho toàn bộ lượng tương ứng. Nếu đổi đơn vị được chọn đều, trọng số thường đổi theo.
Để kiểm tra ngược, hỏi ba điều: kết quả có nằm giữa hai mức khi các trọng số dương không; công thức có trở thành trung bình cộng khi hai trọng số bằng nhau không; và các lượng phục hồi được có đúng loại, đúng tổng không?
Cùng một công thức có thể dùng ở nhiều bối cảnh vì nó biểu diễn một quan hệ rõ ràng: mức chung là tổng đóng góp chia tổng lượng . Sức mạnh của công thức nằm ở việc chọn đúng hai thành phần ấy.
Tự học có chứng minh · Toán THCS · Các hình dựng đúng quan hệ đã nêu