Một mức chi phí, mấy thiết kế: dựng ngược và giữ miền bán kính
Hoàn thành bình phương để tìm đủ thiết kế ở một mức tiền, rồi kiểm tra các ràng buộc không chồng lấn và trường hợp biên.
TOÁN THCS · HỌC TỪ BẢN CHẤT
Một mức chi phí, mấy thiết kế: dựng ngược và giữ miền bán kính
Hoàn thành bình phương để tìm đủ thiết kế ở một mức tiền, rồi kiểm tra các ràng buộc không chồng lấn và trường hợp biên.
01. Một mức chi phí có thể cho nhiều thiết kế
Tìm chi phí nhỏ nhất mới trả lời một câu hỏi. Nếu biết số tiền chính xác đã dùng, có thể có không, một hoặc hai bộ kích thước. Hai nghiệm đại số cũng chưa chắc là hai thiết kế hợp lệ: bán kính phải dương, và các khu vực còn có thể bị ràng buộc bởi bố cục.
Ta xét hai kích thước r,s>0, có tổng cố định r+s=L, L>0, với chi phí chuẩn hóa
Q=ar^2+bs^2,\qquad a,b>0.
Hai hệ số a,b biểu diễn trọng số chi phí. Miền cơ bản là 0<r<L, s=L-r; chưa đặt thêm điều kiện hình học nào. Khi có điều kiện bố cục, ta sẽ ghi rõ và thu hẹp miền.
02. Từ tổng cố định đến bình phương độ lệch
Thay s=L-r rồi hoàn thành bình phương:
Q=(a+b)r^2-2bLr+bL^2
=(a+b)\left(r-\frac{bL}{a+b}\right)^2+\frac{abL^2}{a+b}.
Đặt r_*=bL/(a+b), s_*=aL/(a+b), Q_*=abL^2/(a+b). Vì a,b,L>0, hai kích thước r_*,s_* đều dương và có tổng L. Do đó
Q\ge Q_*,
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi r=r_*, kéo theo s=s_*. Giá trị nhỏ nhất thật sự đạt, và thiết kế đạt là duy nhất. Tỉ lệ tại đó là r_*/s_*=b/a: phần có hệ số chi phí lớn hơn nhận kích thước nhỏ hơn, không phải hai bán kính luôn bằng nhau.
Công thức còn cho độ tăng chi phí chính xác khi lệch khỏi thiết kế tối ưu:
Q-Q_*=(a+b)(r-r_*)^2.
Vì vậy hai thiết kế đối xứng qua r_* có cùng chi phí, nếu cả hai vẫn nằm trong miền (0,L). Chính điều kiện cuối khiến số thiết kế có thể đổi.
03. Dựng ngược từ một mức tiền chính xác
Muốn Q=K, trước hết cần K\ge Q_*. Khi ấy đặt d=\sqrt{(K-Q_*)/(a+b)}. Các ứng viên là
r=r_*-d\quad\text{hoặc}\quad r=r_*+d,\qquad s=L-r.
Nếu K=Q_*, hai dấu cho cùng một thiết kế. Nếu K>Q_*, d>0, hai ứng viên khác nhau. Với nhánh trừ, điều kiện còn thiếu là d<r_*, vì nó vốn nhỏ hơn r_*<L. Với nhánh cộng, điều kiện còn thiếu là d<L-r_*.
Bình phương hai vế dương cho các điều kiện tương đương:
r_*-d\in(0,L)\iff K<bL^2,
r_*+d\in(0,L)\iff K<aL^2.
Mỗi nhánh qua được điều kiện đều đủ: lấy bán kính ấy và s=L-r, ta có hai số dương, đúng tổng và đúng chi phí theo đẳng thức bình phương. Không còn ứng viên nào khác vì phương trình bình phương chỉ có hai dấu vừa xét.
Nếu a\ne b, đặt K_0=\min(a,b)L^2, K_1=\max(a,b)L^2. Số thiết kế là:
- Không có nếu K<Q_* hoặc K\ge K_1.
- Đúng một nếu K=Q_*.
- Đúng hai nếu Q_*<K<K_0.
- Đúng một nếu K_0\le K<K_1.
Tại K=K_0, một ứng viên vừa chạm bán kính 0, nhưng ứng viên còn lại vẫn hợp lệ. Tại K=K_1, cả hai đều bị loại. Vì thế miền chi phí là [Q_*,K_1): có nhỏ nhất nhưng không có lớn nhất.
Nếu a=b, hai ngưỡng bằng nhau. Khi ấy có hai thiết kế cho Q_*<K<aL^2, một thiết kế ở K=Q_*, và không có ở K\ge aL^2. Ở ngưỡng trên, cả hai nghiệm cùng chạm hai đầu bị loại.
04. Mô hình nguồn: một khu nước và ba khu hoa
Chọn mô hình chi phí được nêu trong bài nguồn: r,s>0, r+s=6. Khu nước là một phần tư hình tròn bán kính r; ba khu hoa là ba phần tư hình tròn cùng bán kính s. Chi phí mỗi đơn vị diện tích lần lượt là 300 và 200 nghìn đồng. Các bán kính dùng cùng đơn vị độ dài.
C=300\frac{\pi r^2}{4}+200\frac{3\pi s^2}{4}
=75\pi(r^2+2s^2).
Đặt Q=C/(75\pi), ta có a=1,b=2,L=6, nên
Q=3(r-4)^2+24,\qquad0<r<6.
Chi phí nhỏ nhất là 1800\pi nghìn đồng, đạt duy nhất tại r=4,s=2. Nếu dùng \pi\approx3{,}14, giá trị gần đúng theo quy ước ấy là 5652 nghìn đồng.
Câu hỏi ngược mới: với chi phí chính xác C=75\pi K, có những bán kính nào? Hai ứng viên là r=4\pm\sqrt{(K-24)/3}. Các ngưỡng là 24,36,72.
- Với K=27, có hai thiết kế (r,s)=(3,3),(5,1).
- Với K=36, hai nghiệm đại số là r=2,6; chỉ (2,4) được phép vì nghiệm kia cho s=0.
- Với K=48, chỉ r=4-2\sqrt2, s=2+2\sqrt2 hợp lệ trong miền cơ bản; nhánh cộng có r>6.
- Với K=72, các ứng viên là r=0,8, đều không hợp lệ.
Đồ thị chính xác của Q=3(r-4)^2+24, tỉ lệ ngang 32 điểm ảnh cho một đơn vị r, tỉ lệ đứng 2{,}5 điểm ảnh cho một đơn vị Q. Mức 36 vẫn đạt ở r=2, dù điểm r=6 bị loại.
Những kết luận trên chỉ dùng miền r,s>0,r+s=6. Khi bố cục có thêm yêu cầu không chồng lấn, phải kiểm tra tiếp; một nghiệm hợp lệ của mô hình đại số chưa tự chứng minh mọi hình bố trí đều dựng được.
05. Đổi mô hình: ba khu hoa phải nằm gọn và không chồng nhau
Xét thêm một bố cục mới được định nghĩa đầy đủ: hình vuông ABCD cạnh 8; tại A đặt phần tư hình tròn khu nước bán kính r, tại B,C,D đặt các phần tư hình tròn khu hoa bán kính s, tất cả hướng vào trong hình vuông. Vẫn giữ r+s=6, r,s>0. Cho phép các biên chạm nhau, nhưng phần trong không được chồng lấn.
Hai khu hoa tại hai đỉnh kề có khoảng cách tâm 8. Chúng không chồng phần trong khi và chỉ khi 2s\le8, tức s\le4. Chiều cần: nếu s>4, trung điểm cạnh nối hai tâm có khoảng cách 4<s tới cả hai tâm; những điểm ngay sát trung điểm về phía trong hình vuông vẫn ở trong cả hai phần tư hình tròn, tạo phần giao có diện tích dương.
Vì sao khi s lớn hơn bốn, phần giao có diện tích dương?
Đặt A=(0,0),B=(8,0),C=(8,8),D=(0,8). Chọn 0<\varepsilon<\min(4,\sqrt{s^2-16}), rồi lấy T=(8-\varepsilon,4). Khi ấy TB=TC=\sqrt{16+\varepsilon^2}<s, và T ở trong hình vuông. Lấy bán kính 0<\rho<\min(\varepsilon,4,s-TB). Đĩa tròn tâm T, bán kính \rho nằm trong hình vuông; theo bất đẳng thức tam giác, mỗi điểm của đĩa cách cả B,C ít hơn s. Vì vậy đĩa nằm trong cả hai khu hoa, có diện tích \pi\rho^2>0.
Chiều đủ: nếu s\le4, hai hình tròn đầy đủ tại các tâm hoa kề nhau đã không chồng phần trong, vì khoảng cách tâm không nhỏ hơn tổng bán kính. Hai tâm hoa đối nhau cách 8\sqrt2>8\ge2s, nên cũng không chồng. Khu nước với khu hoa kề có tổng bán kính 6<8; với khu hoa đối cũng có 6<8\sqrt2. Mọi bán kính nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên từng phần tư hình tròn nằm trong hình vuông.
Vì thế miền đầy đủ của bố cục này là
\boxed{2\le r<6,\qquad s=6-r}.
Mọi r trong miền đều dựng được bằng các phần tư hình tròn vừa mô tả; điều kiện không chỉ cần mà còn đủ. Điểm r=2,s=4 được lấy vì chỉ có tiếp xúc giữa các khu hoa, còn r=6,s=0 vẫn bị loại vì khu hoa phải có bán kính dương.
Bố cục mới tại biên r=2,s=4, tỉ lệ 22{,}5 điểm ảnh cho một đơn vị. Các khu hoa vừa chạm nhau tại trung điểm BC,CD; biên chạm được phép, phần trong không chồng lấn.
06. Cùng công thức, miền mới làm đổi số thiết kế
Trong miền mới 2\le r<6, ta có -2\le r-4<2, nên
24\le Q=3(r-4)^2+24\le36.
Giá trị 24 đạt duy nhất ở r=4. Với 24<K<36, độ lệch 0<d<2, nên cả r=4-d và r=4+d đều nằm trong miền, có đúng hai thiết kế. Với K=36, chỉ r=2 được lấy. Ngoài [24,36], không có thiết kế.
Như vậy miền chi phí mới là đoạn đóng [1800\pi,2700\pi] nghìn đồng. Có cả nhỏ nhất và lớn nhất; lớn nhất đạt duy nhất tại (r,s)=(2,4). Thiết kế K=48 ở mô hình cơ bản bị loại ở đây vì s=2+2\sqrt2>4, làm các khu hoa kề nhau chồng lấn.
“Chi đúng bằng” khác “không vượt quá”
Vẫn trong bố cục mới, ngân sách C\le75\pi K cho bất đẳng thức |r-4|\le\sqrt{(K-24)/3}, giao với [2,6). Nếu K<24, không có thiết kế; nếu K=24, chỉ có r=4; nếu 24<K<36, cả đoạn đóng [4-d,4+d] được phép; nếu K\ge36, mọi r\in[2,6) đều được phép.
Ở K=36, chi đúng mức ấy chỉ có một thiết kế, còn không vượt mức ấy cho vô số thiết kế. Loại quan hệ trong đề quyết định ta cần các giao điểm với một đường ngang hay toàn bộ phần đồ thị nằm dưới nó.
07. Tự kiểm tra
Thử 1. Trong mô hình cơ bản nguồn, chi phí 75\pi\cdot30 cho những bán kính nào? Chúng có thỏa bố cục mới không?
Xem lời giải
d=\sqrt{(30-24)/3}=\sqrt2, nên (r,s)=(4-\sqrt2,2+\sqrt2) hoặc (4+\sqrt2,2-\sqrt2). Vì 0<\sqrt2<2, cả hai có 2<r<6, 0<s<4, nên đều dựng được trong hình vuông.
Thử 2. Nếu yêu cầu các khu hoa không được chạm nhau, miền và giá trị lớn nhất đổi thế nào?
Xem lời giải và cận sát
Cần s<4, nên 2<r<6. Khi ấy 24\le Q<36: không có giá trị lớn nhất, dù 36 là cận trên sát. Chọn r=2+\delta, 0<\delta<1, ta có 36-Q=12\delta-3\delta^2\in(0,12\delta). Với mọi \varepsilon>0, lấy thêm \delta<\varepsilon/12 sẽ cho 36-Q<\varepsilon. Giá trị nhỏ nhất 24 vẫn đạt ở r=4.
Thử 3. Trong công thức chung, nếu a=0,b>0, có còn thiết kế dương đạt chi phí nhỏ nhất không?
Xem lời giải
Không. Khi ấy Q=bs^2, 0<s<L. Mọi giá trị đều dương, nhưng thay s bằng s/2, r bằng L-s/2 vẫn hợp lệ và làm chi phí giảm. Cận dưới 0 không đạt. Giả thiết a,b>0 đã bảo đảm điểm tối ưu nằm trong miền; không được bỏ nó mà giữ nguyên kết luận đạt cực tiểu.
Tự học qua định nghĩa, chứng minh và kiểm tra điều kiện