Đọc đúng hình tròn: tâm, cung chắn và miền diện tích
Phân biệt các đường tròn bằng điều kiện khoảng cách, chọn cung không chứa đỉnh góc và kiểm phần giao trước khi cộng trừ diện tích.
HÌNH HỌC 9 · ĐÚNG ĐỐI TƯỢNG
Đọc đúng hình tròn: tâm, cung chắn và miền diện tích
Phân biệt các đường tròn bằng điều kiện khoảng cách, chọn cung không chứa đỉnh góc và kiểm phần giao trước khi cộng trừ diện tích.
1. Mỗi kết luận phải gắn với đúng đối tượng
Một hình có nhiều đường tròn dễ khiến ta dùng đúng định lí cho nhầm đối tượng. Ba câu hỏi cần tách ra: điểm thuộc đường tròn nào; góc chắn cung nào; diện tích thuộc miền nào? Bài học này xây từng tiêu chuẩn trước, rồi dùng ba cấu hình độc lập để thấy cách lựa chọn.
Đường tròn tâm O, bán kính r>0, gồm các điểm X thỏa OX=r. Hình tròn gồm cả biên và các điểm OX<r. Vì khoảng cách không âm, có thể kiểm bằng bình phương:
OX^2=r^2\text{: trên biên};\qquad OX^2<r^2\text{: bên trong};\qquad OX^2>r^2\text{: bên ngoài}.
Muốn nói X thuộc hai đường tròn, cần kiểm hai đẳng thức khoảng cách tới hai tâm. Cùng bán kính chưa đủ làm hai đường tròn trùng nhau. Tâm của một đường tròn bán kính dương không nằm trên chính đường tròn đó.
Trên hệ trục vuông góc, đường tròn tâm (a,b), bán kính r, có điều kiện (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, do định lí Pythagore. Thế tọa độ là một phép kiểm định nghĩa, không cần suy đoán từ nét vẽ.
2. Ví dụ thứ nhất: một điểm có thể đổi vai trò giữa hai đường tròn
Cho O=(0,0), P=(3,0). Vẽ hai đường tròn cùng bán kính 3, lần lượt có tâm O,P. Vì OP=3, điểm P nằm trên đường tròn tâm O, và O nằm trên đường tròn tâm P. Mỗi điểm vừa là tâm của một đường, vừa là điểm trên đường còn lại; không có mâu thuẫn.
Tìm những điểm X=(x,y) đồng thời thuộc cả hai đường. Điều kiện đầy đủ là:
x^2+y^2=9,\qquad (x-3)^2+y^2=9.
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất cho -6x+9=0, nên x=3/2. Thế vào một phương trình:
y^2=9-\frac94=\frac{27}{4},\qquad y=\frac{3\sqrt3}{2}\text{ hoặc }y=-\frac{3\sqrt3}{2}.
Ngược lại, hai điểm vừa tìm đều thỏa cả hai đẳng thức. Vậy có đúng hai giao điểm. Phép trừ chỉ tạo điều kiện cần x=3/2; nếu dừng ở đó, ta sẽ nhận nhầm cả đường thẳng trung trực là giao của hai đường tròn.
Hai vòng có cùng bán kính, cách nhau một bán kính giữa hai tâm. (X,Y) là hai điểm chung; (O,P) không phải hai điểm chung.
Điểm P không thuộc cả hai đường: khoảng cách từ P tới tâm P bằng 0, không bằng 3. Một kí hiệu “trên đường tròn” thiếu tên tâm có thể che mất chính điều kiện cần kiểm.
Thay giả thiết để kiểm hiểu: nếu đổi P thành (6,0), hai phương trình cho x=3, rồi y^2=0, nên chỉ có điểm chung (3,0). Nếu P=(7,0), chúng cho x=7/2, rồi y^2=9-49/4<0, nên không có giao điểm thực. Số điểm chung phụ thuộc cả khoảng cách hai tâm, không chỉ bán kính.
3. Công cụ chọn cung: bỏ cung chứa đỉnh góc
Cho ba điểm phân biệt A,B,K trên cùng một đường tròn. Góc AKB là góc nội tiếp. Hai đầu mút A,B chia đường tròn thành hai cung; cung bị chắn là cung AB không chứa K . Định lí góc nội tiếp cho:
\angle AKB=\frac12\text{ số đo cung }AB\text{ không chứa }K.
Vì sao hệ số một nửa xuất hiện? Xét trước trường hợp đường kính KD nằm trên một cạnh của góc nội tiếp AKD. Tam giác KOA cân vì OK=OA. Nếu góc tại K bằng \alpha, góc tại A cũng bằng \alpha, nên \angle KOA=180^\circ-2\alpha. Hai tia OK,OD đối nhau, vì thế \angle AOD=2\alpha. Cung AD không chứa K có đúng số đo ấy.
Với góc nội tiếp tổng quát, kẻ đường kính KD. Khi tia KD nằm trong góc, cộng hai trường hợp trên; khi nằm ngoài, lấy hiệu hai góc và hai cung tương ứng. Cả góc lẫn cung đều cộng hoặc trừ cùng cách, nên hệ số một nửa được giữ. Nếu AB là đường kính, cung không chứa K là một nửa đường tròn, và góc bằng 90^\circ.
Quy trình dùng lại: xác nhận ba điểm cùng thuộc đúng một đường tròn; xác định hai đầu mút; chọn cung không chứa đỉnh; cuối cùng mới chia số đo cung cho hai. Hai góc cùng có hai đầu mút chưa chắc bằng nhau nếu đỉnh ở hai phía khác nhau của dây.
4. Ví dụ thứ hai: cùng dây, hai góc bù nhau
Cho đường tròn tâm O, hai điểm A,B sao cho cung nhỏ AB có số đo 120^\circ. Lấy K ở bên trong cung lớn AB, và L ở bên trong cung nhỏ AB; cả hai đều khác A,B. Cung còn lại có số đo 360^\circ-120^\circ=240^\circ.
Đỉnh K không nằm trên cung nhỏ, nên \angle AKB=60^\circ. Đỉnh L nằm trên cung nhỏ, vì vậy góc ALB chắn cung lớn và bằng 120^\circ. Hai góc có tổng 180^\circ, chứ không bằng nhau.
Cung nhỏ màu xanh không chứa (K), nhưng chứa (L). Các dây nét đứt tạo góc tại (L), các dây liền tạo góc tại (K).
Miễn K còn ở trong cùng cung lớn, \angle AKB không đổi. Nếu đỉnh chuyển sang cung nhỏ, cung bị chắn đổi, nên giá trị nhảy sang góc bù. Không xét lúc đỉnh trùng A hoặc B, vì một cạnh của góc không được xác định bởi hai điểm phân biệt.
Khái quát: nếu cung nhỏ có số đo \theta, với 0<\theta<180^\circ, hai giá trị là \theta/2 và 180^\circ-\theta/2. Trường hợp \theta=180^\circ có hai nửa đường tròn bằng nhau; cả hai góc đều vuông. Đây là lí do cần biết vị trí đỉnh trước khi áp dụng quy tắc “cùng chắn một cung”.
5. Công cụ diện tích: mô tả miền trước khi viết phép trừ
Để tính diện tích phần còn lại của một hình G, phải nói rõ phần nào bị bỏ và các phần đó nằm ở đâu. Nếu hai miền U,V nằm trong G, công thức đúng là:
S_{G\text{ còn lại}}=S_G-S_U-S_V+S_{U\cap V}.
Phần giao bị trừ một lần theo U, một lần theo V, nên phải cộng lại một lần. Nếu hai miền chỉ chung biên, phần giao có diện tích bằng không, mới có thể trừ hai diện tích mà không bù. Nếu một miền nằm trong miền kia, bỏ cả hai chỉ là bỏ miền lớn hơn.
Với hình quạt bán kính r, góc ở tâm \theta đo bằng độ, diện tích là (\theta/360^\circ)\pi r^2: quạt chiếm đúng tỉ lệ góc đó của hình tròn. Tam giác tạo bởi hai bán kính và dây cung có biên khác hình quạt. Chúng không phải hai cách gọi cùng một miền.
Một công thức như “hình vuông trừ hình quạt trừ tam giác” chưa xác định được đáp án. Cần biết tam giác nằm ngoài, nằm trong hay giao với hình quạt; hình vẽ tô màu và mô tả biên phải thống nhất.
6. Ví dụ thứ ba: miền giữa một dây và một cung
Cho O=(0,0), A=(6,0), B=(0,6), đơn vị cm. Gọi Q là hình quạt một phần tư hình tròn tâm O, bán kính 6, nằm trong góc vuông AOB. Gọi T là tam giác OAB. Miền cần tính là phần của Q ở ngoài T, được giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB.
Trước hết kiểm rằng T nằm trong Q. Mọi điểm (x,y) trong tam giác có x\ge0,y\ge0,x+y\le6. Khi đó:
x^2+y^2\le(x+y)^2\le36,
nên điểm ấy nằm trong hình tròn bán kính 6 và trong góc phần tư đang xét. Phép trừ vì vậy thật sự loại một miền con:
S_Q=\frac{90^\circ}{360^\circ}\pi\cdot6^2=9\pi,\qquad S_T=\frac12\cdot6\cdot6=18.
S_{Q\text{ ngoài }T}=9\pi-18\quad\mathrm{cm}^2.
Tam giác trắng nằm trong hình quạt; miền xanh nhạt phía ngoài dây là phần được giữ lại. Hình dựng đúng tỉ lệ với hai bán kính bằng (6).
Kiểm độ lớn: 9\pi-18\approx10{,}274, dương và nhỏ hơn 9\pi. Biên chung không làm thay đổi diện tích.
Đổi câu hỏi để phát hiện phép trừ chồng
Đặt hình quạt ấy trong hình vuông 0\le x\le6,0\le y\le6. Nếu bỏ cả Q và T, vì T đã nằm trong Q, phần còn lại có diện tích 36-9\pi, không phải 36-9\pi-18. Theo công thức tổng quát, Q\cap T=T, nên phần bù +18 sửa đúng lần trừ thừa.
Hai câu hỏi dùng cùng một hình nhưng giữ lại hai miền khác nhau. Mô tả biên và quan hệ chứa nhau quyết định phép tính; hình tròn hoặc số đo không tự quyết định miền cần tính.
7. Tự chuyển giao: thay dữ kiện, giữ quy trình
Chọn cung. Cho hai điểm U,V có cung nhỏ UV bằng 80^\circ. Một điểm W, khác hai đầu mút, nằm trên cung nhỏ. Góc UWV bằng bao nhiêu?
Kiểm cung trước khi chia hai
Cung không chứa W có số đo 280^\circ, nên góc bằng 140^\circ. Số 40^\circ chỉ đúng khi đỉnh ở cung lớn. Khi đổi đường tròn nhưng giữ số đo cung và vị trí tương đối, góc không đổi.
Đổi kích thước. Với một phần tư hình tròn bán kính r>0, miền giữa cung và dây nối hai đầu có diện tích nào?
Lập công thức từ đúng hai miền
Hai bán kính vuông góc tạo tam giác diện tích r^2/2; hình quạt có diện tích \pi r^2/4. Miền cần tìm là r^2(\pi-2)/4. Với r=3, diện tích bằng 9\pi/4-9/2, bằng một phần tư diện tích khi r=6. Tỉ lệ diện tích theo bình phương tỉ lệ độ dài.
Ba dòng kiểm trước khi kết luận: tôi đã nêu đúng tâm và bán kính của đường tròn; tôi đã chọn cung không chứa đỉnh góc; tôi đã xác định miền con, phần giao và phần thật sự được giữ lại.
Toán THCS · Hiểu điều kiện, tự dựng lập luận, kiểm tra kết quả